劉 強，王明政，李 楠，李保超

(1.中國原子能科學研究院 反應(yīng)堆工程技術(shù)研究部，北京 102413；2.原興核技術(shù)有限公司，北京 102488)

池式鈉冷快堆堆本體環(huán)形柱域腔室內(nèi)具有較大自由液面，受到低頻地震激勵作用會發(fā)生晃動，如何準確計入堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件液-固邊界處的液體晃動載荷，量化液體晃動過程中對堆本體支承裙產(chǎn)生傾覆力矩，是當前池式鈉冷快堆堆本體抗震試驗研究的重點。

關(guān)于地震作用下的液體晃動及相關(guān)動力相似準則的研究成果較多，如Abramson[1]、Ewart[2]、Bauer[3]、Lomen[4]、Kornecki[5]在假定容器為剛性結(jié)構(gòu)且流體不可穿透，流體無旋、無黏、不可壓，并忽略毛細作用和表面張力的前提下，采用勢流理論推導(dǎo)了流體域自由晃動和受迫簡諧晃動運動方程的一般形式。Ibrahim[6]推導(dǎo)了多種形狀剛性容器內(nèi)液體晃動的模態(tài)公式、波高公式和壓力公式并詳細介紹了液體晃動數(shù)值計算的有限體積(VOF)法。Fujita等[7]推導(dǎo)了環(huán)形柱體域內(nèi)地震作用下液體線性晃動的頻率、波高和壓力分布公式，通過正弦三波試驗驗證了液體線性晃動的頻率和波高結(jié)果，研究了液體深度和環(huán)形柱體域內(nèi)外徑比值對晃動頻率、晃動波高和容器壁面壓力的影響。Frano等[8]建立了XADS反應(yīng)堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件的簡化三維有限元模型，采用ALE算法計算了地震作用下鉛鉍介質(zhì)的晃動頻率和晃動載荷，并進行了堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件的屈曲分析以評價晃動載荷作用下的結(jié)構(gòu)完整性。陳厚群等[9]于20世紀70～90年代對大型外浮頂儲油罐的抗震試驗開展了深入研究，提出了小變形范疇的動力相似準則，并基于此相似準則設(shè)計了儲油罐縮尺模型，開展了該模型的正弦三波試驗，進一步深入探討了罐底翹離問題。中國實驗快堆堆本體抗震試驗[10-11]采用了結(jié)構(gòu)彈性力和慣性力相似關(guān)系進行試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計以考慮液體脈沖效應(yīng)，并通過數(shù)值計算評價了相似關(guān)系引起重力失真的影響。

可見，目前常用于分析地震作用下堆本體流固耦合問題的三維有限元模型均大幅簡化了堆本體結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致無法直接根據(jù)模型計算結(jié)果評價堆本體結(jié)構(gòu)的完整性。既有試驗研究采用的動力相似準則或僅滿足液體晃動的相似關(guān)系，或僅滿足堆本體結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的相似關(guān)系。為確保堆本體抗震試驗中流體對流效應(yīng)、脈沖效應(yīng)和堆本體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的準確性，保證重力、流體與固體慣性力、結(jié)構(gòu)彈性力和結(jié)構(gòu)應(yīng)變的相似性，需發(fā)展更為適用的相似比模型，以更好地支撐堆本體的抗震試驗研究。

在堆本體抗震試驗中，為獲得準確的流體對流效應(yīng)，避免重力失真問題，同時獲得準確的流體脈沖效應(yīng)和堆本體結(jié)構(gòu)響應(yīng)，本文基于控制方程的量綱分析法，根據(jù)固體結(jié)構(gòu)振動方程、流固界面邊界條件和環(huán)形柱域液體晃動波高公式及壓力分布公式[6]建立同時滿足重力相似、流體與固體慣性力相似和結(jié)構(gòu)彈性力相似的堆本體地震動力相似準則，并確保結(jié)構(gòu)應(yīng)變嚴格相似，以滿足可能存在的堆本體失穩(wěn)破壞相似要求。

1 相似關(guān)系推導(dǎo)

首先給出固體結(jié)構(gòu)的振動方程：

(1)

式中：u為位移；ρ為密度；F為體力；θ為體應(yīng)變；λ、G為拉梅常數(shù)；t為時間；下標s表示結(jié)構(gòu)相關(guān)變量。

us=uxi+uyj+uzk

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：ux、uy、uz為結(jié)構(gòu)位移在x、y、z方向上的分量；i、j、k為x、y、z方向上的基矢量；E為結(jié)構(gòu)材料的彈性模量；μ為結(jié)構(gòu)材料的泊松比。

由式(1)～(3)可推導(dǎo)出無量綱表達式：

(8)

(9)

式中：L為幾何尺寸；a為加速度。

不可壓牛頓流體的動力學基本方程為：

(10)

式中：v為流體速度；ρf為流體密度；g為重力加速度；p為流體壓強；ν為流體運動黏性系數(shù)。

v=vxi+vyj+vzk

(11)

p=pxi+pyj+pzk

(12)

式中：vx、vy、vz為流體速度在x、y、z方向上的分量；px、py、pz為流體壓強在x、y、z方向上的分量。由此可得到4個無量綱表達式：

(13)

式中，下標f表示流體相關(guān)變量。

以上4個無量綱表達式分別代表流體的斯特勞哈爾數(shù)Sr、弗勞德數(shù)Fr、歐拉數(shù)Eu和雷諾數(shù)Re。

在流固交界面上滿足：

-p=(σij)n=λθ+2Gεij

(14)

(15)

式中：σij為應(yīng)力張量；εij為應(yīng)變張量；vn為速度矢量；下標n表示流固界面的正法線方向。

可得無量綱表達式為：

(16)

(17)

由式(13)中π3和式(17)導(dǎo)出無量綱表達式：

(18)

由式(8)、(9)、(16)、(17)、(18)可推出如下獨立相似關(guān)系：重力相似關(guān)系、固體與流體慣性力相似關(guān)系、彈性力相似關(guān)系以及雷諾數(shù)相似關(guān)系：

(19)

(20)

(21)

(22)

考慮到堆容器中液態(tài)金屬鈉正常運行溫度下的黏度較小，故在計算其地震晃動波高時，可忽略流體的黏性，即模型流體與原型流體雷諾數(shù)相似的要求可放松。

選取模型尺寸L、時間t、流體密度ρ及重力加速度g為基本變量，獲得地震作用下準確的堆本體液體晃動響應(yīng)要求：

Sa=Sg=1

(23)

式中，S表示相似比。

同時為獲得地震作用下準確的流體脈沖效應(yīng)和堆本體結(jié)構(gòu)響應(yīng)，要求流體與固體慣性力、結(jié)構(gòu)彈性力和結(jié)構(gòu)應(yīng)變嚴格相似，即：

(24)

(25)

(26)

式中，Sε為應(yīng)變相似比。

將式(26)代入式(24)可獲得流體與固體密度的相似關(guān)系：

(27)

將式(9)、(17)、(18)、(26)、(27)代入式(25)可得：

(28)

(29)

Sσ=SESε=SLSρSa

(30)

用分離變量法求解描述液體線性晃動問題的Laplace方程可得液體晃動的自振頻率：

(31)

(32)

將式(23)代入式(32)可獲得以下相似關(guān)系：

(33)

在地震作用下，堆本體內(nèi)液體的晃動屬于受迫振動。受簡諧振動激勵時，堆本體中具有自由液面的環(huán)形柱體域內(nèi)液體晃動的波高公式為：

(34)

Sδ=Sus=SLf

(35)

簡諧振動激勵下液體晃動的壓力公式為：

ρg(z-h)

(36)

式中，z為z軸坐標。由式(36)可得液體晃動壓力的相似關(guān)系：

(37)

SpI=SρfSLSa

(38)

式中，pc、pI分別為動水壓力和靜水壓力。

2 相似關(guān)系驗證

為驗證所選取相似準則的合理性與準確性，堆容器堆內(nèi)構(gòu)件驗證模型的尺寸相似系數(shù)取為6，堆容器內(nèi)液體計算模型的尺寸相似系數(shù)取為7，建立堆容器及堆內(nèi)構(gòu)件、堆容器內(nèi)液體的縮尺模型，對堆容器堆內(nèi)構(gòu)件縮尺模型進行模態(tài)及反應(yīng)譜分析。

2.1 堆容器堆內(nèi)構(gòu)件相似關(guān)系

驗證計算中選取的主要相似系數(shù)列于表1，堆容器堆內(nèi)構(gòu)件計算模型如圖1所示。

表1 結(jié)構(gòu)相似系數(shù)Table 1 Structural similarity coefficient

圖1 堆容器堆內(nèi)構(gòu)件計算模型剖視圖Fig.1 Section view of reactor vessel and reactor intervals computational model

2.2 堆容器內(nèi)液體晃動相似關(guān)系

由于堆容器內(nèi)具有自由液面的液體主要集中于由堆內(nèi)支承上板、主容器筒體及堆內(nèi)屏蔽外鋼筒所圍成的環(huán)形柱域內(nèi)，因此堆容器內(nèi)液體晃動相似驗證采用簡化模型。簡化模型由內(nèi)筒、外筒及底板組成，內(nèi)外筒間為液體域，模型如圖2所示，液體晃動驗證計算中主要相似系數(shù)列于表2，計算模型尺寸列于表3，原型與縮尺模型的計算輸入?yún)?shù)列于表4。

圖2 堆容器內(nèi)液體計算模型示意圖Fig.2 Scheme of liquid computational model in reactor vessel

表2 液體晃動計算中的主要相似系數(shù)Table 2 Similarity coefficient in liquid sloshing calculation

表3 液體晃動計算模型尺寸參數(shù)Table 3 Dimensional parameter of liquid sloshing computational model

表4 液體晃動模型數(shù)值計算輸入?yún)?shù)Table 4 Input parameter of liquid sloshing computational model

2.3 結(jié)果驗證

2.3.1模態(tài)計算 在模態(tài)分析中，分別計算了原型與縮尺模型前1 100階固有頻率，兩者總有效質(zhì)量與模型總質(zhì)量的比值均大于97.8%。原型與縮尺模型主要模態(tài)的計算結(jié)果列于表5。

表5 原型與縮尺模型主要模態(tài)的計算結(jié)果Table 5 Calculation result of main modal of prototype and scaled model

由表5可看出，原型與縮尺模型的模態(tài)計算結(jié)果符合相似關(guān)系，且兩者相同模態(tài)下有著基本一致的有效質(zhì)量占比，使得計算結(jié)果可信度較高。原型與縮尺模型第11、44及66階模態(tài)的振型對比示于圖3。

a、c、e——原型；b、d、f——縮尺模型a、b——第11階；c、d——第44階；c、d——第66階圖3 原型與縮尺模型模態(tài)振型對比Fig.3 Modal comparison between prototype and scaled model

由原型與縮尺模型的模態(tài)振型對比可看出兩者的振型一致。模型經(jīng)過相似關(guān)系縮尺后，模態(tài)振型保持不變，頻率按相似系數(shù)放大，由此可驗證計算模型中所采用的相似準則滿足動力相似的要求。

2.3.2譜分析 分別對原型和縮尺模型進行譜分析計算，得到譜分析計算結(jié)果。在譜分析中分別給出x、y和z3個方向上的加速度譜輸入，計算結(jié)果按照平方和開平方(SRSS)方法進行疊加?？s尺模型的譜輸入由原型中輸入經(jīng)過相似系數(shù)縮尺后得到。原型與縮尺模型地震響應(yīng)結(jié)果對比列于表6。可見，原型與縮尺模型的Tresca應(yīng)力比基本上保持在2.785左右，與相似關(guān)系中的應(yīng)力相似系數(shù)Sσ=2.785 714相一致。由此可以得出縮尺模型譜分析結(jié)果與原型相比滿足動力相似關(guān)系的要求。

表6 原型與縮尺模型譜分析的Tresca應(yīng)力對比Table 6 Tresca stress comparison between prototype and scaled model

2.3.3液體晃動固有頻率 縮尺模型計算得到的液體1階、2階固有頻率如圖4所示，原型與縮尺模型液體晃動頻率計算結(jié)果列于表7。

圖4 縮尺模型液體1階(a)、2階(b)晃動頻率Fig.4 First (a) and second (b) liquid sloshing frequencies of scaled model

表7 液體晃動頻率Table 7 Liquid sloshing frequency

根據(jù)計算結(jié)果，數(shù)值計算得到的液體晃動固有頻率比值與通過相似準則計算得到的相似系數(shù)的差異分別為0.072%、0.222%，所選取液體晃動固有頻率相似準則合理。

2.3.4液體晃動波高 進行液體晃動固有頻率、液體晃動波高、液動壓力、液體晃動對支承處的傾覆力及傾覆力矩的數(shù)值計算中，相應(yīng)的材料及邊界參數(shù)均與表4一致，原型、縮尺模型施加的正弦波激勵頻率分別為0.186 4 Hz、0.493 5 Hz，兩種模型的計算總時長均為5個周期，獲得的液體晃動波高如圖5所示。

圖5 原型及縮尺模型液體晃動波高Fig.5 Liquid sloshing height of prototype and scaled model

根據(jù)計算結(jié)果，縮尺模型液體晃動波高乘以相似系數(shù)7得到的波高曲線與原型波高曲線整體趨勢及波動范圍均有較好的一致性，由此可判斷波高相似準則應(yīng)用于液體晃動問題是合理的。

2.3.5支座反力及力矩 液體晃動問題關(guān)心的是液體在晃動過程中對容器根部產(chǎn)生的傾覆力矩，對比分析中提取在5個周期不同時刻容器底部中心處參考點的傾覆力矩，原型與縮尺模型支座裙的傾覆力矩如圖6所示。

圖6 原型及縮尺模型的傾覆力矩Fig.6 Overturning moment of prototype and scaled model

縮尺模型傾覆力矩乘以相似系數(shù)819.77得到的力矩-時間曲線與原型的整體趨勢及力矩有較好的一致性，可判斷傾覆力矩的相似系數(shù)應(yīng)用于液體晃動問題是合理的。

2.4 試驗?zāi)Ｐ驮O(shè)計應(yīng)用

根據(jù)相似關(guān)系要求，試驗樣機模型結(jié)構(gòu)密度應(yīng)為原型結(jié)構(gòu)密度的2.93倍。為滿足相似關(guān)系對試驗樣機質(zhì)量的要求，采用人工附加質(zhì)量的方式補足試驗樣機重力及慣性力效應(yīng)，試驗樣機設(shè)計擬采用鉛和碳鋼作為人工附加質(zhì)量材料，采用配重板的形式將附加質(zhì)量施加在樣機結(jié)構(gòu)上，并通過調(diào)整配重板與樣機結(jié)構(gòu)的連接形式以降低附加質(zhì)量對樣機結(jié)構(gòu)剛度的影響，配重板布置示于圖7。

圖7 縮尺模型配重板布置圖Fig.7 Layout plan for clump weight on scaled model

3 結(jié)論

本文采用不同的相似系數(shù)分別對堆本體抗震試驗中所用到的堆容器堆內(nèi)構(gòu)件結(jié)構(gòu)及液體晃動問題的相似關(guān)系進行了驗證計算。根據(jù)相似關(guān)系的驗證結(jié)果可得到如下結(jié)論。

1) 通過比例模型的分析計算驗證了相似關(guān)系的合理性和準確性。

2) 按照本文提出的相似準則設(shè)計試驗樣機可準確計入液體晃動效應(yīng)并反映真實堆本體模型的動力特性及動力學響應(yīng)。

3) 堆容器堆內(nèi)構(gòu)件和堆容器內(nèi)液體按照相似準則進行縮尺后，可通過縮尺模型的抗震試驗進一步驗證本文的相似關(guān)系。