數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：跨界聯(lián)結(jié)視域下的創(chuàng)新力培養(yǎng)

吳恢鑾 呂瓊?cè)A

【摘 要】“如何估測(cè)樹(shù)葉的面積”是在人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“估測(cè)不規(guī)則圖形面積”基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的統(tǒng)計(jì)概率類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問(wèn)題—實(shí)驗(yàn)猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—實(shí)驗(yàn)反思”跨領(lǐng)域解決問(wèn)題的過(guò)程中，探索隨機(jī)數(shù)據(jù)和面積的聯(lián)系，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、隨機(jī)等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“跨界研究”問(wèn)題的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Α?/p>

【關(guān)鍵詞】跨界聯(lián)結(jié) 真實(shí)性問(wèn)題 創(chuàng)新力

一.課前慎思

喬布斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，創(chuàng)新就是把不同的事物聯(lián)系起來(lái)。

數(shù)學(xué)家皮埃爾·德利涅曾說(shuō)過(guò)：“在數(shù)學(xué)中，當(dāng)你發(fā)現(xiàn)兩個(gè)看似沒(méi)有共同之處的東西事實(shí)上相互關(guān)聯(lián)是一種樂(lè)趣，而在兩個(gè)問(wèn)題之間建立一個(gè)支點(diǎn)則是一個(gè)強(qiáng)大的工具。”

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能把不同領(lǐng)域的知識(shí)、方法和思想關(guān)聯(lián)融合，讓學(xué)生探索跨領(lǐng)域、跨學(xué)科知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅可以提升學(xué)生解決真實(shí)問(wèn)題的能力，更是在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新力。

解決非常規(guī)性數(shù)學(xué)問(wèn)題作為一種高級(jí)的智力活動(dòng)，從問(wèn)題的產(chǎn)生到解決，牽涉到許多更高層次的心理活動(dòng)過(guò)程，其中不同知識(shí)領(lǐng)域與不同思維方式的“跨界聯(lián)結(jié)”，是學(xué)生實(shí)踐能力與創(chuàng)新思維的有力體現(xiàn)。我們?nèi)绾谓柚鷶?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)這種學(xué)習(xí)方式，通過(guò)非常規(guī)性數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，來(lái)引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)領(lǐng)域的“跨界聯(lián)結(jié)”呢？

“如何估測(cè)樹(shù)葉的面積”是筆者在人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“估測(cè)不規(guī)則圖形面積”的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的拓展類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生在經(jīng)歷“提出問(wèn)題—實(shí)驗(yàn)猜想—實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證—實(shí)驗(yàn)反思”跨領(lǐng)域解決問(wèn)題的過(guò)程中，探索隨機(jī)數(shù)據(jù)和面積的關(guān)聯(lián)，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化、隨機(jī)等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生“跨界研究”問(wèn)題的思想意識(shí)和創(chuàng)新力。

二、課堂再現(xiàn)

（一）任務(wù)驅(qū)動(dòng)，提出問(wèn)題

1.提出問(wèn)題

師：根據(jù)課件（見(jiàn)圖1），你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

學(xué)生提出的問(wèn)題有：

（1）長(zhǎng)方形面積是多少？

（2）樹(shù)葉的面積是多少？

（3）樹(shù)葉的周長(zhǎng)是多少？

（4）長(zhǎng)方形面積是樹(shù)葉面積的幾倍？

（5）樹(shù)葉面積是長(zhǎng)方形面積的幾分之幾？

（6）空白部分的面積是多少？

師：請(qǐng)同學(xué)們把這些問(wèn)題分一分類？

（學(xué)生把問(wèn)題分成兩類：一類求面積，一類求周長(zhǎng)）

2.篩選問(wèn)題

師：今天這節(jié)課我們先來(lái)研究樹(shù)葉的面積。有哪些方法可以估計(jì)樹(shù)葉的面積呢？

生：我將長(zhǎng)方形分割成單位面積的小正方形（見(jiàn)圖2），通過(guò)數(shù)小正方形的方法估測(cè)面積。這里可以把小方格分為兩類：一類是整格的，另一類是不滿一格的。不滿一格的都按半格計(jì)算。

師：用數(shù)格子的方法，而且能把格子分成整格和不是整格兩類，再進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，想法很好。

生：我是把樹(shù)葉轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的正方形來(lái)估計(jì)面積的。

師：你用轉(zhuǎn)化算，用到轉(zhuǎn)化思想，真不錯(cuò)。

3.任務(wù)驅(qū)動(dòng)

師：同學(xué)們想到了分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算這兩種方法估測(cè)樹(shù)葉的面積，很不錯(cuò)。不過(guò)，如果沒(méi)有格子圖，只是給你們每個(gè)小組提供了一盒綠豆（見(jiàn)圖4），你能想出新的方法來(lái)估測(cè)樹(shù)葉的面積嗎？

（二）探索嘗試，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)

1.探尋方法

（1）你能利用這些材料創(chuàng)設(shè)出新的方法來(lái)求樹(shù)葉的面積嗎？

（2）小組交流：玩一玩，議一議。

2.方法交流

方法1：直接鋪設(shè)法。

生：我們小組想先用綠豆填滿樹(shù)葉（見(jiàn)圖5），然后數(shù)出綠豆的數(shù)量，估計(jì)出一顆綠豆底部的大小，再用一顆綠豆的底面積乘綠豆的數(shù)量來(lái)推測(cè)樹(shù)葉的面積。

師：想一想，用這種方法估測(cè)樹(shù)葉可能會(huì)碰到什么困難？

生：綠豆很難數(shù)，綠豆并不是一個(gè)規(guī)則的立體，底面面積很難計(jì)算。

方法2：鋪滿轉(zhuǎn)化法。

師：我們小組先將綠豆鋪滿整張樹(shù)葉（見(jiàn)圖6），然后把這些綠豆擺成一個(gè)長(zhǎng)方形，現(xiàn)在只要量出這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，就能計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積，也就推測(cè)出了樹(shù)葉的面積。

師：你們覺(jué)得這個(gè)辦法怎么樣？

生：我覺(jué)得這個(gè)方法將不規(guī)則的樹(shù)葉轉(zhuǎn)化為規(guī)則的長(zhǎng)方形圖形，這樣就解決了估測(cè)一粒綠豆底面積不準(zhǔn)的問(wèn)題，可以更加精確、更加方便地計(jì)算出樹(shù)葉的面積。

方法3.撒綠豆實(shí)驗(yàn)法。

生：我們組的方法與大家很不同，我們想到在樹(shù)葉上空撒下一把綠豆，綠豆就會(huì)散布在長(zhǎng)方形里，然后我們?cè)贁?shù)出長(zhǎng)方形里面和樹(shù)葉上的綠豆的數(shù)量，看看兩部分?jǐn)?shù)量有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，它們的面積也應(yīng)該具有這樣的倍數(shù)關(guān)系。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可以測(cè)量，可以計(jì)算出長(zhǎng)方形的面積，然后就可以根據(jù)倍數(shù)關(guān)系計(jì)算出樹(shù)葉的面積了。

師：這種方法很特別，大家聽(tīng)能明白嗎？他們這一組采用的是什么方法？

生：他們想用圖形中綠豆分布的數(shù)量關(guān)系來(lái)推測(cè)樹(shù)葉面積與整個(gè)長(zhǎng)方形之間的關(guān)系。

師：你們是怎么想到用撒綠豆這種方法的？

生：老師，我們盒子里的綠豆很少，不夠鋪滿整片樹(shù)葉，我們只好想到用撒綠豆的方法來(lái)粗略地估測(cè)樹(shù)葉的面積。

師：大家評(píng)價(jià)一下這種方法到底能不能估測(cè)出樹(shù)葉的面積呢？

生1：如果只撒一次，撒不均勻，怎么辦？

生2：撒一次可能不夠，可以多撒幾次，每次盡量撒得均勻，我覺(jué)得這樣的話，可以試一試。

生3：這種方法我們以前從來(lái)沒(méi)有遇到過(guò)，可以先試一試，做一做實(shí)驗(yàn)，然后再下結(jié)論行還是不行。

師：大家的思考和評(píng)估非常理性，不輕易相信一種方法，也不輕易否定一種方法，而是通過(guò)嘗試后，用事實(shí)說(shuō)話，很好。我們可以試一試做實(shí)驗(yàn)。想一想，我們?cè)谧鋈鼍G豆實(shí)驗(yàn)時(shí)可能會(huì)遇到什么問(wèn)題？你們?cè)囈辉嚭笤賮?lái)交流。

3.規(guī)范實(shí)驗(yàn)

生1：為了解決撒得不太均衡的問(wèn)題，我們小組通過(guò)實(shí)驗(yàn)后總結(jié)出了一些經(jīng)驗(yàn)。首先，撒綠豆的高度在10厘米最好，其次，要居中撒下來(lái)，力度不能太重，也不能太輕，自然撒落最好。

生2：我還有補(bǔ)充，筐要放平，不能搖動(dòng)。綠豆要抓一小把，一次性自由撒落。

生3：為了避免出現(xiàn)偶然性，我們組認(rèn)為要多做幾次實(shí)驗(yàn)。

生4：用大數(shù)據(jù)來(lái)推測(cè)會(huì)比較準(zhǔn)確。

師：通過(guò)嘗試和實(shí)驗(yàn)，大家從撒綠豆的高度、位置、力度等方面總結(jié)出了怎么撒比較均衡，還領(lǐng)悟到了一個(gè)重要思想方法，就是要多撒幾次，把偶然性降低。

（三）實(shí)驗(yàn)實(shí)施，檢驗(yàn)方法

1.實(shí)驗(yàn)要求

師：怎么隨機(jī)撒綠豆，怎么統(tǒng)計(jì)綠豆，也就是說(shuō)怎么做一個(gè)比較規(guī)范的實(shí)驗(yàn)，大家已經(jīng)清楚了，現(xiàn)在請(qǐng)大家小組合作做實(shí)驗(yàn)。做實(shí)驗(yàn)時(shí)，要注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

（1）撒豆：四人小組，大家輪流撒綠豆。

（2）記錄：每撒一次，統(tǒng)計(jì)員就要記錄數(shù)據(jù)。

（3）計(jì)算：最后算出幾次實(shí)驗(yàn)的總數(shù)據(jù)。

2.實(shí)驗(yàn)實(shí)施

全班分為10個(gè)小組，每人參與實(shí)驗(yàn)過(guò)程。

3.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

收集全班數(shù)據(jù)，并利用Excel表格（見(jiàn)表1）把數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為條形統(tǒng)計(jì)圖（見(jiàn)圖7）。

4.分析數(shù)據(jù)

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？又有什么猜想？

生：長(zhǎng)方形內(nèi)綠豆數(shù)量是樹(shù)葉圖形內(nèi)綠豆數(shù)量的2倍左右。我猜想，長(zhǎng)方形的面積是樹(shù)葉面積的2倍左右。

師：我們來(lái)測(cè)量一下長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，長(zhǎng)是15厘米，寬是12厘米，根據(jù)這個(gè)猜想，請(qǐng)你推測(cè)出樹(shù)葉的面積。

生：15×12÷2≈90（平方厘米）。

5.實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

師：到底猜想是否正確呢？我們還需要去驗(yàn)證。你打算怎樣驗(yàn)證？

生：我們可以用以前學(xué)過(guò)的分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算的方法來(lái)驗(yàn)證。

師生活動(dòng)后，組織反饋。

生1：我用分類數(shù)的方法得到的面積大約是89平方厘米。

生2：我用轉(zhuǎn)化算的方法，得到面積大約是90平方厘米。

6.實(shí)驗(yàn)結(jié)論

用撒綠豆的實(shí)驗(yàn)方法，獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)后，計(jì)算出長(zhǎng)方形和樹(shù)葉上綠豆數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)它們數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系可以推測(cè)出這兩種圖形的面積關(guān)系，從而推算出樹(shù)葉的面積。

（四）實(shí)驗(yàn)反思，揭示原理

1.實(shí)驗(yàn)反思

師：為了區(qū)別于分類數(shù)、轉(zhuǎn)化算，今天這個(gè)方法可以取什么名稱？

生：可以取名“實(shí)驗(yàn)估”。

師：比較這三種估測(cè)樹(shù)葉面積的方法，你有什么想說(shuō)的？

出示圖8。

生1：如果有格子圖的話，轉(zhuǎn)化算比較簡(jiǎn)單，但是結(jié)果不一定準(zhǔn)確;分類數(shù)比較準(zhǔn)確，但是數(shù)比較麻煩。

生2：如果沒(méi)有格子圖，我們可以用綠豆或者大米、黃豆這些東西，通過(guò)做實(shí)驗(yàn)來(lái)推測(cè)不規(guī)則圖形的面積。但做實(shí)驗(yàn)要注意撒得均勻，做的次數(shù)要多一些。

師：我們已經(jīng)會(huì)用分類數(shù)、轉(zhuǎn)化算來(lái)估計(jì)不規(guī)則圖形的面積了，為什么這節(jié)課還要去發(fā)明“實(shí)驗(yàn)估”這種方法呢？

生1：可能性和幾何圖形的面積聯(lián)系起來(lái)，我們以前沒(méi)有做過(guò)。原來(lái)用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)可以推測(cè)出樹(shù)葉面積，很神奇。

生2：這節(jié)課我們學(xué)會(huì)了解決問(wèn)題的一種新方法：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，然后做實(shí)驗(yàn)又發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，形成猜想，最后驗(yàn)證猜想是否正確。

師：蘋(píng)果手機(jī)的創(chuàng)始人喬布斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)一句話，創(chuàng)新就是把不同的事物聯(lián)系起來(lái)。這節(jié)課我們用統(tǒng)計(jì)概率的思想去解決面積問(wèn)題，就是把不同領(lǐng)域的知識(shí)與思想方法聯(lián)系起來(lái)，這是一種創(chuàng)新，我們?cè)谧鲆患缃缢伎嫉氖隆?/p>

2.揭示原理

師：其實(shí)早在幾百年前，就有了這樣的方法。我們來(lái)了解一下實(shí)驗(yàn)原理。

閱讀材料：蒙特卡洛法。

考慮平面上一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部一個(gè)形狀不規(guī)則的“圖形”，如何求出這個(gè)“圖形”的面積呢？蒙特卡洛法是這樣一種“隨機(jī)化”的方法：向該正方形“隨機(jī)地”投擲a個(gè)點(diǎn)落于“圖形”內(nèi)，有b個(gè)點(diǎn)落入這個(gè)不規(guī)則圖形中，則該“圖形”的面積近似為b/a。

師：如果你對(duì)這個(gè)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)法感興趣，課后可以上網(wǎng)進(jìn)一步去了解和學(xué)習(xí)，還可以進(jìn)一步思考，這個(gè)實(shí)驗(yàn)法還可以幫助我們解決哪些實(shí)際問(wèn)題？

三、課后再思

如何測(cè)量樹(shù)葉的面積，學(xué)生在經(jīng)歷了第一段借助方格圖估算樹(shù)葉的面積外，面對(duì)沒(méi)有方格圖，僅借助綠豆，能否想到新的方法去解決?！皩?shí)驗(yàn)估”把“統(tǒng)計(jì)概率”與“幾何面積”聯(lián)系了起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了思維的跨界，這種方法的價(jià)值不在于是否“實(shí)用”，而在于思維方式的創(chuàng)新，像這樣具有探究性、拓展性的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了問(wèn)題解決的策略與方法，更是豐富了數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了數(shù)學(xué)能力，拓寬了數(shù)學(xué)思想。由此可見(jiàn)，“跨學(xué)科課程”要讓學(xué)生真實(shí)地融入問(wèn)題情境之中，在高認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和持久性，使數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更多指向創(chuàng)造性和批判性思維。

“跨界聯(lián)結(jié)”視角下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)要擺脫“一題、一例、一解”的處方化模式，要開(kāi)放問(wèn)題的探索空間，讓學(xué)生可以從多角度提出問(wèn)題，進(jìn)而讓學(xué)生篩選出有價(jià)值的問(wèn)題。如利用綠豆，有辦法估測(cè)出樹(shù)葉的面積嗎？這個(gè)問(wèn)題探索空間就非常大，使得學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷“直接鋪設(shè)法—密鋪轉(zhuǎn)化法—撒綠豆實(shí)驗(yàn)法”思維不斷創(chuàng)新的過(guò)程，知識(shí)聯(lián)結(jié)不斷跨界的過(guò)程，從定向測(cè)量到轉(zhuǎn)化度量，最終想到用統(tǒng)計(jì)概率的思想研究面積，使“面積”與“概率”兩個(gè)不同領(lǐng)域的內(nèi)容在思考與實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)了完美“跨界聯(lián)結(jié)”，這一“跨界聯(lián)結(jié)”不僅打通了學(xué)生的隨機(jī)思想和定量思想的“任脈”，而且實(shí)現(xiàn)了思維方式的創(chuàng)新。

教師也不能簡(jiǎn)單地將學(xué)生封閉在“知”與“不知”的動(dòng)態(tài)平衡上，而要延伸到整個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的“問(wèn)題”和“解決”空間上，使他們?cè)趯?shí)驗(yàn)探索中獲得一次次良好的深度情感體驗(yàn)。如深度評(píng)估與反思“直接鋪設(shè)法”“間接轉(zhuǎn)化法”和“撒綠豆實(shí)驗(yàn)法”三種測(cè)量方法，完成實(shí)驗(yàn)探索后再對(duì)“分類數(shù)”“轉(zhuǎn)化算”和“實(shí)驗(yàn)估”三種方法的比較體驗(yàn)，特別是對(duì)“實(shí)驗(yàn)估”的看法，有學(xué)生提出：“可能性和幾何圖形的面積聯(lián)系起來(lái)，我們以前沒(méi)有做過(guò)這樣的思考?！边@是學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)后獲得的深度反思。

總之，“跨界聯(lián)結(jié)”視域下數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課要讓學(xué)生的高階認(rèn)知與元認(rèn)知協(xié)同發(fā)展，唯有這樣，學(xué)生的創(chuàng)新力才能不斷迸發(fā)。

【參考文獻(xiàn)】

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