基于復(fù)阻尼模型等效的黏性阻尼模型時域計算方法

孫攀旭，楊 紅, 2，趙志明，劉慶林

(1. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400045； 2. 重慶大學(xué) 山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室， 重慶 400045； 3. 深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 交通與環(huán)境學(xué)院， 廣東 深圳 518172)

目前，最常用的阻尼模型是黏性阻尼模型和復(fù)阻尼模型[1].黏性阻尼模型具有數(shù)學(xué)簡易性、物理上滿足因果性等優(yōu)點[2]，但黏性阻尼模型的計算依賴于結(jié)構(gòu)振型阻尼比，結(jié)構(gòu)振型阻尼比通常需要由試驗測定，過程較為復(fù)雜[3].復(fù)阻尼模型直接依賴于材料的阻尼特性，不需要進行振型阻尼比的測定[4]，但具有時域發(fā)散[5]及非因果性[6]等缺陷.因此，尋找兩種阻尼模型之間的等效關(guān)系，構(gòu)建一種等效于復(fù)阻尼模型的黏性阻尼模型具有重要意義.

為構(gòu)建等效復(fù)阻尼模型，Yang等[7]依據(jù)線彈性體的時域本構(gòu)關(guān)系，采用最小二乘法使其近似等于頻域內(nèi)的復(fù)阻尼本構(gòu)關(guān)系.Reggio等[8]采用Maxwell-Wiechert本構(gòu)模型，在頻域范圍內(nèi)近似等效于復(fù)阻尼本構(gòu)模型.Wang[9]在頻域內(nèi)采用Rayleigh阻尼矩陣等效復(fù)阻尼矩陣.李暾等[10]基于譜矩相等原則構(gòu)建出一種等效復(fù)阻尼模型，但上述方法的計算過程較為復(fù)雜.文獻[3,11-12]依據(jù)復(fù)阻尼模型和黏性阻尼模型的自由振動響應(yīng)，構(gòu)建出損耗因子和阻尼比的近似2倍關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，本文以基于復(fù)阻尼模型的頻率相關(guān)黏性阻尼模型[13-14]為依據(jù)，從結(jié)構(gòu)固有特征恒定的角度出發(fā)，構(gòu)建了材料損耗因子與結(jié)構(gòu)阻尼比的更合理等效關(guān)系，進而建立了與復(fù)阻尼模型等效的黏性阻尼模型(以下簡稱“復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型”).

對于單一阻尼特性材料組成的黏性阻尼體系，阻尼矩陣滿足經(jīng)典阻尼條件，可直接采用實振型疊加法進行計算[15].在具體結(jié)構(gòu)分析中，采用振型阻尼比構(gòu)造阻尼矩陣更為直觀方便[16].本文利用材料損耗因子與結(jié)構(gòu)振型阻尼比的等效關(guān)系，建立了復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型的實振型疊加法.

對于不同阻尼特性材料組成的黏性阻尼體系，阻尼矩陣為非比例阻尼矩陣，實振型疊加法將不再適用.針對非比例阻尼體系，Clough等[15]提出可以通過構(gòu)造不同阻尼比的子結(jié)構(gòu)，由分塊Rayleigh阻尼矩陣疊加得到非比例阻尼矩陣.在此基礎(chǔ)上，進一步利用狀態(tài)空間法實現(xiàn)非比例阻尼體系的復(fù)振型疊加法[17-19].但分塊Rayleigh阻尼矩陣的構(gòu)造依賴于子結(jié)構(gòu)的振型阻尼比，子結(jié)構(gòu)振型阻尼比的確定是困難的.為解決該問題，本文基于新提出的更合理的材料損耗因子與對應(yīng)子結(jié)構(gòu)振型阻尼比的等效關(guān)系，建立了復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型的復(fù)振型疊加法.

1 損耗因子與阻尼比的等效關(guān)系

1.1 復(fù)阻尼模型與黏性阻尼模型等效

基于復(fù)阻尼模型的單自由度體系時域運動方程為

(1)

式(1)對應(yīng)的自由振動方程為

(2)

求解式(2)，剔除發(fā)散項[21]，可得到對應(yīng)的自由振動響應(yīng)為

x(t)=e-λHt(A1sinωHt+A2cosωHt)

(3)

式中：

(4)

基于黏性阻尼模型的單自由度體系時域運動方程為

(5)

式(5)對應(yīng)的自由振動方程為

(6)

求解式(6)可得

x(t)=e-λVt(C1sinωVt+C2cosωVt)

(7)

式中：

(8)

ωV為結(jié)構(gòu)的有阻尼自振頻率；λV為自由振動的衰減系數(shù)；C1和C2為待定系數(shù)，可由初值條件確定.

為構(gòu)建阻尼比與損耗因子的等效關(guān)系，依據(jù)結(jié)構(gòu)的固有特征恒定，將復(fù)阻尼模型與黏性阻尼模型的自由振動響應(yīng)等效[3,11-12]，自由振動響應(yīng)的等效不僅包括衰減系數(shù)的等效，還包括有阻尼自由振動頻率的等效，即

λV=λH

(9)

ωV=ωH

(10)

進一步得

式(11)和(12)無法同時成立，表明復(fù)阻尼模型與黏性阻尼模型的自由振動響應(yīng)是無法直接等效的.究其原因，復(fù)阻尼模型的自由振動解需要舍棄發(fā)散解，在數(shù)學(xué)上是非完整解，對應(yīng)的有阻尼自振頻率和衰減系數(shù)均隨著損耗因子的增大而增大.而黏性阻尼模型的有阻尼自振頻率隨著阻尼比的增大而減小，衰減系數(shù)隨著阻尼比的增大而增大.因此，理論上復(fù)阻尼模型和黏性阻尼模型的自由振動響應(yīng)是不能等效的.

1.2 頻率相關(guān)黏性阻尼模型與黏性阻尼模型等效

為克服復(fù)阻尼模型的時域發(fā)散缺陷，依據(jù)時頻域轉(zhuǎn)換原則可得到基于復(fù)阻尼模型的頻率相關(guān)黏性阻尼模型[13-14]，對應(yīng)的時域運動方程為

(13)

式中：?為結(jié)構(gòu)的振動頻率.

式(13)對應(yīng)的自由振動方程為

(14)

求解式(14)可得

x(t)=e-λFt(B1sinωFt+B2cosωFt)

(15)

式中：

(16)

ωF為結(jié)構(gòu)的有阻尼自振頻率；λF為自由振動的衰減系數(shù)；B1和B2為待定系數(shù)，可由初值條件確定.

頻率相關(guān)黏性阻尼模型與黏性阻尼模型等效，可得

(17)

式(17)可轉(zhuǎn)化為

(18)

(19)

式(18)和(19)是相同的，可得到結(jié)構(gòu)阻尼比與材料損耗因子之間的關(guān)系式為

(20)

綜上，頻率相關(guān)黏性阻尼模型與黏性阻尼模型的自由振動響應(yīng)是可以直接等效的，據(jù)此建立的材料損耗因子與結(jié)構(gòu)阻尼比的等效關(guān)系具有更合理的物理意義.

將式(20)代入式(6)，將結(jié)構(gòu)有阻尼自振頻率代入式(14)，此時，式(6)和(14)具有相同的數(shù)學(xué)表達式，即

(21)

式(21)為復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型的時域自由振動方程.

基于構(gòu)建的材料損耗因子與結(jié)構(gòu)阻尼比的等效關(guān)系，頻率相關(guān)黏性阻尼模型和黏性阻尼模型具有相同的自由振動方程，從而保證了結(jié)構(gòu)的自由振動響應(yīng)和自由振動耗散能量是相同的.

頻率相關(guān)黏性阻尼模型克服了復(fù)阻尼模型的時域發(fā)散缺陷，但與復(fù)阻尼模型的頻響函數(shù)相同，仍具有物理上非因果性的缺陷，同時阻尼項中包含結(jié)構(gòu)振動頻率的未知項，計算過程較為復(fù)雜.新建立的復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型可克服復(fù)阻尼模型時域發(fā)散、非因果性的缺陷，同時保留了復(fù)阻尼模型直接依賴材料損耗因子的便捷性和黏性阻尼模型的數(shù)學(xué)簡易性，且材料損耗因子與結(jié)構(gòu)阻尼比的等效關(guān)系也更合理.

損耗因子較小時，可作如下近似

(22)

式(20)可進一步近似為

(23)

式(23)表明，當(dāng)損耗因子較小時，損耗因子與阻尼比是近似的2倍關(guān)系，與文獻[3,11-12,22-23]中小阻尼比情況下?lián)p耗因子與阻尼比的關(guān)系是一致的.

在此基礎(chǔ)上，對損耗因子近似為2倍阻尼比的適用范圍進行分析，相對誤差可表示為

(24)

以5%的相對誤差作為界定依據(jù)，式(24)可進一步轉(zhuǎn)化為

(25)

求解式(25)，可得

η≤0.580 8

(26)

綜上，當(dāng)η≤0.580 8時，損耗因子和2倍阻尼比的相對誤差小于5%，可近似認為損耗因子與阻尼比服從2倍關(guān)系.

2 單一阻尼特性材料組成的比例阻尼 體系

基于黏性阻尼模型的多自由度體系運動方程為

(27)

式(27)對應(yīng)的無阻尼振型向量

(28)

x(t)可由振型向量線性表達：

(29)

單一阻尼特性材料的比例阻尼體系可直接采用實振型疊加法，將式(29)代入式(27)，可得

(30)

n=1,2,…,N

式中：ξn為第n階振型對應(yīng)的振型阻尼比；ωn為第n階振型對應(yīng)的無阻尼自振頻率；γn為第n階振型對應(yīng)的振型參與系數(shù)，滿足

(31)

材料的損耗因子在一寬泛的頻率范圍內(nèi)是近似不變的[4]，因此單一材料結(jié)構(gòu)的振型阻尼比在一寬泛頻率范圍內(nèi)是近似不變的.通過試驗可直接測得材料的損耗因子，進一步由式(20)可得到振型阻尼比為

(32)

將式(32)代入式(30)，可得到xn(t).由式(29)可得到x(t)，進而完成了式(27)的求解，即實現(xiàn)了復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型的實振型疊加法，可方便地計算由單一阻尼特性材料組成的比例阻尼體系的動力響應(yīng).

3 不同阻尼特性材料組成的非比例阻 尼體系

對于混合結(jié)構(gòu)而言，無法直接利用材料損耗因子得到整體結(jié)構(gòu)的振型阻尼比.只能依賴于材料損耗因子得到相應(yīng)子結(jié)構(gòu)對應(yīng)的振型阻尼比.由式(20)可得

(33)

式中：ξj,n為第j種材料對應(yīng)子結(jié)構(gòu)第n階振型的振型阻尼比；ηj為第j種材料的損耗因子.

依據(jù)子結(jié)構(gòu)的振型阻尼比，需要進一步依賴于Rayleigh阻尼模型，采用分塊Rayleigh阻尼模型構(gòu)建結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣

(34)

式中：S為材料的種類數(shù)目；Mj為第j種材料對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；Kj為第j種材料對應(yīng)的子結(jié)構(gòu)剛度矩陣；αj和βj為對應(yīng)的Rayleigh阻尼系數(shù).

選擇結(jié)構(gòu)的兩階重要振型，式(34)可進一步轉(zhuǎn)化為

(35)

式中：ωm為第m階振型的無阻尼自振頻率；ξj,m、ξj,n第j種材料對應(yīng)子結(jié)構(gòu)第m階、第n階振型的振型阻尼比.

求解式(35)，可得到Rayleigh阻尼系數(shù)，進而得到結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣，但通常情況下，結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣是非比例的，無法直接采用實振型疊加法.結(jié)構(gòu)運動方程可等價為

(36)

式(36)可進一步表示為

(37)

式中：

式(37)對應(yīng)的復(fù)特征值為

(38)

i=1,2,…,N

式中：σi為第i階振型的衰減系數(shù)；ωdi為第i階振型的有阻尼自振頻率.

對應(yīng)于2N個復(fù)特征值的復(fù)特征向量為

(39)

令

(40)

由式(38)、(40)可得

(41)

位移向量x(t)可由復(fù)特征向量線性表示

(42)

利用復(fù)特征向量的正交性，可得

(43)

(44)

4 算例分析

4.1 算例1

如圖1所示，以4自由度體系為例，其具體參數(shù)取值見表1，各樓層的材料阻尼特性相同，從而構(gòu)建了由單一阻尼特性材料組成的算例模型A，材料的損耗因子為0.60.模型A的初始狀態(tài)為靜止?fàn)顟B(tài)，分別采用基于復(fù)阻尼模型的頻域計算方法(FFZ)和本文提出的復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型實振型疊加法(EVR)計算El Centro波和Taft波作用下模型A的動力響應(yīng)，結(jié)果如圖2、3所示.圖中：t為時間，d為位移，a為加速度.其中，基于復(fù)阻尼模型的頻域計算方法剔除了方程中的發(fā)散項，計算結(jié)果可視為精確解[24].不同方法計算的模型A頂層動力響應(yīng)峰值對比如表2所示.

表1 模型A參數(shù)Tab.1 Parameters of Model A

表2 模型A動力響應(yīng)Tab.2 Dynamic responses of Model A

圖1 模型A示意圖
Fig.1 Schematic diagram of Model A

El Centro波作用下，EVR和FFZ的位移時程響應(yīng)近似相等，均在t=3.48 s達到位移峰值(圖2(a))，位移峰值的相對誤差為8.55%.EVR和FFZ的加速度時程響應(yīng)近似相等，EVR在t=11.96 s處達到加速度峰值，F(xiàn)FZ在t=12.00 s處達到加速度峰值(圖2(b))，加速度峰值的相對誤差為9.46%.Taft波作用下，EVR和FFZ的位移時程響應(yīng)近似相等，EVR在t=4.22 s處達到位移峰值，F(xiàn)FZ在t=4.24 s處達到位移峰值(圖3(a))，位移峰值的相對誤差為3.44%.EVR和FFZ的加速度時程響應(yīng)近似相等，均在t=4.22 s處達到加速度峰值(圖3(b))，加速度峰值的相對誤差為6.02%.因此，EVR和FFZ的計算結(jié)果近似相等，證明了等效于復(fù)阻尼模型的黏性阻尼模型實振型疊加法的正確性.

圖2 El Centro波作用下模型A頂層響應(yīng)Fig.2 Top floor responses of Model A in El Centro wave

圖3 Taft波作用下模型A頂層響應(yīng)Fig.3 Top floor responses of Model A in Taft wave

4.2 算例2

如圖4所示，以2自由度體系為例，其具體參數(shù)取值見表3.第1層和第2層選擇不同阻尼特性的材料，進而構(gòu)建由不同阻尼特性材料組成的模型B，

圖4 模型B示意圖Fig.4 Schematic diagram of Model B

表3 模型B參數(shù)Tab.3 Parameters of Model B

其中，第1層、第2層材料的損耗因子分別為0.70、0.40.

依據(jù)第一階振型和第二階振型，可得到模型B對應(yīng)的分塊Rayleigh阻尼矩陣為

(46)

模型B的初始狀態(tài)為靜止?fàn)顟B(tài)，分別采用FFZ和本文提出的復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型復(fù)振型疊加法(EVC)計算El Centro波和Taft波作用下模型B的動力響應(yīng)，結(jié)果如圖5、6所示.不同方法計算的模型B頂層動力響應(yīng)峰值對比如表4所示.

表4 模型B動力響應(yīng)Tab.4 Dynamic responses of Model B

El Centro波作用下，EVC和FFZ的位移時程響應(yīng)近似相等，EVC在t=12.30 s處達到位移峰值，F(xiàn)FZ在t=12.32 s處達到位移峰值(圖5(a))，位移峰值的相對誤差為3.82%.EVC和FFZ的加速度時程響應(yīng)近似相等，均在t=11.76 s達到加速度峰值(圖5(b))，加速度峰值的相對誤差為8.54%.Taft波作用下，EVC和FFZ的位移時程響應(yīng)近似相等，EVC在t=4.02 s處達到位移峰值，F(xiàn)FZ在t=4.04 s處達到位移峰值(圖6(a))，位移峰值的相對誤差為4.15%.EVC和FFZ的加速度時程響應(yīng)近似相等，均在t=9.84 s處達到加速度峰值(圖6(b))，加速度峰值的相對誤差為9.68%.因此，EVC和FFZ的計算結(jié)果近似相等，證明了復(fù)阻尼等效-黏性阻尼模型復(fù)振型疊加法的正確性.

圖6 Taft地震波作用下模型B頂層響應(yīng)Fig.6 Top floor responses of Model B in Taft wave

5 結(jié)論

(1) 從結(jié)構(gòu)固有特征恒定的角度出發(fā)，基于復(fù)阻尼模型的頻率相關(guān)黏性阻尼模型，建立了材料損耗因子與結(jié)構(gòu)振型阻尼比的合理等效關(guān)系.

(2) 依據(jù)材料損耗因子與結(jié)構(gòu)振型阻尼比的等效關(guān)系，提出了與復(fù)阻尼模型等效的黏性阻尼模型，可克服復(fù)阻尼模型時域發(fā)散、非因果性的缺陷，同時保留了復(fù)阻尼模型直接依賴材料損耗因子的便捷性以及黏性阻尼模型的數(shù)學(xué)簡易性.

(3) 對于由單一阻尼特性材料組成的比例阻尼體系，利用材料損耗因子與結(jié)構(gòu)振型阻尼比相等的特征，建立了與復(fù)阻尼模型等效的黏性阻尼模型實振型疊加法.對于由不同阻尼特性材料組成的非比例阻尼體系，利用不同材料的損耗因子與對應(yīng)子結(jié)構(gòu)的振型阻尼比相等特征，提出了與復(fù)阻尼模型等效的黏性阻尼模型復(fù)振型疊加法，算例分析驗證了兩種方法的正確性.