環(huán)靖

試題源于教材又高于教材，翻閱歷年中考題，我們不難看到教材例題的身影。為此，在中考復(fù)習(xí)時(shí)回歸教材，關(guān)注典型例題的深層次挖掘，一方面符合思維能力較弱的同學(xué)的接受實(shí)際，另一方面也為思維能力較強(qiáng)的同學(xué)拓展思維深度。因此，深究教材例題，是考前復(fù)習(xí)較為有效的手段之一。

例題 （蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)例2）已知：如圖1，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF。

求證：四邊形BEDF是平行四邊形。

證明過(guò)程見(jiàn)教材。

本題可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行變化：

【變式1】已知：如圖2，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于點(diǎn)O。

求證：OE=OF。

證明：連接BE、DF。

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC，AD=BC。

∵AE=CF，

∴DE=BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∴OE=OF。

【點(diǎn)評(píng)】本題除了可以通過(guò)證明四邊形BEDF是平行四邊形外，也可以通過(guò)證明△EOD

≌△FOB來(lái)解決。本題在原題條件不變的情況下，圖形輕微變化，證明思路、策略與教材例題并無(wú)區(qū)別。

【變式2】已知：如圖3，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上， EF、BD相交于點(diǎn)O，且OE=OF。

求證：AE=CF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD∥BC，AD=BC，

∴∠EDO=∠FBO。

∵∠EOD=∠FOB，OE=OF，

∴△EOD≌△FOB，

∴DE=BF，∴AE=CF。

【點(diǎn)評(píng)】本題將變式1中的條件（AE=CF）與結(jié)論互換，雖然不能通過(guò)先證明四邊形BEDF是平行四邊形的方法得到DE=BF，但是可以從全等的角度得到。由此可見(jiàn)，條件與結(jié)論互逆后的解題方法并不是簡(jiǎn)單地將原方法互逆，而是要尋找新的途徑進(jìn)行思考。

【變式3】已知：如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。

求證： 四邊形AECF是平行四邊形。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=DC，AB∥DC。

∵E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

∴FC=[12]DC，AE=[12]AB，∴FC=AE。

又∵CF∥AE，

∴四邊形AECF是平行四邊形。

【點(diǎn)評(píng)】本題是對(duì)教材例題的特殊化。其實(shí)，利用教材例題的證明過(guò)程也可以進(jìn)行證明，但是教材例題的證明卻不可以完全照搬本題的證明過(guò)程。

【變式4】已知：如圖5，在?ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分線(xiàn)分別交AD、BC于點(diǎn)E、F。

求證：BE∥DF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC。

∵BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，

∴∠EBC=[12]∠ABC，∠ADF=[12]∠ADC，

∴∠EBC=∠ADF。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，

∴∠EBC=∠DFC，∴BE∥DF。

【點(diǎn)評(píng)】如果說(shuō)變式3是線(xiàn)段的特殊化，那么本題就是角的特殊化。解題策略也從線(xiàn)段方面思考變?yōu)閺慕欠矫嫠伎肌?/p>

【變式5】已知：如圖6，在?ABCD中，∠ABE=[1n]∠ABC，∠FDC=[1n]∠ADC。

求證：BE∥DF。

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC。

∵∠ABE=[1n]∠ABC，∠FDC=[1n]∠ADC，

∴∠EBC=[n-1n]∠ABC，

∠ADF=[n-1n]∠ADC，

∴∠EBC=∠ADF。

∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DFC，

∴∠EBC=∠DFC，∴BE∥DF。

【點(diǎn)評(píng)】本題雖然將變式4進(jìn)行一般化處理，但是兩題的解題思路與過(guò)程卻是一致的。

我們可以發(fā)現(xiàn)，很多試題實(shí)際上是將教材例題的條件或者圖形進(jìn)行強(qiáng)化、弱化、一般化、特殊化、條件結(jié)論互逆化等一系列的變化得到。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們不能局限于教材例題的解決，也要利用變式思維思考這些題目還有哪些變化，進(jìn)而達(dá)到解一題、通一類(lèi)的效果。

（作者單位：江蘇省南京市六合高級(jí)中學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)）