田英楠， 王嘉琪， 張新立

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

0 引言

量子博弈論是以量子信息論為主要工具研究博弈論的一門(mén)新興交叉學(xué)科，最早由Meyer提出。由于量子博弈能解決很多經(jīng)典博弈所不能解決的問(wèn)題，所以提出之后就越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注,并被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)、信息科學(xué)等諸多領(lǐng)域[1]。而寡頭壟斷是現(xiàn)實(shí)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)中最普遍存在的市場(chǎng)結(jié)構(gòu)，庫(kù)諾特模型是寡頭壟斷的一種最基本模型。李慧等人[2]首次構(gòu)造了一個(gè)“最小”量子結(jié)構(gòu)來(lái)研究具有連續(xù)變量的量子庫(kù)諾特博弈，后人在此基礎(chǔ)上運(yùn)用Li-Du-Massar方案對(duì)庫(kù)諾特寡頭模型進(jìn)行了廣泛量子化研究，譬如，YoheiSekiguchi等人[3]發(fā)現(xiàn)當(dāng)糾纏度足夠大時(shí)，不對(duì)稱(chēng)均衡全部消失；Lo等人[4]發(fā)現(xiàn)量子糾纏度越大，各個(gè)企業(yè)在納什均衡點(diǎn)的利潤(rùn)越高；Du等人[5]發(fā)現(xiàn)在非對(duì)稱(chēng)信息的量子庫(kù)諾特模型中，量子納什均衡點(diǎn)利潤(rùn)是否高于經(jīng)典納什均衡點(diǎn)利潤(rùn)，與量子糾纏度、信息不對(duì)稱(chēng)程度相關(guān)；Zhou等人[6]發(fā)現(xiàn)在多人量子庫(kù)諾特模型中，量子糾纏度趨于無(wú)窮大時(shí)，囚徒困境問(wèn)題得以解決；Frackiewicz[7]發(fā)現(xiàn)不管逆需求函數(shù)與成本函數(shù)是否為線性，量子庫(kù)諾特模型都只有一個(gè)納什均衡解。

上述學(xué)者雖利用量子博弈論對(duì)庫(kù)諾特寡頭博弈模型進(jìn)行了分析，得出一些新結(jié)論，但參與者都是完全理性的。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中，由于參與人認(rèn)知的局限，企業(yè)采取完全理性行為規(guī)則是很難實(shí)現(xiàn)的。因此，許多學(xué)者又從放松理性假設(shè)角度對(duì)經(jīng)典庫(kù)諾特模型進(jìn)行了分析研究。常見(jiàn)理性行為假設(shè)主要有：基本有限理性行為(一般簡(jiǎn)稱(chēng)有限理性)、延遲有限理性行為、適應(yīng)性有限理性行為、天真預(yù)期行為等[8]。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)具有不同預(yù)期的經(jīng)典動(dòng)態(tài)寡頭博弈模型進(jìn)行了研究。比如，Agiza和Elsadany[9]構(gòu)建具有不同預(yù)期的雙寡頭模型(有限理性與適應(yīng)性預(yù)期)，給出了均衡解的穩(wěn)定區(qū)域，并對(duì)復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)值模擬；于羽等人[10]構(gòu)建具有有限理性與天真預(yù)期的庫(kù)諾特寡頭博弈模型，引入了產(chǎn)品差異性，研究了產(chǎn)品差異程度對(duì)納什均衡穩(wěn)定性的影響；張?bào)K驤等人[11]構(gòu)建具有不同預(yù)期的雙寡頭模型(有限理性與天真預(yù)期)，分析了均衡解的存在性與穩(wěn)定性，并用數(shù)值模擬研究了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與復(fù)雜現(xiàn)象；Hu等人[12]構(gòu)建具有不同預(yù)期的雙寡頭模型(有限理性與天真預(yù)期)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)采用延遲反饋控制，會(huì)使系統(tǒng)從混沌狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)；黃萌佳等人[13]構(gòu)建了具有知識(shí)溢出效應(yīng)的不同預(yù)期雙寡頭模型(有限理性與適應(yīng)性預(yù)期)，對(duì)有限理性預(yù)期下的動(dòng)態(tài)決策過(guò)程和系統(tǒng)的混沌復(fù)雜性進(jìn)行研究。

1 量子庫(kù)諾特模型

(1)

容易得到兩企業(yè)的納什均衡為

(2)

通過(guò)計(jì)算，γ≠0時(shí)，兩企業(yè)的產(chǎn)量分別為

(3)

兩企業(yè)的量子利潤(rùn)分別為

(4)

通過(guò)求出對(duì)πiQ關(guān)于xi的偏導(dǎo)，得到企業(yè)i(i=1,2)的邊際利潤(rùn):

(5)

解方程組(5)，可得到兩企業(yè)的量子納什均衡為

(6)

2 不同理性的量子庫(kù)諾特動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

由于寡頭壟斷市場(chǎng)信息的不完全性，每個(gè)企業(yè)掌握的市場(chǎng)信息并不充分，只可能做出有限理性決策。本文假設(shè)第一個(gè)企業(yè)是有限理性的，企業(yè)根據(jù)邊際利潤(rùn)的信息決定產(chǎn)量，若t時(shí)期邊際利潤(rùn)為正數(shù)(負(fù)數(shù))，則企業(yè)會(huì)在t+1時(shí)期增加(降低)產(chǎn)量，其模型可表示為

(7)

其中,α>0為第一個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度。

假設(shè)企業(yè)2具有適應(yīng)性預(yù)期，也就是t+1時(shí)期的產(chǎn)量由t時(shí)期的產(chǎn)量決策與t時(shí)期最優(yōu)產(chǎn)量的加權(quán)平均共同決定，其模型可表示為

(8)

(9)

由式(7)與(8)，可得到不同理性行為的兩企業(yè)二維離散動(dòng)力系統(tǒng):

(10)

3 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的量子均衡解與局部穩(wěn)定性分析

令xi(t+1)=xi(t)=xi，得出復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)(10)對(duì)應(yīng)的代數(shù)系統(tǒng):

(11)

為了研究量子均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，首先求出均衡離散動(dòng)力系統(tǒng)的Jacobian矩陣，即：

(12)

其中，

根據(jù)系統(tǒng)均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)Jacobian矩陣的所有特征值|λi|<1,i=1,2，均衡點(diǎn)才是穩(wěn)定的。因此，有如下結(jié)論：

定理1量子邊界均衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的。

證明：點(diǎn)E1的Jacobian矩陣為：

J(E1)的特征值分別為：λ1=b11,λ2=1-v，由于|λ1|>1，所以量子邊界均衡點(diǎn)E1是不穩(wěn)定的。

定理2量子納什均衡點(diǎn)E2滿足局部穩(wěn)定性的充要條件：

(13)

J(E2)的特征多項(xiàng)式為p(λ)=λ2-Tr(J)λ+Det(J)，其中Tr(J)表示跡，Det(J)表示行列式，且Tr(J)=2-v-2αcoshγ(beγ+ccoshγ)x′1,

由于Tr(J)2-4Det(J)>0，所以J(E2)的特征根為實(shí)數(shù)。|λi|<1,i=1,2的充要條件為Jury條件成立：1)1-Tr+Det>0,2)1+Tr+Det>0,3)Det-1<0。

利用模型假設(shè)可得：

顯然條件(1)與(3)恒成立。條件(2)等于

化簡(jiǎn)即得E2的局部穩(wěn)定條件。

4 數(shù)值模擬

為了更清楚地觀察參數(shù)處于穩(wěn)定域外所表現(xiàn)出來(lái)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)性特征，在本節(jié)運(yùn)用Matlab對(duì)雙寡頭動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(10)進(jìn)行數(shù)值模擬，描繪出單參數(shù)產(chǎn)量分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)圖與對(duì)初始條件敏感性，從這幾方面分析量子糾纏度與企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整速度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性及動(dòng)態(tài)行為的影響。模型中的各參數(shù)賦值為a=10;b=0.6;c=0.5。

4.1 分岔與混沌分析

圖1演示了v=0.7時(shí)，兩個(gè)企業(yè)產(chǎn)量隨α變化的分岔圖與相對(duì)應(yīng)最大的李雅普諾夫指數(shù)圖。當(dāng)γ=0時(shí)，量子納什均衡點(diǎn)(3.575,3.575)在α<0.244 6保持局部穩(wěn)定。隨著α的增大，量子納什均衡點(diǎn)不再穩(wěn)定，并會(huì)產(chǎn)生分岔、混沌現(xiàn)象。當(dāng)γ=0.2時(shí)，量子納什均衡點(diǎn)(2.805,2.805)在α<0.263 5保持局部穩(wěn)定?？梢?jiàn)，隨著糾纏度增大，系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性就越高，出現(xiàn)分岔與混沌的可能性就越小。當(dāng)系統(tǒng)李雅普諾夫指數(shù)為正數(shù)時(shí)，代表著發(fā)生混沌現(xiàn)象。比較γ=0與γ=0.2的情況，發(fā)現(xiàn)最大李雅普諾夫指數(shù)大于0與量子糾纏度呈現(xiàn)正相關(guān)性。

圖1 v=0.7時(shí),產(chǎn)量隨α變化分岔混沌圖與對(duì)應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)圖

圖2演示了v=0.5時(shí)，兩個(gè)企業(yè)產(chǎn)量隨α變化的分岔圖與相對(duì)應(yīng)最大的李雅普諾夫指數(shù)圖，發(fā)現(xiàn)分岔混沌現(xiàn)象與糾纏度之間的關(guān)系與v=0.7時(shí)相同。因此，糾纏度能增強(qiáng)系統(tǒng)(10)的穩(wěn)定性，可以有效地控制分岔與混沌出現(xiàn)。

圖2 v=0.5時(shí),產(chǎn)量隨α變化分岔混沌圖與對(duì)應(yīng)的最大李雅普諾夫指數(shù)圖

奇怪吸引子是指時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，在任何一個(gè)有界集上出發(fā)的非定常流的所有軌道在其內(nèi)部的一個(gè)集合，是混沌系統(tǒng)的主要特征之一。圖3描述了不同糾纏度條件下，經(jīng)過(guò)迭代10 000次對(duì)應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇怪吸引子，顯示了α=0.37時(shí)的分形結(jié)構(gòu)。

圖3 α=0.37時(shí)對(duì)應(yīng)圖1混沌現(xiàn)象的奇怪吸引子

4.2 初始條件敏感性分析

混沌現(xiàn)象的一個(gè)重要特征就是對(duì)初始條件的敏感依賴性，為探究不同糾纏度條件下系統(tǒng)混沌狀態(tài)對(duì)初始條件敏感性的影響，設(shè)兩個(gè)企業(yè)的初始點(diǎn)為(x1(0),x2(0))=(3,3),相對(duì)微小變動(dòng)的初始點(diǎn)(x1(0)+0.000 1,x2(0))，(x1(0),x2(0)+0.000 1)，其中參數(shù)的取值為a=10；b=0.8;c=0.5;v=0.5;α=0.35。圖4、圖5分別為在不同糾纏度下，兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)量隨時(shí)間的變化圖。初始值與微小的變動(dòng)初始值對(duì)應(yīng)的兩條曲線在初期系統(tǒng)動(dòng)態(tài)的演化都是無(wú)序狀態(tài)且變化并不顯著，但是隨著時(shí)間推進(jìn)，企業(yè)產(chǎn)量變化表現(xiàn)出明顯的差異性。在相同初始值下，企業(yè)1比企業(yè)2產(chǎn)量的變動(dòng)振幅大。隨著糾纏度增加，產(chǎn)量隨時(shí)間變化較為平穩(wěn)，對(duì)初始值的敏感性較弱。因此，增大糾纏度可以減弱系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化過(guò)程中初始條件的敏感依賴性。

圖4 公司1產(chǎn)量對(duì)初始條件的敏感性

圖5 公司2產(chǎn)量對(duì)初始條件的敏感性

5 結(jié)語(yǔ)

本文將量子糾纏植入到不同理性預(yù)期條件下的量子庫(kù)諾特動(dòng)態(tài)博弈模型，在假定兩個(gè)企業(yè)分別具有有限理性與適應(yīng)性預(yù)期，成本函數(shù)為二次非線性，且具有相同的邊際成本條件下，探究量子糾纏度、企業(yè)產(chǎn)量調(diào)整速度對(duì)均衡點(diǎn)穩(wěn)定性與動(dòng)態(tài)復(fù)雜性的影響，并對(duì)此模型進(jìn)行了穩(wěn)定性分析與數(shù)值模擬。結(jié)果表明，隨著量子糾纏度的增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性會(huì)提升，產(chǎn)量調(diào)整速度增加至某一閾值時(shí)，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一系列分岔進(jìn)入不可預(yù)測(cè)的混沌狀態(tài)。系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)之后，任何初始條件的細(xì)微變動(dòng)，都會(huì)引起產(chǎn)量發(fā)生激烈變化。量子糾纏度對(duì)控制系統(tǒng)的混沌狀態(tài)起著重要的促進(jìn)作用，從而使得企業(yè)可以選擇穩(wěn)定合理的產(chǎn)量。