范建明，薛斌強

(青島大學自動化學院，山東 青島 266071)

0 引言

然而，上述MHE方法在計算中只考慮了估計的準確性，計算過程復雜，當計算量過大時會降低估計效率。所以本文針對含有丟包的網(wǎng)絡系統(tǒng)提出了一種分布式滾動時域估計(Distributed Moving Horizon Estimation,DMHE)方法，不僅給出了丟包補償策略，還利用標量加權線性最小方差的方法在保證了估計的準確度的同時減少了計算過程。最后對該估計算法的穩(wěn)定性進行了詳細分析并通過仿真驗證了該方法的有效性和合理性。

1 問題描述

考慮式(1)的線性離散的隨機丟包系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

(1)

x(k)∈X,w(k)∈W,v(k)∈V

(2)

其中，δjk是符號函數(shù)，E{·}表示期望，Q≥0，R>0，Q和R反映了系統(tǒng)對模型和測量結果的置信度，如果Q>R，則表示系統(tǒng)模型對估計效果的影響大于測量值；反之亦然。

當系統(tǒng)發(fā)生丟包時，采取測量補償?shù)姆椒?，利用零階保持器將上一時刻的測量值作為當前時刻的測量值，可以將帶有丟包的系統(tǒng)描述為

(3)

其中，γ(k)表示測量值丟失情況，并滿足在0與1之間取值的Bernoulli分布。γ(k)=1時表示該時刻系統(tǒng)無丟包現(xiàn)象；當γ(k)=0時測量值丟失，估計器保持前一時刻的數(shù)據(jù)，丟包概率滿足

(4)

假設k時刻我們得知數(shù)據(jù)包是否發(fā)生丟失，也就是說γ(k)已知(可以通過比較y(k)與y(k-1)的值得到γ(k))。

2 估計器的設計

2.1 性能指標的選取

假設系統(tǒng)有L個傳感器，每個傳感器能夠實現(xiàn)本地的數(shù)據(jù)估計以及與相鄰傳感器進行數(shù)據(jù)傳輸和交換?；贛HE的滾動優(yōu)化策略，首先考慮一個長度為N+1的滾動窗口，并且窗口中的測量數(shù)據(jù)均由第i個傳感器節(jié)點得到。根據(jù)MHE原理，在T時刻，節(jié)點i的狀態(tài)估計值可以通過極小化一個二次優(yōu)化目標函數(shù)(5)得到。

(5)

s.t.式(1)～式(4)。

(6)

(7)

(8)

此時，到達代價函數(shù)的形式可以描述為

(9)

且滿足

β1+β2+…+βL=1

(10)

2.2 加權矩陣的計算

從目標函數(shù)中可以看出，該方法在估計分布式系統(tǒng)的狀態(tài)時利用從相鄰節(jié)點得到的測量值和先驗估計值來補償本節(jié)點的估計效果，其中到達代價函數(shù)部分采用了加權融合的策略，但是加權矩陣的計算方法沒有最優(yōu)性，因此在設計時考慮到估計的實時性，采用了計算量小的按標量加權線性最小方差的融合準則。

(11)

(12)

(13)

并且trP≤trPii。

由引理1可知，在T時刻，當?shù)弥到y(tǒng)狀態(tài)的L個無偏估計值時，通過計算得到各個傳感器估計值的加權矩陣并最終獲得最優(yōu)的融合估計值。但值得注意的是，本文在求解T時刻的估計值時，是對到達代價函數(shù)進行加權計算并通過求解一個目標函數(shù)直接獲得最終估計值，所以不能直接使用引理1中的公式，因此本文提出了一種策略，即將T-1時刻對T時刻的狀態(tài)估計值作為加權矩陣的計算標準。

(14)

在互協(xié)方差矩陣Pij已知的情況下，將式(14)帶入式(12)即可得到T時刻的加權矩陣。其中Pij可以是根據(jù)每個節(jié)點性質設定的固定矩陣，也可以是每個估計時刻通過計算得到的時變矩陣，具體計算方法可參考文獻[9]。

3 估計器穩(wěn)定性分析

接下來以節(jié)點i為例分析估計器的穩(wěn)定性，為書寫方便，證明過程中下標ek|T均記為ek。

(15)

s.t.式(1)～式(4)。

證明：對估計誤差求期望可得

(16)

(17)

(18)

顯然

(19)

對其兩側求期望得

(20)

結合式(16)和(21)可得

(21)

由式(2)得v(k)和w(k)的均值為零，所以化簡得

(22)

4 仿真分析

為進一步驗證所設計估計方法的有效性，需要進行仿真分析，為此考慮以下狀態(tài)空間模型：

(23)

將系統(tǒng)的平均誤差范數(shù)(MEN)表示為

(24)

圖1 λ=0.8時狀態(tài)x1

圖2 λ=0.8時狀態(tài)x2

圖3 λ=0.8時MEN

圖1～圖3給出了給定丟包概率下的狀態(tài)軌跡，從圖中可以看出，DMHE算法由于考慮了丟包補償策略，所以估計狀態(tài)的跟隨效果較好；并且從表1得知，隨著丟包概率的增加，DMHE相對于參考文獻中的算法能夠得到更小的估計誤差。表2給出了計算量不同時估計所用的時間，從中可以看出DMHE所采用的按標量加權線性最小方差的融合準則能夠在保證估計效果的情況下減少估計時間，并且效果隨著計算量的增加而更加顯著。

表1 不同λ下的MEN

表2 不同k下的估計用時(s)

5 結論

針對具有隨機丟包的分布式網(wǎng)絡系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題，提出了一種魯棒滾動時域估計方法。系統(tǒng)中的節(jié)點能夠通過網(wǎng)絡與相鄰節(jié)點傳輸數(shù)據(jù)，并采用零階保持器來補償丟包對估計的影響。基于滾動優(yōu)化原理，傳感器節(jié)點利用本地測量數(shù)據(jù)和相鄰節(jié)點傳來的數(shù)據(jù)將狀態(tài)估計問題轉化為固定窗口內的二次優(yōu)化問題，并使用標量加權線性最小方差的方法對性能指標進行加權融合。該方法不僅保證了系統(tǒng)的一致性，還在保證準確度的情況下減少了計算時間。最后，討論了估計器的穩(wěn)定性并進行仿真驗證。