白群,趙聞蕾

(大連交通大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

在電氣化鐵道諧波補償整體流程中，補償電流(即諧波電流)檢測環(huán)節(jié)直接影響后續(xù)環(huán)節(jié)補償效果.為了達(dá)到牽引網(wǎng)供電系統(tǒng)檢測諧波速度快、精準(zhǔn)度高的要求，選擇了閉環(huán)連續(xù)調(diào)節(jié)的自適應(yīng)檢測系統(tǒng).自適應(yīng)檢測系統(tǒng)通過閉環(huán)完成迭代更新，具有較好的抗噪性與魯棒性，即使?fàn)恳╇娤到y(tǒng)電流電壓產(chǎn)生突變后仍能正常完成檢測[1-2].由于該檢測系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，計算量小，具有較好的實時性和跟蹤性，現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于系統(tǒng)辯識和噪聲對消等領(lǐng)域中.

自適應(yīng)濾波器最早采用由威德羅(Widrow)和霍夫(Hoff)共同提出的最小均方算法(Least Mean Square，LMS)，因該算法方便計算而廣泛應(yīng)用到工程實際中.因其固定步長的算法無法同時滿足收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度的要求，文獻(xiàn)[3]在最小均方算法固定步長的基礎(chǔ)上提出了一種變步長LMS算法其中步長的幅值改變基于sigmoid函數(shù)；文獻(xiàn)[4]基于文獻(xiàn)[3]的變步長函數(shù)提出了類sigmoid算法，降低了步長函數(shù)計算的復(fù)雜度；文獻(xiàn)[5]提出了基于箕舌線函數(shù)的變步長算法，此函數(shù)特點在于沒有指數(shù)運算環(huán)節(jié)，但穩(wěn)態(tài)精度與文獻(xiàn)[4]相差無幾；文獻(xiàn)[6-7]分別采用了雙曲正割與雙曲正切函數(shù)，各自引入了參數(shù)?和h來改善該函數(shù)形狀特性，使函數(shù)底部變化平緩，具有更小的穩(wěn)態(tài)步長.以上文獻(xiàn)或是在保持較大步長的前提下降低了算法計算復(fù)雜度，但忽略了穩(wěn)態(tài)穩(wěn)定性；或是具有較高的穩(wěn)態(tài)精度而沒有考慮收斂速度.

根據(jù)上述文獻(xiàn)中學(xué)者對變步長LMS算法的研究，本文提出了結(jié)合雙曲正割函數(shù)與雙曲正切函數(shù)的變換步長的檢測算法，對上述文獻(xiàn)算法與本算法進(jìn)行仿真，并分析各種方法的電流檢測效果.

1 自適應(yīng)濾波電流檢測的原理

自適應(yīng)濾波的原理是基于威德羅提出的自適應(yīng)噪聲對消技術(shù)(Adaptive Noise Canceling Techn-ology, ANCT)，其原理框圖如圖1所示.

圖1 自適應(yīng)濾波的原理框圖

濾波系統(tǒng)包括兩個輸入信道：原始信號和參考信號.其中，原始信號包括源信號s和噪聲信號n0，s和n0不相關(guān)，參考信號n1與n0相關(guān).n1通過自適應(yīng)濾波器算法處理后，得到與n0相近的噪聲信號y，通過減法器相減抵消原始信號中的n0，得到消除了噪聲信號的源信號.同時將減法器輸出的誤差信號e實時反饋給自適應(yīng)濾波器，不斷更新濾波器輸出值，使其更接近n0，達(dá)到最佳的噪聲對消效果.

在牽引供電系統(tǒng)中，假設(shè)牽引負(fù)載的非正弦周期性電流為：

=i1(t)+ih(t)

(1)

式中，i1(t)為基波電流，ih(t)為諧波電流，θ為電流相位，k為諧波次數(shù).

以采樣周期Ts對負(fù)載電流iL(t)離散化采樣，上式可改寫成：

(2)

式中，n為采樣時刻，iL(t)為負(fù)載電流抽樣值，i1p(n)和i1q(n)分別為基波有功和基波無功分量，ih(t)為諧波電流總和.

牽引網(wǎng)電壓經(jīng)鎖相環(huán)分離后輸出的標(biāo)準(zhǔn)正余弦信號x1(n)、x2(n)作為參考輸入信號，用矢量表示為x(n)=[x1(n),x2(n)]T.

基于ANCT原理，將基波電流信號i1(n)作為噪聲信號，以x1(n)、x2(n)為參考輸入的信號經(jīng)自適應(yīng)濾波器后輸出信號y(n)，通過調(diào)整與x(n)對應(yīng)的權(quán)值向量w(n)=[w1(n),w2(n)]T，使迭代運算過程中的y(n)無限接近i1(n)，再令原始信號iL(n)與y(n)作差即可得到需要檢測的諧波電流ih(n)[9].

綜上所述，基于ANCT的諧波電流檢測算法為：

(3)

2 基于ANCT的算法分析

2.1 傳統(tǒng)算法

2.1.1 最陡下降算法

由自適應(yīng)濾波器模型可知，其輸出信號為：

(4)

輸出誤差為：

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-wT(n)x(n)

(5)

誤差平方為：

e2(n)=d2(n)-2d(n)wT(n)x(n)

+wT(n)x(n)xT(n)w(n)

(6)

定義均方誤差為：

J(n)=E[e2(n)]

=E[d2(n)]-2wT(n)P+wTRw(n)

(7)

式中，P=E[d(n)x(n)]為原始信號和參考信號的互相關(guān)矩陣，R=E[x(n)xT(n)]為參考信號的自相關(guān)矩陣.

對均方誤差求梯度得：

(8)

令式(8)中梯度向量為0，即可求得式(7)的最小權(quán)值向量：

wmin(n)=R-1P

(9)

將式(9)帶入到式(7)中得到使其成立的最小均方誤差為：

J(n)min=E[d2(n)]-wminT(n)P

(10)

最陡下降算法是使權(quán)值沿著均方誤差最小的梯度方向運動的[10]，即：

w(n+1)=w(n)-μ?J(n)

(11)

式中，μ為自適應(yīng)算法的迭代步長.

2.1.2 最小均方算法

由于獲得最陡下降法中參考輸入信號的自相關(guān)矩陣R和期望信號的互相關(guān)矩陣P有很大難度，所以最陡下降算法在自適應(yīng)濾波環(huán)節(jié)中不常使用.因此，威德羅和霍夫提出了LMS算法，該方法采用瞬時平方誤差e2(n)、R和P的瞬時估計值來估計梯度向量.

R和P的瞬時估計值為：

(12)

可得梯度向量的瞬時估計值為：

(13)

權(quán)值更新公式為：

w(n+1)=w(n)+2μe(n)x(n)

(14)

為使算法收斂，步長μ應(yīng)滿足：

(15)

式中，λmax為參考輸入信號的自相關(guān)矩陣R的最大特征值，因?qū)嶋H中不容易得到，且λmax

(16)

2.2 變步長自適應(yīng)諧波檢測算法

因為LMS算法具有原理簡單、參數(shù)少的特點，被應(yīng)用在自適應(yīng)濾波器中.但權(quán)值更新向量取自于仍受諧波污染的誤差e(n)，使系統(tǒng)的權(quán)值系數(shù)接近最佳權(quán)值時，誤差e(n)仍舊存在，權(quán)值將繼續(xù)波動，無法保持穩(wěn)態(tài).并且LMS算法中使用固定步長，如步長取值較小，則算法收斂速度慢；若選擇的步長能夠使系統(tǒng)有較快的收斂速度，會導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差較大.因此，初始收斂速度和穩(wěn)態(tài)精度無法在始終一致的步長情況下被滿足，多數(shù)實驗對步長進(jìn)行折中選擇，無法使算法具有優(yōu)越性.為此，已有學(xué)者提出多種變步長LMS算法，使LMS算法在諧波檢測中具有更強的適用性.

基于sigmoid函數(shù)的變步長公式為[3]：

(17)

式中，α控制μ(n)的形狀，決定函數(shù)曲線的變化率；β控制μ(n)的范圍，使μ(n)不會超過β/2.

在sigmoid函數(shù)算法的基礎(chǔ)上提出了新的類sigmoid算法，其步長計算公式為[4]：

μ(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))

(18)

該函數(shù)同樣可通過調(diào)節(jié)參數(shù)α、β來調(diào)整函數(shù)形狀及范圍.

基于箕舌線的變步長LMS自適應(yīng)算法的步長更新公式為[5]：

(19)

雙曲正割函數(shù)改進(jìn)步長表達(dá)式為[6]：

(20)

參數(shù)γ的作用與α類似，調(diào)節(jié)誤差接近于零時的函數(shù)形狀.

雙曲正切函數(shù)變步長公式為[7]：

(21)

引入?yún)?shù)h可改善函數(shù)形狀，使函數(shù)取值接近零時變化率較小.

通過設(shè)置上述五種函數(shù)的可變參數(shù)，使步長取值在近似范圍內(nèi)，整合的函數(shù)曲線如圖2所示.觀察圖2中函數(shù)形狀，sigmoid函數(shù)和雙曲正割函數(shù)在初始跟蹤階段的變化速率大，雙曲正割函數(shù)的收斂速度更快，且這兩個函數(shù)在e(n)≈0時都仍具有較大的步長，影響檢測系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度.類sigmoid函數(shù)和箕舌線函數(shù)的初始收斂速度相對于sigmoid函數(shù)和雙曲正割函數(shù)略有下降有，在趨近于穩(wěn)定狀態(tài)展現(xiàn)出類似的步長變化趨勢，函數(shù)底部變化更為平緩.雙曲正切函數(shù)整體變化速率較慢，如若進(jìn)一步調(diào)整參數(shù)h可獲得更為平緩的穩(wěn)態(tài)步長變化趨勢，滿足較高的穩(wěn)態(tài)精度要求.

圖2 整合的五種函數(shù)曲線圖

2.3 改進(jìn)的變步長LMS算法

通過現(xiàn)有學(xué)者對各類變步長函數(shù)的優(yōu)劣分析，本實驗采取了將兩種特點不同的函數(shù)結(jié)合的改進(jìn)變步長LMS濾波算法.利用雙曲正割函數(shù)初始跟蹤階段較快的收斂速度和雙曲正切函數(shù)較高的穩(wěn)態(tài)精度相結(jié)合，利用某一特定誤差值作為判別條件進(jìn)行變步長函數(shù)切換，切換過程原理如圖3所示.

圖3 變步長函數(shù)切換原理圖

通過設(shè)置一個特定的誤差值e0，作為兩種變步長函數(shù)切換的分界點.當(dāng)供電系統(tǒng)發(fā)生突變時，檢測環(huán)節(jié)需快速應(yīng)對系統(tǒng)電流變化，此時選擇跟蹤速度快、收斂實時性好的基于雙曲正割函數(shù)的LMS算法；當(dāng)誤差的絕對值e(n)小于給定值e0時，切換為基于雙曲正切函數(shù)的LMS算法，該算法下穩(wěn)態(tài)步長較小，不易發(fā)生震蕩，有利于系統(tǒng)保持原有的穩(wěn)定狀態(tài)或達(dá)到新的穩(wěn)態(tài).基于雙曲正割和雙曲正切函數(shù)的定誤差切換過程如圖4所示.

圖4 變步長切換過程圖

3 仿真分析

實驗設(shè)置負(fù)載電流在0.2s發(fā)生突變，借此可直觀觀察到電流從穩(wěn)態(tài)-突變-另一穩(wěn)態(tài)的過程.圖5為過程中負(fù)載電流變化曲線，圖6～圖8分別為基于傳統(tǒng)LMS算法、基于雙曲正割函數(shù)的LMS算法和基于雙曲正切函數(shù)的LMS算法的基波檢測電流波形圖.

圖5 負(fù)載電流

圖6 基于傳統(tǒng)LMS算法的檢測電流

圖7 基于雙曲正割函數(shù)算法的檢測電流

圖8 基于雙曲正切函數(shù)算法的檢測電流

通過觀察上述三種不同算法下的檢測波形圖，可發(fā)現(xiàn)，相對于傳統(tǒng)LMS算法，基于雙曲正割函數(shù)的變步長算法的檢測實驗收斂速度比傳統(tǒng)LMS算法更快，但在變化產(chǎn)生的第一個電流周期后半段可見檢測電流比實際電流略大，檢測過程穩(wěn)定度欠佳.而雙曲正切函數(shù)由于初始步長較小，收斂過程在突變后第四個周期才完成，收斂速度慢，但穩(wěn)定性好.

結(jié)合了雙曲正割與雙曲正切函數(shù)的改進(jìn)變步長算法檢測波形如圖9所示，從波形圖中可以看出在突變發(fā)生后第二個周期波形已經(jīng)穩(wěn)定，該方法應(yīng)對突變的跟蹤速度和穩(wěn)態(tài)精度均優(yōu)于單獨的變步長算法，與前文的理論分析保持一致.

圖9 基于改進(jìn)算法的檢測電流

4 結(jié)論

本文針對牽引供電系統(tǒng)中牽引負(fù)荷實時變化的特性，通過分析傳統(tǒng)固定步長和多種變步長LMS自適應(yīng)濾波算法基礎(chǔ)上，結(jié)合兩種變步長函數(shù)，提出了一種改進(jìn)的濾波算法，該算法結(jié)合雙曲正割和雙曲正切函數(shù)的優(yōu)點，兼具快速跟蹤能力和穩(wěn)態(tài)保持能力.通過實驗仿真分析，證實了該改進(jìn)的算法收斂速度快，跟蹤性能好，在電氣化鐵路系統(tǒng)等時變系統(tǒng)具有良好的適用性.