田 綴

（西安電子科技大學，陜西西安710071）

引 言

無論是生產(chǎn)中還是生活中，振動都是一種常見的現(xiàn)象。隨著機械設備運行速度的提高，相關的振動問題越來越受到人們的關注。振動不僅容易引起結構的疲勞損傷，加速機器老化，影響設備壽命，而且還會降低儀器儀表的測量精度。除此之外，針對敏感設備面臨的日益苛刻的振動環(huán)境適應性要求，開展減振設計方法和應用研究成為無法規(guī)避、必須解決的關鍵技術之一[1]。

國內(nèi)外學者對機載電子設備的減振設計方法進行了大量的研究。長期以來，結構振動控制的發(fā)展很多都局限于線性振動控制的研究。通常，對機載設備進行減振一般有如下幾種方法：1）從優(yōu)化設備結構形式上進行減振設計[2–3]；2）通過安裝阻尼器、涂覆阻尼材料等措施增加系統(tǒng)阻尼來減小系統(tǒng)振動響應[4]；3）安裝吸振器將電子設備的振動響應轉移到吸振器的振子上[5]。其中安裝吸振器的方式具有實施簡單、減振效果明顯的優(yōu)點，受到大量設計師的青睞，特別是在機載電子設備領域應用最為廣泛。

然而，隨著科學技術的不斷進步，僅用線性理論分析非線性系統(tǒng)的動力學行為還顯得很不夠，在某些特定情況下，非光滑和不連續(xù)因素對機械工程問題的影響越來越引起人們的關注，考慮系統(tǒng)中非線性因素對系統(tǒng)動力學行為的影響已成為非線性動力學研究的熱點之一[6]，應用非線性吸振器進行振動能量的衰減和吸收也開始引起學者們的興趣[7–8]。非線性吸振器具有多種吸振原理，如非線性能量阱、自參數(shù)共振等。自參數(shù)吸振器（Auto-parametric Vibration Absorber,AVA）是較為常見的一種非線性吸振器。在工程應用中，為了減小主系統(tǒng)的振動，通常給主系統(tǒng)增加一個擺或類似擺作用的輔助機構[9]，而把原先的振動系統(tǒng)轉變?yōu)樽詤?shù)振動系統(tǒng)。由于自參數(shù)共振產(chǎn)生內(nèi)作用而使擺開始擺動，吸收主系統(tǒng)的部分能量，從而減弱主系統(tǒng)的振動。自參數(shù)動力吸振器就是利用該原理制成。

眾所周知，線性動力吸振器（Tuned Mass Damper,TMD）是機械結構中常用的線性動力吸振器，在工程中得到了廣泛的應用，對其加入主動控制策略從而引入了主動TMD、半主動TMD和混合TMD的概念，可以實現(xiàn)對結構振動更好的減振效果以及魯棒性。而自參數(shù)吸振器是一種典型的非線性吸振器，尤其適用于機械結構的非線性振動控制，其減振效果已經(jīng)被很多學者證實[10]。除此之外，為了擴大自參數(shù)單擺的有效帶寬，文獻[11]還研究了一系列固有頻率略有不同的單擺。然而，如果采取被動控制的方式抑制結構振動，吸振器一旦設計制作完成，將不能適應系統(tǒng)、環(huán)境等不斷改變的要求，其性能將發(fā)生改變[12–13]。這些因素均會使得被動裝置結構振動控制的魯棒性不盡如人意，而半主動控制可以解決這一問題，尤其適用于中等振幅和大振幅。本文以單擺自參數(shù)吸振器為研究對象，詳細研究了其解的形式以及半平凡解的穩(wěn)定性，通過對單擺擺長的主動控制，提出了時變擺長的概念，對半主動單擺自參數(shù)吸振器進行研究設計。最后利用數(shù)值仿真的方法驗證了半主動自參數(shù)吸振器較好的減振效果。

1 單擺自參數(shù)吸振器

考慮一個帶有粘性阻尼擺的自參數(shù)動力吸振器的自參數(shù)耦合動力系統(tǒng)（圖1）。其中，t為時間；m1,c1,k1為線性主結構的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù)；m2,c2為擺的質(zhì)量和阻尼系數(shù)；l為其擺長；x為主結構在外力Fcos(ωt)作用下的垂直振動響應；ω為激勵頻率；θ為非線性耦合項ml¨xsinθ對單擺自參數(shù)吸振器進行參數(shù)激勵而產(chǎn)生的擺幅。

圖1 帶有單擺自參數(shù)吸振器的主結構

根據(jù)Hamilton原理，該耦合系統(tǒng)的控制方程為：

利用表1定義的符號，式（1）的控制方程可以轉換為無量綱形式：

表1 文中的無量綱符號定義

1.1 半平凡解與非平凡解

本文討論由外力引起的自參數(shù)耦合系統(tǒng)的諧波運動。通常情況下，有兩種解。一種是半平凡解，即單擺不擺動，主結構受外力激勵而進行諧波振動。即：

主系統(tǒng)的響應幅值A0可表示為：

另一種是非平凡解。單擺AVA平衡位置由于2:1的內(nèi)共振而變得不穩(wěn)定，從而引起單擺的擺動，進而導致主結構的振動減小。這時，施加在主結構上的力不僅包括外激勵，還包括由于單擺AVA的振動而產(chǎn)生的反作用力。假設耦合系統(tǒng)的非平凡解為：

式中：?1,?2分別為響應y,θ的相位差；B0為響應θ的幅值。將式（5）代入式（2），主系統(tǒng)的響應幅值A0可表示為[9]：

由式（6）可以看出，當αβ=1/2（ω2/ω=1/2）時，A0可以得到最小的響應。此外，和線性TMD相似，單擺AVA的減振效果主要取決于自身參數(shù)的合理設計。本文主要利用變剛度的方法使主結構在耦合系統(tǒng)自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]的響應A0最小，即在定義為[ωa,ωb]的自參數(shù)共振區(qū)域中一直有ω2/ω≈1/2。因此，為了減小主結構的振動響應，應首先得到式（2）中耦合系統(tǒng)的非平凡解。

1.2 半平凡解穩(wěn)定邊界

自參數(shù)耦合系統(tǒng)半平凡解和非平凡解之間的穩(wěn)定邊界的尋找最終歸結于經(jīng)典的Mathieu方程的穩(wěn)定性邊界研究。假設ε為無窮小量，Mathieu方程是最簡單的具有參數(shù)不穩(wěn)定性的方程，其中有無窮多個頻率是不穩(wěn)定的，而最不穩(wěn)定的是第一次諧波頻率：

圖2給出了不同阻尼比下非線性耦合系統(tǒng)第一次諧波頻率的穩(wěn)定邊界。不穩(wěn)定區(qū)域為非半平凡解的頻率區(qū)域。可以看到：隨著阻尼比的增大，不穩(wěn)定區(qū)域有縮小的趨勢。也就是說，對于較小的阻尼比，半平凡解更容易變得不穩(wěn)定，單擺吸振器也更容易被激勵，從而吸收主結構的振動能量。

圖2 自參數(shù)系統(tǒng)半平凡解的穩(wěn)定邊界

隨著自參數(shù)激勵幅值A0的增大，次諧波頻率附近的不穩(wěn)定區(qū)域呈不對稱趨勢。在不穩(wěn)定區(qū)域的非對稱區(qū)域，文獻[14]發(fā)現(xiàn)存在兩個非平凡解的Hopf分岔，唯一的非平凡解將失去穩(wěn)定性。因此，為了避免非平凡解的進一步不穩(wěn)定，進而發(fā)生混沌現(xiàn)象，本文研究在小幅激勵下的半主動自參數(shù)吸振器的減振性能。

2 半主動單擺自參數(shù)吸振器

半主動單擺自參數(shù)吸振器的實現(xiàn)主要是通過向單擺增加控制，進而根據(jù)外界激勵頻率來主動控制單擺的固有頻率，使主結構在自參數(shù)共振區(qū)域響應最低點處相應的αβ始終等于或接近1/2。

2.1 半主動自參數(shù)單擺數(shù)值建模

為了用相應的精確αβ來跟蹤最低點，用不同的頻率比β計算了一系列的幅值響應曲線，然后確定每個幅值響應曲線對應的最低點（對應的α）。圖3顯示了在每個最低點選擇的α和β的值，并給出了α與β的線性擬合曲線?？梢钥闯?，在小激勵幅度下與解αβ=1/2的擬合曲線吻合較好。

使用圖3自參數(shù)共振區(qū)中的精確值進行計算，圖4是主結構和分別帶有被動和半主動單擺自參數(shù)吸振器的主結構的頻響曲線?？梢钥闯觯号c被動自參數(shù)吸振器相比，半主動方法改善了單擺自參數(shù)吸振器的阻尼效果，增大了耦合系統(tǒng)的自參數(shù)共振區(qū)域（有效帶寬）。圖5是單擺的相應頻響曲線，表明了主結構和被動、半主動自參數(shù)吸振器的自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]。值得一提的是：在自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]內(nèi)，單擺的頻率隨激勵頻率而變化；而在該區(qū)域之外，擺的頻率是固定的，頻率比β設定為0.5。

圖3 在幅值響應最低點的α和β的關系圖

圖4 主結構和主結構帶有被動、半主動單擺AVA的頻響曲線（精確值見圖3 ）

圖5 被動和半主動單擺AVA的頻響曲線

圖6和圖7將利用自參數(shù)共振區(qū)域中的精確值和擬合值計算得到的半主動自參數(shù)吸振器的減振效果進行了比較。可以看出：在耦合系統(tǒng)自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]，依據(jù)ω2/ω=1/2，半主動單擺自參數(shù)吸振器在工程中可以線性實現(xiàn)。

圖6 主結構和主結構帶有半主動單擺AVA的頻響曲線

圖7 半主動單擺AVA的頻響曲線（精確值和擬合值見圖3 ）

2.2 時變擺長設計

眾所周知，單擺的固有頻率可以很簡單地根據(jù)其長度來調(diào)整。因此，在一定的掃頻速度下，本文設計了一個單擺長度隨掃頻激勵頻率ω變化的半主動自參數(shù)吸振器。單擺長度可以根據(jù)每個頻響曲線的最低點αβ的值來調(diào)整，其變化規(guī)律如下：

圖8是式（8）中的掃頻激勵頻率與單擺長度之間的關系圖。擺長隨激勵頻率的增加呈拋物線型變化。可以看出：基于分段線性化方法，可以在自參數(shù)共振區(qū)域[ωa,ωb]進行線性化處理，因此可以得到一個便于工程應用的時變擺長的半主動自參數(shù)吸振器。

圖8 擺長與激勵頻率的變化規(guī)律

然而，在工程應用中，實現(xiàn)時變長度是一個有待解決的問題。一方面，可以使用帶有記憶元件的智能材料來實現(xiàn)。例如，形狀記憶合金允許從溫度變化引起的相變中恢復高達5%的應變[15]。擺的時變長度應通過在線識別信號進行動態(tài)補償[16]。另一方面，如果將由永磁體組成的剛度調(diào)節(jié)裝置連接到單擺上，可以根據(jù)所產(chǎn)生的磁力直接調(diào)節(jié)單擺的固有頻率[17]。

3 數(shù)值仿真

利用Simulink對圖1的自參數(shù)耦合系統(tǒng)進行仿真分析，其主結構有量綱參數(shù)為：ξ0=1%，?=4.8 Hz，m1=5 kg。在工程應用中，為了不改變主結構的動力學行為，被動TMD的質(zhì)量通常為主結構的1%～3%。對于自參數(shù)吸振器的被動裝置也同樣如此。假設單擺自參數(shù)吸振器的質(zhì)量為主結構的3%，激勵振幅為0.35 N，為了便于得到自參數(shù)吸振器的非平凡解，將其單擺阻尼比設定為0.1%，接近于零。給單擺施加主動控制后，單擺自參數(shù)吸振器的減振性能可通過其長度來調(diào)節(jié)。單擺擺長通過掃頻速度進行線性調(diào)節(jié)。

圖9是帶有被動和半主動單擺自參數(shù)吸振器的主結構的頻響曲線。可以看出：在線性掃頻激勵下，采用半主動方式提高了被動單擺自參數(shù)吸振器的減振性能。需要注意的是，當單擺自參數(shù)吸振器在自參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)振動時，由于其非線性效應，主結構的頻響曲線會出現(xiàn)微小的振蕩現(xiàn)象。此外，在恒定掃描速度0.03 Hz?s下，在自動參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)的單擺長度可從48 mm線性變化到39 mm。

圖9 帶有被動AVA和半主動AVA的主結構的頻響曲線

4 結束語

本文提出了一種半主動自參數(shù)吸振器的數(shù)值設計方法；通過對帶有吸振器的線性主結構的自參數(shù)耦合系統(tǒng)半平凡解穩(wěn)定性邊界的探討，找出了在自參數(shù)共振區(qū)域半主動單擺自參數(shù)吸振器頻率的線性變化規(guī)律；進而基于分段線性化方法，提出了便于工程應用的時變擺長的設計方法。數(shù)值仿真結果表明：在相同質(zhì)量的條件下，半主動單擺自參數(shù)吸振器很好地改善了被動自參數(shù)吸振器的減振性能。受目前條件所限，不能對該半主動單擺自參數(shù)吸振器進行試驗驗證，僅用數(shù)值仿真的辦法對其有效性進行了驗證。關于半主動單擺自參數(shù)吸振器的實驗模型的建立及其減振效果的實驗驗證，將是后續(xù)工作中的研究重點。