孫朝暉

（寧波市北侖中學(xué)，浙江 寧波 315800）

例題.木棒A端靠在豎直墻壁上，B端在水平地面上，當(dāng)木棒A端沿墻壁自有下滑至棒與水平面成θ角瞬間，如圖1所示，求A、B兩端速率之比vA∶vB.

圖1

答案：vA∶vB=cotθ.

國(guó)內(nèi)外中學(xué)物理競(jìng)賽中多見(jiàn)求解物系相關(guān)速度，或解題的“瓶頸”卡在物系相關(guān)速度的試題.這類(lèi)問(wèn)題往往敘述簡(jiǎn)潔而條件隱蔽，情景相像而方法各異，使解題者思路混亂，無(wú)從下手.對(duì)于上述這道典型的物系相關(guān)速度問(wèn)題，通過(guò)對(duì)該題進(jìn)行一題多解，能對(duì)剛體物系相關(guān)速度有深刻認(rèn)識(shí)；同時(shí)加深對(duì)下述7種解法思路的理解，在碰上其他涉及物系相關(guān)速度的問(wèn)題時(shí)，靈活選取合適的方法往往能事半功倍.

方法1：速度分解法.

充分利用物系相關(guān)速度之間的關(guān)系簡(jiǎn)捷求解.對(duì)于本題，如下結(jié)論很有用：剛性桿、繩上個(gè)點(diǎn)在同一時(shí)刻具有相同的沿桿、繩方向的分速度.因此，就本題而言，A、B兩點(diǎn)在沿棒方向上具有相同的速率，即vAsinθ=vBcosθ（速度分解前后大小如圖2所示），從而化簡(jiǎn)可得vA∶vB=cotθ.

圖2

方法2：速度 位移轉(zhuǎn)化法.

極短且相同的時(shí)間內(nèi)，物體的末速度為瞬時(shí)速度，可用極短時(shí)間內(nèi)的平均速度代替瞬時(shí)速度.而運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，故物體的位移比等于速度比.如圖3，木棒在極短時(shí)間Δt內(nèi)，上端由A點(diǎn)滑落到A′點(diǎn)，下端由B點(diǎn)滑落到B′點(diǎn).由幾何關(guān)系，木棒長(zhǎng)度不變AB=A′B′，極短時(shí)間對(duì)應(yīng)Δθ→0.過(guò)A′作A′A″⊥AB 交于A″，過(guò)B作BB″⊥A′B′交于B″.

圖3

AB=AA″+A″O′+O′B=AA′sinθ+A′O′cosΔθ+O′B；

而AB=A′B′=A′O′+O′B″+B″B′=A′O′+O′B cos Δθ+BB′cos（θ-Δθ）.極短時(shí)間對(duì)應(yīng)Δθ→0，故cosΔθ=1，cos（θ-Δθ）=cosθ.可得AA′sinθ=BB′cos（θ-Δθ）=BB′cosθ，從而vAΔt sinθ=vBΔt cosθ，最終解得vA∶vB=cotθ.

方法3：平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合法.

剛體運(yùn)動(dòng)具有這樣的特征：剛體各質(zhì)點(diǎn)自身轉(zhuǎn)動(dòng)角速度總相同且與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).因此木棒A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可看做水平向右速度為vB的平動(dòng)和點(diǎn)A繞點(diǎn)B的逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度為ωA=ω）的復(fù)合；木棒B點(diǎn)亦可同樣處理（圖4）.由A點(diǎn)合速度vA和分速度ωL和vB的關(guān)系可知：vA=ωL sinθ，vB=ωL cosθ，從而得到vA∶vB=cotθ.

圖4

方法4：瞬心法.

一個(gè)剛體做平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，有且只有一個(gè)點(diǎn)是瞬時(shí)靜止不動(dòng)的，這一點(diǎn)稱(chēng)為瞬心（瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心），木棒上所有點(diǎn)關(guān)于瞬心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度都相等.因此瞬心必定在各點(diǎn)速度矢量的垂線上，且各點(diǎn)的速度大小與其距離成正比.由此很容易確定瞬心的位置，同時(shí)利用瞬心知識(shí)來(lái)解題有時(shí)候特別方便.

如圖5所示，過(guò)點(diǎn)A、B分別作速度v A和v B方向的垂線，兩垂線交于點(diǎn)C，則可證明C為木棒沿墻壁下滑的瞬心.此時(shí)木棒上的點(diǎn)A、B均繞C作圓周運(yùn)動(dòng)，兩者角速度相等，記為ω.也可認(rèn)為該時(shí)刻三角形ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針做角速度為ω的圓周運(yùn)動(dòng).于是，v A=ωAC，v B=ωBC，而B(niǎo)C／AC=tan∠CAB=tanθ，最終可解得v A∶v B=cotθ.

圖5

方法5：微分法.

如圖6所示，設(shè)AO=y，BO=x，則x2+y2=L2，y／L=sinθ.以下通過(guò)對(duì)x、y對(duì)時(shí)間的微分將路程轉(zhuǎn)化為速率.

圖6

微分法變形AO=y=Lsinθ，BO=x=Lcosθ.以下通過(guò)對(duì)Lsinθ、Lcosθ對(duì)時(shí)間的微分將路程轉(zhuǎn)化為速率.

方法6：三角函數(shù)轉(zhuǎn)化法.

如圖7，木棒在極短時(shí)間Δt內(nèi)，上端由A點(diǎn)滑落到A′點(diǎn)，下端由B點(diǎn)滑落到B′點(diǎn).用極短時(shí)間Δt內(nèi)在AA′和BB′的平均速度分別代替點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的瞬時(shí)速度，可得

圖7

方法7：幾何特征法.

當(dāng)木棒沿墻壁自由下滑，由直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)度是斜邊的一半可知：木棒中心的軌跡是一段圓?。ㄟ@是木棒運(yùn)動(dòng)的幾何特征）.以O(shè)為圓心，L／2為半徑畫(huà)圓，交AB于O1，交A′B′于O2，則O1為木棒在AB位置的中心，O1Y1⊥AO交于Y1，O2Y2⊥AO交于Y2，O1X1⊥BO交于X1，O2X2⊥BO交于X2，O1X1⊥O2Y2交于O3，如圖8所示.

圖8