劉永明，趙帥帥，趙轉(zhuǎn)哲，陳 玉，趙宏偉

（1.安徽工程大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，蕪湖241000；2.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，蕪湖241000）

壽命分布是描述機(jī)械產(chǎn)品和電子產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)的分布規(guī)律和可靠性的重要方法，在壽命數(shù)據(jù)分析、可靠性設(shè)計(jì)、疲勞可靠性分析、維修決策、保修策略制定等方面得到了廣泛的應(yīng)用[1?2]。壽命分布決策的準(zhǔn)確性直接影響到產(chǎn)品可靠性分析、使用壽命評(píng)定、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、維修決策制定等效果。

目前關(guān)于機(jī)械產(chǎn)品壽命分布的研究主要以Weibull等[3?4]開(kāi)發(fā)的三參數(shù)威布爾分布模型為主，該模型可以描述早期故障、偶發(fā)故障和耗損性故障，適用于復(fù)雜設(shè)備故障分布，在可靠性領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。多年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同角度對(duì)三參數(shù)威布爾模型進(jìn)行了研究[5?12]。Cordeiro等[5]提出了一種新的指數(shù)威布爾分布模型，并研究了該模型的概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)。Wang等[6]提出了一種基于核主成分分析和威布爾比例風(fēng)險(xiǎn)模型的滾動(dòng)軸承可靠性評(píng)估方法，減小了可靠性評(píng)估中同一類(lèi)型軸承在制造、安裝、工作條件等方面的差異。Freels等[7]提出兩參數(shù)威布爾分布的幾種修改方式，用于分析“浴盆”型壽命分布。Baloui[8]基于模糊威布爾和組件壽命，建立了模糊可靠性函數(shù)。南東雷等[9]提出使用蒙特卡洛方法結(jié)合極大似然估計(jì)法對(duì)三參數(shù)威布爾分布模型進(jìn)行參數(shù)點(diǎn)估計(jì)數(shù)值求解。位林營(yíng)等[10]提出了基于指數(shù)威布爾分布的復(fù)雜電子系統(tǒng)使用可靠度建模方法，可動(dòng)態(tài)描述系統(tǒng)可靠度變化。

然而，并不是所有的機(jī)械產(chǎn)品壽命分布曲線都具有威布爾分布的形狀特征，工程實(shí)際中復(fù)雜產(chǎn)品的很多故障是具有周期性和振蕩型的，其壽命分布因會(huì)呈現(xiàn)出衰減振蕩的變化規(guī)律，即隨著使用時(shí)間的增加產(chǎn)品的壽命分布概率密度總體呈指數(shù)衰減，局部振蕩的變化趨勢(shì)。而目前國(guó)內(nèi)外對(duì)威布爾模型的研究大多是忽略了機(jī)械產(chǎn)品的周期性故障引起的概率密度的振蕩問(wèn)題，這往往與實(shí)際的工程數(shù)據(jù)存在一定的誤差，影響了模型應(yīng)用的精度。

本文在傳統(tǒng)壽命分布模型的基礎(chǔ)上，構(gòu)建具有指數(shù)衰減振蕩概率密度分布規(guī)律的壽命分布模型，給出相應(yīng)的可靠度、失效率以及平均壽命計(jì)算模型。在此基礎(chǔ)上，研究衰減系數(shù)、振蕩幅值、振蕩角頻率等參數(shù)對(duì)概率分布特征的影響，最后以某型叉車(chē)搭載的液力自動(dòng)變速箱故障時(shí)間數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，運(yùn)用建立的概率分布模型對(duì)該型液力自動(dòng)變速箱故障時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并與指數(shù)分布模型、三參數(shù)威布爾模型和“浴盆曲線”模型擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所建立的概率分布模型的有效性。

1 指數(shù)衰減振蕩型概率密度分布模型構(gòu)建

當(dāng)產(chǎn)品失效率曲線具有振蕩型特征的時(shí)候，其概率密度具有指數(shù)衰減振蕩的特征?？梢詷?gòu)建如式（1）所示的三參數(shù)產(chǎn)品壽命概率分布模型，其概率密度函數(shù)為

式中：t為壽命度量指標(biāo)，且t≥0；λ為衰減系數(shù)；A為振蕩幅值；ω為振蕩角頻率。

由式（1）所示的壽命概率密度函數(shù)可以推導(dǎo)出產(chǎn)品的壽命累積分布函數(shù)為

顯然式（1）滿足如下條件，即

同時(shí)，式（2）能夠滿足以下完備性要求，即

因此，式（1）可以作為壽命分布的概率密度函數(shù)，式（2）可以作為壽命分布的累積分布函數(shù)，式（1，2）可以作為指數(shù)衰減振蕩型壽命分布模型。

進(jìn)一步，根據(jù)可靠度與壽命累積分布函數(shù)之間的關(guān)系，可以推導(dǎo)出可靠度的表達(dá)式為

失效率函數(shù)的表達(dá)式為

平均壽命計(jì)算模型的表達(dá)式為

2 不同參數(shù)對(duì)壽命概率分布特征的影響

針對(duì)式（1）所示的概率分布模型，分別研究衰減系數(shù)λ，振蕩幅值A(chǔ)，振蕩角頻率ω等對(duì)壽命概率分布特征的影響規(guī)律。

2.1 衰減系數(shù)對(duì)壽命概率分布特征的影響

當(dāng)A=100，ω=0.001，λ分 別 為0.000 2、0.000 5、0.000 8時(shí)，所對(duì)應(yīng)的概率密度曲線、可靠度變化曲線和失效率變化曲線分別如圖1～3所示。

圖1 衰減系數(shù)對(duì)概率密度的影響Fig.1 Effect of attenuation coefficient on probability density

圖2 衰減系數(shù)對(duì)可靠度的影響Fig.2 Effect of attenuation coefficient on reliability

由圖1～3可以看出，衰減系數(shù)λ越小，失效率越低，可靠度越高，概率密度變化越平緩。同時(shí)，由圖1可以看出，概率密度呈指數(shù)衰減振蕩變化規(guī)律，由圖3可以看出，失效率不在是一恒定不變的常數(shù)，具有一定的周期性和波動(dòng)性，且波動(dòng)周期一樣。

圖3 衰減系數(shù)對(duì)失效率的影響Fig.3 Effect of attenuation coefficient on failure rate

2.2 振蕩幅值對(duì)壽命概率分布特征的影響

當(dāng)λ=0.000 2，ω=0.001，A分別為200、500、800時(shí)，所對(duì)應(yīng)的概率密度曲線、可靠度變化曲線和失效率變化曲線分別如圖4～6所示。

圖4 振蕩幅值對(duì)概率密度的影響Fig.4 Effect of oscillation amplitude on probability density

圖5 振蕩幅值對(duì)可靠度的影響Fig.5 Effect of oscillation amplitude on reliability

由圖4～6可以看出，振蕩幅值A(chǔ)越大，概率密度、可靠度及失效率振蕩越劇烈。同時(shí)，由圖4可以看出，概率密度呈指數(shù)衰減振蕩變化規(guī)律，由圖6可以看出，失效率不在是一恒定不變的常數(shù)，具有一定的周期性和波動(dòng)性，且波動(dòng)周期一樣。

圖6 振蕩幅值對(duì)失效率的影響Fig.6 Effect of oscillation amplitude on failure rate

2.3 振蕩角頻率對(duì)壽命概率分布特征的影響

當(dāng)λ=0.000 2，A=500，ω分 別 為0.000 2、0.000 4、0.000 6時(shí)，所對(duì)應(yīng)的概率密度曲線、可靠度變化曲線和失效率變化曲線分別如圖7～9所示。

圖7 振蕩角頻率對(duì)概率密度的影響Fig.7 Effect of oscillation angular frequency on probabili?ty density

圖8 振蕩角頻率對(duì)可靠度的影響Fig.8 Effect of oscillating angular frequency on reliability

由圖7～9可以看出，振蕩角頻率ω越大，概率密度、可靠度及失效率振蕩越快。同時(shí)，由圖7可以看出，概率密度呈指數(shù)衰減振蕩變化規(guī)律，由圖9可以看出，失效率不在是一恒定不變的常數(shù)，具有一定的周期性和波動(dòng)性，且ω越大，波動(dòng)周期越小。

圖9 振蕩角頻率對(duì)失效率的影響Fig.9 Effect of oscillation angular frequency on failure rate

3 指數(shù)衰減振蕩型壽命分布模型的應(yīng)用

為驗(yàn)證所建模型的實(shí)用性，以某型號(hào)叉車(chē)為例，該型號(hào)叉車(chē)2018年售出3萬(wàn)輛，跟蹤一年售后維修記錄，其搭載的液力自動(dòng)變速箱117臺(tái)發(fā)生故障，儀表盤(pán)記錄的部分故障時(shí)間按升序排列如表1所示。

表1 液力自動(dòng)變速箱部分故障時(shí)間Table 1 Partial failure time of automatic transmission

采用經(jīng)驗(yàn)分布的方法，計(jì)算該液力變速箱故障時(shí)間的概率密度分布曲線、可靠度曲線及失效率曲線，如圖10～12所示。

圖10 經(jīng)驗(yàn)分布概率密度Fig.10 Probability density of empirical distribution

圖11 經(jīng)驗(yàn)分布可靠度Fig.11 Reliability of empirical distribution

圖12 經(jīng)驗(yàn)分布失效率Fig.12 Failure rate of empirical distribution

從圖10～12可以看出，該液力自動(dòng)變速箱的壽命概率密度、可靠度及失效率隨時(shí)間增加呈現(xiàn)出衰減振蕩的變化特征。顯然，該液力自動(dòng)變速箱的概率密度分布特征不易采用傳統(tǒng)的指數(shù)分布、正態(tài)分布、兩參數(shù)威布爾分布和三參數(shù)威布爾分布等概率密度模型描述?；谠撘毫ψ詣?dòng)變速箱在若干時(shí)刻點(diǎn)的故障數(shù)據(jù)（表1），計(jì)算壽命概率密度值，在此基礎(chǔ)上利用式（1）對(duì)其壽命概率密度特征進(jìn)行參數(shù)擬合，并與采用指數(shù)分布、三參數(shù)威布爾及文獻(xiàn)[13]所提“浴盆曲線”模型擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖13所示，4種方法擬合結(jié)果的均方根誤差如表2所示。

圖13 概率密度對(duì)比Fig.13 Comparison of probability density

表2 均方根誤差對(duì)比Table 2 Comparison of root mean square error

由圖13及表2可以看出，與指數(shù)分布、三參數(shù)威布爾分布和文獻(xiàn)[13]所提“浴盆曲線”模型相比，在擬合曲線形狀上，所建立的指數(shù)衰減振蕩模型能夠較好地模擬該液力自動(dòng)變速箱無(wú)故障工作時(shí)間概率密度在t為528.28、739.32、950.35、1 161.38和1 372.42 h的衰減振蕩特征。這是因?yàn)椋谒p振蕩模型中指數(shù)部分通過(guò)引入周期函數(shù)，更好地描述了數(shù)據(jù)的振蕩特性，同時(shí)，從表2中可以看出，采用指數(shù)衰減振蕩模型可以獲得較小的擬合均方根誤差。

采用式（1）所示的概率密度模型，計(jì)算得到該液力自動(dòng)變速箱的無(wú)故障工作時(shí)間概率密度擬合模型為

進(jìn)一步可求得可靠度和失效率模型分別為

4 結(jié) 論

（1）在指數(shù)累計(jì)失效分布模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)引入具有振蕩特征的周期函數(shù)Asin2(ωt)，構(gòu)建指數(shù)衰減振蕩分布的可靠性模型，并推導(dǎo)了相應(yīng)的概率密度、可靠度、失效率以及平均壽命計(jì)算模型。

（2）在此基礎(chǔ)上，研究衰減系數(shù)、振蕩幅值、振蕩角頻率等參數(shù)對(duì)概率分布特征的影響?？傮w上，概率密度呈指數(shù)衰減振蕩變化規(guī)律，失效率不再是一恒定不變的常數(shù)，具有一定的周期性和波動(dòng)性。其中衰減系數(shù)λ越小，失效率越小，可靠度越高，概率密度變化越平緩；振蕩幅值A(chǔ)越大，概率密度，可靠度及失效率振蕩越劇烈；振蕩角頻率ω越大，概率密度，可靠度及失效率振蕩越快。

（3）對(duì)某型叉車(chē)搭載的液力自動(dòng)變速箱的故障時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行其壽命密度和失效率分析，其經(jīng)驗(yàn)分布概率密度和失效率具有衰減振蕩的特征，運(yùn)用建立的指數(shù)衰減振蕩概率密度模型對(duì)其壽命概率密度特征進(jìn)行參數(shù)擬合，并與指數(shù)分布、三參數(shù)威布爾分布和文獻(xiàn)[13]所建立的“浴盆曲線”模型擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比結(jié)果顯示，所建立的指數(shù)衰減振蕩模型能夠較好的模擬該液力自動(dòng)變速箱無(wú)故障工作時(shí)間概率密度的衰減振蕩特征，采用指數(shù)衰減振蕩模型可以獲得較小的擬合均方根誤差，其擬合均方根誤差為3.677e-005。