鄭 勝， 劉 韜， 劉 暢， 李 華

(昆明理工大學 機電工程學院，昆明 650500)

滾動軸承是旋轉(zhuǎn)機械的重要組成部分，同時也是最容易損壞的組件。統(tǒng)計顯示，在使用滾動軸承的旋轉(zhuǎn)機械中，約有30%的機械故障都與軸承相關(guān)，其運行狀態(tài)直接影響著設(shè)備的整體性能。在實際的工業(yè)環(huán)境中，考慮到成本等相關(guān)因素，機械設(shè)備通常在受到一定程度的損壞后才進行檢修和零部件更換。此時機械設(shè)備中的軸承往往不再是一種故障，而是多種故障耦合在一起。與單一故障相比，復合故障中的多個故障相互干擾，對機械設(shè)備的危害更大，診斷難度也更大[1]。因此，對滾動軸承復合故障的診斷是一個極為重要的研究領(lǐng)域。

稀疏理論最早由Olshausen[2]提出，并隨著不斷地發(fā)展和深入，逐漸成為聲音與圖像處理[3-5]、壓縮感知[6-7]和信號處理[8]等方向的研究熱點。Du等[9]提出了一種根據(jù)齒輪和滾動軸承故障沖擊形態(tài)特征的不同，進而構(gòu)造不同的冗余字典并與稀疏表征算法相結(jié)合，以實現(xiàn)齒輪和滾動軸承復合故障的分離。唐承志[10]通過使用不同種類的原子庫聯(lián)合構(gòu)建級聯(lián)原子庫對多種信號進行稀疏分解實現(xiàn)了不同類信號的稀疏表示。陳向民等[11]基于共振稀疏分解方法和信號各成分品質(zhì)因子差異，將軸承故障信號分解成高共振分量、低共振分量和殘余分量，進而包絡(luò)解調(diào)低共振分量，提取了故障特征頻率。而 K-SVD(K-singular value decomposition)自適應(yīng)冗余字典[12]、相關(guān)濾波法Laplace小波原子優(yōu)選構(gòu)造過完備字典[13]等分別與正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)、FFT(fast fourier transform)進行改進的匹配追蹤算法結(jié)合，實現(xiàn)了滾動軸承的故障特征提取。文獻[14]基于改進自適應(yīng)無參數(shù)小波變換(improved adaptive parameterless empirical wavelet transform，IAPEWT)和自適應(yīng)稀疏編碼收縮去噪(adaptive sparse coding shrinkage denoising，ASCSD)對故障軸承的信號進行自適應(yīng)稀疏去噪，增故障強脈沖特征，有效識別了軸承故障。He等[15]以軸承阻尼二階系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù)構(gòu)建過完備原子庫，通過相關(guān)濾波法從故障信號中識別出系統(tǒng)固有頻率和相對阻尼比，降低字典的冗余性；并在此基礎(chǔ)上，通過匹配追蹤算法對軸承故障信號分段進行匹配，以提高在低信噪比下信號重建的效率和精度。Tang等[16]提出一種基于移不變稀疏編碼算法以實現(xiàn)對早期微弱故障的特征提取，并通過軸承和齒輪的振動信號進行驗證，取得較好的效果。

國內(nèi)外學者將稀疏表征理論運用于對滾動軸承的故障診斷，并取得了很好的成效，但大多是對單一故障的診斷，較少是對復合故障的診斷。本文旨在通過級聯(lián)過完備字典與以基追蹤降噪問題為優(yōu)化原則的特征符號搜索算法來實現(xiàn)對滾動軸承復合故障的分離和特征提取。文中首先簡述了基于特征符號搜索算法求解基追蹤降噪約束問題的基礎(chǔ)理論，給出了確定字典情況下最優(yōu)稀疏系數(shù)求解方法。然后，敘述基于相關(guān)濾波構(gòu)建級聯(lián)過完備字典的方法，同時給出所提復合故障診斷方法的實現(xiàn)過程和流程圖。最后對方法的有效性通過仿真和實驗信號進行驗證并給出結(jié)論。

1 稀疏優(yōu)化算法

信號的稀疏表征旨在冗余的原子字典里尋找最稀疏的表達方式，即用最少的原子來表示信號，從而實現(xiàn)對信號本質(zhì)的捕捉表達[17]。Chen等[18]提出的基追蹤算法使用l1范數(shù)作為稀疏系數(shù)s的稀疏性度量函數(shù)，可得到全局最優(yōu)解，其優(yōu)化目標函數(shù)以矩陣形式表示為

min‖s‖1， s.t.x=As

(1)

式中：基函數(shù)矩陣A=[a1,a2,…,ai]；稀疏系數(shù)矩陣s=[s1,s2,…,si]T。信號含噪聲時，其模型可表示為

y=x+σz

(2)

式中：σ為噪聲方差，表示噪聲強度；z為噪聲；y為含噪聲信號；x為無噪聲信號。為了從y中恢復出x的信息，基追蹤降噪問題等同于求解下列約束問題[19]

(3)

式中，s與參數(shù)λ相關(guān)，它將原始信號可以分解為重構(gòu)部分和殘余部分

y=x+r

(4)

當基函數(shù)A確定時，式(3)的求解等同于求解l1范數(shù)正則化最小二乘問題，本文采用特征符號搜索算法[21]來求解此問題。如果我們知道在取得最優(yōu)解時每個稀疏系數(shù)的符號(正號、負號或零)，此時‖s‖1中的l1范數(shù)便可無需考慮。若只考慮非零系數(shù)，便可將其簡化為一個標準的無約束二次優(yōu)化問題，從而實現(xiàn)高效求解。然后根據(jù)求解后稀疏系數(shù)的符號和假定符號的異同來更新系數(shù)。算法基本流程如下:

步驟2在值為零的系數(shù)si中搜索i=arg maxi|?‖y-As‖2/?si|，并將滿足下述條件的i并入到active set集合中。

(a)若?‖y-As‖2/?si>λ，則θi=-1；

(b)若?‖y-As‖2/?si>-λ，則θi=1。

(5)

步驟4查看最優(yōu)條件

(a)若?si≠0，都有?‖y-As‖2/?si+λsign(si)=0，都有成立，則查看條件(b)，否則返回步驟3；

(b)若?si=0，都有成立|?‖y-As‖2/?si|≤λ，則輸出系數(shù)s，否則返回步驟2。

2 級聯(lián)過完備字典構(gòu)建與軸承復合故障診斷

2.1 基于相關(guān)濾波構(gòu)建級聯(lián)過完備字典

除了稀疏求解算法，稀疏字典的選取和構(gòu)建也極大影響著稀疏表示效果，字典原子越符合信號的特征，就越有利于實現(xiàn)信號的稀疏表征。一般而言，字典存在兩種類型：①由數(shù)學模型來表示的分析字典，如Gabor字典、余弦字典、Dirac字典、Fourier字典、Laplace小波字典等；②通過訓練算法識別信號本身特點而學習得到的學習字典。分析字典在信號稀疏表示上具有精度高、不易受噪聲干擾的特點，本文選用分析字典構(gòu)建級聯(lián)過完備字典。

通過分析點蝕或剝落故障軸承的旋轉(zhuǎn)動力學模型及其加速度振動信號時域特征，本文選用軸承阻尼二階系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)函數(shù)構(gòu)建稀疏字典，該基函數(shù)與軸承點蝕剝落故障信號匹配度高，其定義為

t∈[u,u+ws]

(6)

式中：r={fn,ξ,u}為參數(shù)矢量，fn為故障沖擊激發(fā)的系統(tǒng)共振頻率，ξ∈[0,1)為黏滯阻尼比，表示沖擊響應(yīng)的阻尼衰減特性，u為時移參數(shù)；ws為基函數(shù)支撐區(qū)間寬度。某參數(shù)值下字典原子波形如圖1所示。

圖1 字典原子波形Fig. 1 Dictionary atomic waveform

本文以存在兩種故障信號為例，構(gòu)建級聯(lián)過完備字典。假設(shè)復合信號x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)，其中x1(t),x2(t)為故障信號，n(t)為噪聲信號。參數(shù)(fn,ξ,u)的取值對稀疏分解的結(jié)果有著極為重要的影響，這里我們采用相關(guān)濾波法(correlation filtering，CF)[22]來識別故障沖擊信號波形的頻率、阻尼比，并擇最優(yōu)作為原子的形態(tài)參數(shù)fn，ξ，時移參數(shù)u取值采樣頻率的倒數(shù)。通過相關(guān)濾波可得到信號x(t)與基原子ψr(t)的相關(guān)系數(shù)曲線，分析曲線上的峰值點，可分別得到與信號x1(t)和x2(t)相關(guān)性最佳的原子，并取其對應(yīng)的頻率和阻尼比值，即(fn1,ξ1)和(fn2,ξ2)。將得到的最佳原子形態(tài)參數(shù)值代入式(6)中，并通過不同的時移參數(shù)張成級聯(lián)過完備字典A，其表達式為

(7)

2.2 軸承復合故障診斷方法

滾動軸承發(fā)生復合故障時，其故障沖擊可能會激起多個共振帶或同處一個共振帶內(nèi)，對此需對振動信號頻譜作分析，確定其共振頻帶帶寬和個數(shù)，以減少搜尋范圍，增強相關(guān)濾波的計算效率。為便于區(qū)分和提取參數(shù)，可針對不同頻帶分開繪制相關(guān)系數(shù)曲線圖。本文提出的基于級聯(lián)過完備字典與特征符號搜索算法的滾動軸承復合故障診斷方法實現(xiàn)步驟如下：

步驟1對采集到的故障振動信號去均值、分析頻譜，確定其共振頻帶帶寬；

步驟2根據(jù)步驟1確定的頻帶帶寬確定共振頻率fn集合F，選取SNR較高的一段信號進行相關(guān)濾波，根據(jù)所選信號時長指定參數(shù)u的集合T，根據(jù)信號衰減特性指定阻尼比ξ的集合Z；

步驟3基于相關(guān)濾波得到信號x(t)中不同故障信號最佳相關(guān)原子，取對應(yīng)的頻率和阻尼比值，并結(jié)合時移參數(shù)構(gòu)建級聯(lián)過完備字典A；

步驟4將構(gòu)建的級聯(lián)過完備字典A代入特征符號搜索算法中，計算信號在級聯(lián)過完備字典中的最優(yōu)稀疏系數(shù)s；

步驟5將最優(yōu)稀疏系數(shù)結(jié)合對應(yīng)的字典原子分別進行稀疏重構(gòu)，得到分離后的不同故障信號，如式(8)所示，實現(xiàn)軸承復合故障信號的分離和降噪。

x(t)=x1(t)+x2(t)+n(t)=A1s1+A2s2+n(t)

(8)

步驟6對降噪重構(gòu)后的信號進行希爾伯特包絡(luò)譜分析(envelope spectrum analysis，ESA)，提取軸承復合故障的各故障特征頻率，原始信號的殘余部分可認為是噪聲干擾成分。算法流程圖如圖2所示。

圖2 軸承復合故障診斷算法流程圖Fig.2 Flow chart of bearing compound faults diagnosis algorithm

3 仿真與實驗驗證

3.1 仿真驗證

根據(jù)滾動軸承在內(nèi)圈、外圈和滾動體上發(fā)生剝落故障時的特點構(gòu)造故障仿真信號x(t)，其表達式[23-24]

(9)

且

(10)

式中：Ai為周期為1/Q的調(diào)制幅值；Q為旋轉(zhuǎn)周期(轉(zhuǎn)頻fr=1/Q)；CA為幅值隨機常數(shù)(CA>A0)；s(t)為點蝕故障引起的沖擊；T為沖擊周期；ξ為黏滯阻尼比；fn為系統(tǒng)的共振頻率；隨機變量τi為第i次沖擊相對于平均周期T的微小滑動；n(t)為隨機噪聲。

設(shè)置內(nèi)圈故障仿真信號xi(t)參數(shù)為：幅值A(chǔ)i=2，采樣頻率fs為25 600 Hz，內(nèi)圈故障共振頻率fn為4 000 Hz，故障特征頻率fp=54 Hz。設(shè)置外圈故障仿真信號xo(t)參數(shù)為：幅值A(chǔ)o=2，采樣頻率fs同樣為25 600 Hz，外圈故障共振頻率fn為2 000 Hz，故障特征頻率fp=36 Hz。軸承的轉(zhuǎn)速設(shè)為600 r/min(fr=10 Hz)，將內(nèi)外圈仿真信號疊加構(gòu)成復合故障信號，并加入信噪比為-5 dB的加性高斯白噪聲n(t)。軸承內(nèi)外圈仿真故障信號及復合故障信號，如圖3所示。

ws=round(fs/fp)

(11)

式中：fs為采樣頻率；fp為軸承故障特征頻率。

將構(gòu)建的級聯(lián)過完備字典代入稀疏優(yōu)化算法中，對原始復合故障信號進行稀疏分解，分離和重構(gòu)不同脈沖響應(yīng)的信號，即內(nèi)外圈故障信號。觀察圖5所示重構(gòu)后的內(nèi)外圈故障信號時域波形圖，其基本去除了噪聲，同時故障信號得到了較好提取。對稀疏重構(gòu)信號進行Hilbert解調(diào)可得各自的包絡(luò)譜，如圖6所示，可見故障特征明顯易分辨，噪聲得到了很好的抑制。

圖3 內(nèi)外圈故障及其復合故障仿真時域波形Fig.3 Time domain waveform of inner and outer loop fault and its compound fault simulation

圖4 復合故障仿真信號頻譜圖Fig.4 Spectrum of composite fault simulation signal

從上述仿真分析結(jié)果可知，基于級聯(lián)過完備字典與特征符號搜索算法可有效地將含噪的復合故障信號進行分離和降噪，稀疏重構(gòu)的內(nèi)外圈故障信號的包絡(luò)譜也可十分清晰的看到其各自的故障特征頻率以及倍頻、邊頻分量，且無相互干擾的頻率成分存在。表明本文所提方法可將含噪軸承復合故障仿真信號中的內(nèi)、外圈故障信號高效準確地逐一分離提取出來，現(xiàn)通過實驗信號對其有效性進行進一步驗證。

圖5 復合故障仿真信號的分離與重構(gòu)Fig.5 Separation and reconstruction of composite fault simulation signal

圖6 復合故障仿真信號的特征提取Fig. 6 Feature extraction of composite fault simulation signal

3.2 實驗驗證

實驗驗證數(shù)據(jù)為滾動軸承疲勞壽命實驗采集得到。實驗設(shè)備采用杭州軸承試驗研究中心有限公司ABLT-1A軸承壽命試驗機，結(jié)構(gòu)如圖7所示，實驗對象為NSK公司6205深溝球軸承。轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速為3 000 r/min (轉(zhuǎn)頻fr=50 Hz)，采樣頻率為51 200 Hz，從實驗起始到軸承失效共持續(xù)了269 h，均方根RMS達到21 mm/s，此時軸承完全失效，拆解實驗軸承發(fā)現(xiàn)其內(nèi)圈和外圈皆發(fā)生點蝕剝落故障。NSK6205深溝球軸承內(nèi)外圈理論故障特征頻率為：外圈fo=181.73 Hz，內(nèi)圈fi=268.27 Hz。NSK6205軸承故障區(qū)放大圖如圖8、圖9所示。

選取發(fā)生故障后某一時刻的全壽命數(shù)據(jù)，其時域波形如圖10所示，同時繪制其頻譜、包絡(luò)譜如圖11、圖12所示。

圖7 ABLT-1A軸承壽命試驗機Fig.7 ABLT-1A bearing life testing machine

圖8 6205軸承內(nèi)圈故障拆解圖Fig.8 6205 disassembly drawing of bearing inner ring fault

圖9 6205軸承外圈故障拆解圖Fig.9 6205 disassembly drawing of bearing outer ring fault

圖10 復合故障信號時域波形Fig.10 Time domain waveform of composite fault signal

圖11 復合故障信號頻譜圖Fig.11 Spectrum of composite fault signal

圖12 復合故障信號包絡(luò)譜圖Fig.12 Envelope spectrum of composite fault signal

圖13 外圈重構(gòu)信號時域波形圖Fig.13 Time domain waveform of outer circle reconstruction signal

圖14 內(nèi)圈重構(gòu)信號時域波形圖Fig.14 Time domain waveform of inner circle reconstruction signal

圖15 外圈重構(gòu)信號包絡(luò)譜Fig.15 Envelope spectrum of outer circle reconstruction signal

圖16 內(nèi)圈重構(gòu)信號包絡(luò)譜Fig.16 Envelope spectrum of inner circle reconstruction signal

從全壽命實驗數(shù)據(jù)分析結(jié)果可知，基于級聯(lián)過完備字典與特征符號搜索算法同樣可準確有效地分離實測復合故障信號。分離后的信號包絡(luò)譜表明，該方法很好的提取到了各故障的特征頻率以及倍頻、邊帶成分，且相互間干擾的頻率很小，譜圖也較為干凈。從重構(gòu)的故障信號圖和各自的包絡(luò)譜可看出，其實現(xiàn)了很好的降噪，故障特征頻率易識別。對此實驗驗證了本文所提方法在軸承復合故障分離和特征提取方面具有可行性與有效性。

4 結(jié) 論

本文利用相關(guān)濾波來估算構(gòu)建與軸承點蝕剝落故障信號相匹配的級聯(lián)過完備字典的參數(shù)，然后將構(gòu)建的級聯(lián)字典與以基追蹤降噪問題為優(yōu)化原則的特征符號搜索算法相結(jié)合，進而實現(xiàn)對軸承復合故障的分離和特征提取。仿真和實驗驗證表明，本文所述稀疏優(yōu)化算法可高效求解信號在級聯(lián)過完備字典上的最優(yōu)稀疏表示系數(shù)，且通過稀疏系數(shù)結(jié)合對應(yīng)的字典原子可有效地實現(xiàn)對信號的分離和重構(gòu)，并達到信號降噪的目的。對分離重構(gòu)后的信號進行包絡(luò)分析，其可清晰準確地提取到各類故障的特征頻率。