一道2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽題的推廣

江蘇省姜堰中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 (225500) 包長(zhǎng)海 陳 宇

(2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)預(yù)賽第9題 )設(shè)點(diǎn)A(0，3)，⊙O：x2+y2=25上的兩動(dòng)點(diǎn)B,C，滿足∠BAC=90°.求△ABC面積的最大值.

該賽題實(shí)際是從解析幾何角度探究：當(dāng)圓內(nèi)角為定角，其頂點(diǎn)在圓的一條直徑上(不含端點(diǎn)，圓心)，兩邊與圓相交，由此所得三角形面積最大值.經(jīng)過(guò)探究，由該賽題可得：

推廣1 設(shè)點(diǎn)A(0，a)(0

筆者將運(yùn)用平幾定理，基本不等式，及解析法求解這道題.

圖1

評(píng)注：(1)當(dāng)a=3,r=5時(shí)，即為原賽題.

圖2

注：當(dāng)|AB|=|AC|時(shí)，可得P為BC中點(diǎn).

此結(jié)論具有一般性.是推廣1以下幾種解法的邏輯依據(jù).

圖3

推廣2 設(shè)點(diǎn)A(0，a)(0

圖4