兩階段休假M(fèi)/M/c排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型性能分析

李子坤，徐秀麗

(燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004)

1.引言

流體模型是一個(gè)輸入輸出系統(tǒng)，其中流體受外部驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制連續(xù)地流入和流出一個(gè)緩沖器.如今的信息時(shí)代，傳統(tǒng)的離散排隊(duì)模型有很大的局限性，流體模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域中，尤其在通信網(wǎng)絡(luò)和計(jì)算機(jī)技術(shù)中起到頗為重要的作用.

Virtamo和Norro[1]研究了由M/M/1排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型，并把驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)推廣到了有限狀態(tài)環(huán)境的排隊(duì)系統(tǒng).Sericola和Tuffin[2]考慮了一個(gè)具有有限或無(wú)限等待空間的馬爾可夫隊(duì)列驅(qū)動(dòng)的流體模型，導(dǎo)出了一種計(jì)算穩(wěn)態(tài)緩沖器容量的一種新方法.Kulkarni[3]提出了使用譜方法分析有限狀態(tài)馬爾可夫過(guò)程驅(qū)動(dòng)的流體模型的理論框架.Nabli[4]研究了一般馬爾可夫流體模型的瞬態(tài)解，并分析了其漸進(jìn)行為.Malhotr等[5]對(duì)具有兩個(gè)擁塞閾值控制的反饋流體隊(duì)列進(jìn)行了分析，得到了穩(wěn)態(tài)下緩沖器占用率的表達(dá)式，緩沖區(qū)延遲分布和吞吐量.

近些年來(lái)，有學(xué)者將休假策略加入到流體模型的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，MAO等[6]分析了多重休假M(fèi)/PH/1排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型，得到了穩(wěn)態(tài)庫(kù)存量的LST及空庫(kù)概率.XU等[7]把文[6]中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的休假策略拓寬到工作休假策略，并給出平均吞吐量，服務(wù)器利用率及穩(wěn)態(tài)庫(kù)存量的均值表達(dá)式.考慮到更加復(fù)雜的實(shí)際情況，有學(xué)者將休假策略發(fā)展到兩階段休假的情況，YE等[8]研究了兩階段休假M(fèi)/M/1排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型，得到流體模型穩(wěn)態(tài)庫(kù)存量的LST，導(dǎo)出穩(wěn)態(tài)緩沖器庫(kù)存量的表達(dá)式.另一方面，把外部環(huán)境進(jìn)一步推廣到多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)，XU等[9]分析了多重工作休假M(fèi)/M/c排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型，得到流體模型的性能指標(biāo).

太陽(yáng)能LED路燈照明控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是當(dāng)今城市亮化和市政優(yōu)化的重要項(xiàng)目.在路燈太陽(yáng)能充電過(guò)程中，天氣變化會(huì)影響到太陽(yáng)能的傳送效率，從而導(dǎo)致太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化率變慢或者沒(méi)有太陽(yáng)能進(jìn)行轉(zhuǎn)化，相當(dāng)于傳輸系統(tǒng)處于工作休假或經(jīng)典休假.在此基礎(chǔ)上，本文構(gòu)建了兩階段休假策略的M/M/c排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型，該策略包括休假和工作休假兩個(gè)階段，導(dǎo)出流體模型的各項(xiàng)性能指標(biāo)，分析參數(shù)變化對(duì)模型性能指標(biāo)的影響，進(jìn)一步將結(jié)果應(yīng)用到路燈太陽(yáng)能充電過(guò)程中，以提高充電效率，提高太陽(yáng)能的有效利用.

2.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的基本描述

在驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中，假設(shè)顧客到達(dá)時(shí)間間隔和正規(guī)忙期的服務(wù)時(shí)間分別服從參數(shù)為λ和μb的指數(shù)分布，當(dāng)系統(tǒng)中的所有顧客都完成服務(wù)后，服務(wù)員進(jìn)入一次隨機(jī)長(zhǎng)度的工作休假，工作休假時(shí)間服從參數(shù)θw的指數(shù)分布.在工作休假期間，服務(wù)員進(jìn)入一種低速率服務(wù)的狀態(tài)，此時(shí)的服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)μv(μv＜μb)的指數(shù)分布．一次工作休假完成時(shí)，若系統(tǒng)中有顧客正在接受服務(wù)，則從低速率μv服務(wù)狀態(tài)切換到正規(guī)忙期的服務(wù)率μb，重新開(kāi)始服務(wù)被中斷的顧客，系統(tǒng)進(jìn)入一個(gè)正規(guī)忙期;否則，服務(wù)員進(jìn)入正常休假期，正常休假時(shí)間服從參數(shù)θv的指數(shù)分布.一次正常休假完成時(shí)，若系統(tǒng)中無(wú)顧客，則繼續(xù)進(jìn)入下一次正常休假;否則，系統(tǒng)進(jìn)入正規(guī)忙期.

假設(shè)到達(dá)時(shí)間間隔、服務(wù)時(shí)間、休假時(shí)間和工作休假時(shí)間兩兩相互獨(dú)立.另外，采用先到先服務(wù)(FIFO)的排隊(duì)規(guī)則.

設(shè)L(t)表示時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，J(t)=0，1，2分別表示時(shí)刻t系統(tǒng)處于休假期、工作休假期和忙期，則{L(t)，J(t)，t≥0}形成一個(gè)擬生滅過(guò)程，狀態(tài)空間為Ω={(0，0)∪(0，1)∪(k，j)，k≥1，j=0，1，2}.將狀態(tài)空間按照字典順序排序，得到二維隨機(jī)過(guò)程的無(wú)窮小生成元矩陣Q，即

其中

引理2.1[8]若系統(tǒng)負(fù)載ρ=λ/cμb＜1，則二次方程R2B+RA+C=0存在最小非負(fù)解

記二維隨機(jī)過(guò)程{L(t)，J(t)，t≥0}的穩(wěn)態(tài)分布為Ω，引入穩(wěn)態(tài)分布向量π0=(π00，π01)，πk=(πk0，πk1，πk2)，k≥1，記x=(π0，π1，···，πc).眾所周知，隨機(jī)過(guò)程{L(t)，J(t)，t≥0}的穩(wěn)態(tài)分布存在當(dāng)且僅當(dāng)二次方程R2B+RA+C=0最小非負(fù)解的譜半徑SP[R]＜1，且xB[R]=0有正解，其中

由xB[R]=0可得方程組

為獲得其穩(wěn)態(tài)分布，引入函數(shù)分布

利用矩陣幾何解方法，根據(jù)式(2.2)計(jì)算可得

定理2.1如果系統(tǒng)負(fù)載ρ＜1時(shí)，隨機(jī)過(guò)程{L(t)，J(t)，t≥0}的穩(wěn)態(tài)分布為

其中K=πc－1，0由歸一化條件=1確定.

3.流體模型的構(gòu)建與描述

設(shè)X(t)為緩沖器在t時(shí)刻的容量，則X(t)就是一個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量.設(shè)緩沖器的凈輸入率(流入率-流出率)為三維隨機(jī)過(guò)程{X(t)，L(t)，J(t)，t≥0}的函數(shù)

其中σ＜0，σ2＞σ1＞σ0＞0.驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于忙期時(shí)，緩沖器庫(kù)存量以速率σ2增加;驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于工作休假期間，且驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中有顧客存在時(shí)，緩沖器庫(kù)存量以速率σ1增加;驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于休假期間，且驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中有顧客存在時(shí)，緩沖器庫(kù)存量以速率σ0增加;驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)處于工作休假或休假期間，且驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)中沒(méi)有顧客存在時(shí)，緩沖器庫(kù)存量以速率-σ減少，直至緩沖器庫(kù)存量為空.保持這種狀態(tài)直到系統(tǒng)中再次有顧客進(jìn)入，一直按照這種規(guī)律循環(huán)下去.

流體模型的平均漂移為

其中πkj，(k，j)∈Ω，見(jiàn)定理2.1.由文[3]可知，當(dāng)d＜0，ρ＜1，流模型是穩(wěn)定的.記流體模型的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)向量為(X，L，J)，這里的隨機(jī)變量X為穩(wěn)態(tài)下緩沖器的庫(kù)存量.

設(shè)流體模型的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布為

由全概率公式知，流體模型庫(kù)存量的穩(wěn)態(tài)概率分布為

運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)化方法得到以下穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布Fkj(x)滿足的矩陣微分方程組

滿足邊界條件

其中a=P{X=0，L=0，J=0}為穩(wěn)態(tài)下緩沖器的空庫(kù)概率.為了計(jì)算簡(jiǎn)便，記向量

則微分方程組(3.1)可寫(xiě)成以下形式

其中Λ=diag((σ，σ)，(σ0，σ1，σ2)，(σ0，σ1，σ2)，···).

如果直接用邊界條件來(lái)解矩陣方程(3.2)是有些困難的，下面引入穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布和庫(kù)存量穩(wěn)態(tài)概率分布F(x)的LT變換如下

對(duì)方程(3.2)兩邊進(jìn)行Laplace變換，利用邊界條件整理得

4.流體模型的穩(wěn)態(tài)分析

為了得到流體模型的穩(wěn)態(tài)分布和性能指標(biāo)，引入下面兩個(gè)二次方程.

引理4.1[9]若驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)負(fù)載ρ＜1，對(duì)任意s≥0，二次方程cμvz2-(λ+θw+cμv+sσ1)z+λ=0存在兩個(gè)實(shí)根β0(s)和β1(s)，且

易知0＜β0(s)＜1，β1(s)≥1，β0(0)=r，這里的r如(2.1)所示.

引理4.2[9]若驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)負(fù)載ρ＜1，對(duì)任意s≥0，二次方程cμbz2-(λ+cμb+sσ2)z+λ=0存在兩個(gè)實(shí)根γ0(s)和γ1(s)，且

易知0＜γ0(s)＜1，γ1(s)≥1，γ0(0)=ρ，γ1(0)=1.

對(duì)任意s≥0，引入

可得

定理4.1對(duì)任意s＞0，二次矩陣方程R2(s)B+R(s)A(s)+C=0存在最小非負(fù)解

其中

這里的β0(s)和γ0(s)見(jiàn)(4.1)和(4.2)，從(2.1)可知R(0)=R.

證由于B，A(s)和C都是上三角結(jié)構(gòu)矩陣，設(shè)方程R2(s)B+R(s)A(s)+C=0中的R(s)有同樣的上三角結(jié)構(gòu)

將R(s)代入上面的二次方程中得到

上述各式依次記為(4.3.1)～(4.3.6).

從式(4.3.1)和式(4.3.2)可以得到

由式(4.3.4)和式(4.3.6)可以得到R22(s)=β0(s)和R33(s)=γ0(s)，這里的β0(s)和γ0(s)見(jiàn)(4.1)和(4.2).

把R11(s)=h(s)，R22(s)=β0(s)和R33(s)=γ0(s)代入到(4.3.3)和(4.3.5)中，給出

這里的R13(s)和R23(s)分別記作m(s)和g(s).因此，定理4.1推導(dǎo)完畢.

為了方便求解庫(kù)存量及狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布函數(shù)的LT，注意到矩陣方程(3.3)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造以下四個(gè)函數(shù)列

計(jì)算整理可得

定理4.2若ρ＜1和d＜0，庫(kù)存量及狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)聯(lián)合分布函數(shù)的LT為

其中

證矩陣方程(3.3)可以寫(xiě)成下面的形式

“中國(guó)尋根之旅”活動(dòng)對(duì)于培養(yǎng)華裔青少年的族群意識(shí)、促進(jìn)華族文化認(rèn)同、加強(qiáng)華族文化傳承等方面都具有重要意義。而文化認(rèn)同又是族群意識(shí)培養(yǎng)、文化傳承的中心環(huán)節(jié)，華文教育的推動(dòng)和發(fā)展又是實(shí)現(xiàn)文化認(rèn)同的前提條件。

上述方程組依次記為(4.9.1)～(4.9.7).

若ρ＜1和d＜0成立，三維馬爾可夫過(guò)程{X(t)，L(t)，J(t)，t≥0}存在唯一平穩(wěn)分布{Fkj(x)，k，j∈Ω}[6].因此，方程組(4.9)存在唯一解.下面只需驗(yàn)證(4.8)滿足(4.9).

首先對(duì)于k≥c，把代入式(4.9.7)中，得

特殊地，當(dāng)k=c時(shí)，有

其次由式(4.9.4)可知

定理4.3當(dāng)ρ＜1和d＜0時(shí)，穩(wěn)態(tài)下緩沖器庫(kù)存量的空庫(kù)概率及均值的表達(dá)式為

證將式(4.9.6)從k=2到k=c-1相加，得

移項(xiàng)合并得到

把(4.9.3)代入(4.10)，有

把式(4.9.1)，(4.9.2)和定理4.2中的表達(dá)式代入(4.11)，整理可得

由式(4.9.4)可知

進(jìn)而流體模型庫(kù)存量平穩(wěn)分布F(x)的LT為

其中e為三維全1列向量.

由(4.1)和(4.2)可知，R(s)的特征值β(s)，γ0(s)和h(s)都小于1，所以其譜半徑SP[R(s)]＜1，(I-R(s))是可逆的，且

為了得到穩(wěn)態(tài)下緩沖器庫(kù)存量的均值，引入Fkj(s)，(k，j)∈Ω和F(x)的LST，記

進(jìn)一步得到緩沖器庫(kù)存量穩(wěn)態(tài)分布的LST

對(duì)方程(4.12)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，讓s→0，求極限得到

整理可得

5.數(shù)值分析

考慮到路燈太陽(yáng)能充電過(guò)程，把光照射到太陽(yáng)能光伏板上多個(gè)點(diǎn)的過(guò)程看作一個(gè)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化成的電流相當(dāng)于流體，太陽(yáng)能光伏板就相當(dāng)于流體緩沖器，穩(wěn)定輸送電流到蓄電池中.設(shè)太陽(yáng)光到達(dá)光伏板上每個(gè)點(diǎn)的時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布.太陽(yáng)光正常照射時(shí)，系統(tǒng)處于忙期，太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化速率為μb;太陽(yáng)光照較弱時(shí)，太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化速率變?yōu)棣蘶，相當(dāng)于系統(tǒng)處于工作休假期間，工作休假時(shí)間參數(shù)為θw;陰天或者夜晚沒(méi)有光照時(shí)，沒(méi)有太陽(yáng)能進(jìn)行轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)處于經(jīng)典休假期，休假時(shí)間參數(shù)為θv.在此實(shí)際應(yīng)用中，由于不同季節(jié)的夜晚長(zhǎng)短不同，休假時(shí)間參數(shù)θv會(huì)因季節(jié)的改變而改變.根據(jù)分析給出的流模型的空庫(kù)概率和平穩(wěn)庫(kù)存量均值的表達(dá)式，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)變化控制系統(tǒng)性能指標(biāo)的變化.

假設(shè)光伏板吸收太陽(yáng)能的點(diǎn)數(shù)量為3.設(shè)λ=13，μv=0.5，θv=3，θw=2，σ0=1，σ1=2，σ2=3時(shí)，圖1描述了光伏板中無(wú)電流的概率a隨太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化速率μb和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖1可以得出，當(dāng)μb一定時(shí)，光伏板中無(wú)電流的概率a隨σ的增大而減小;當(dāng)σ一定時(shí)，a隨μb的增大而減小.

圖1 a隨μb和σ的變化

設(shè)λ=15，μb=3，μv=1，θw=0.5，σ0=1，σ1=2，σ2=3時(shí)，圖2描述了光伏板中無(wú)電流的概率a隨休假時(shí)間參數(shù)θv和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖2可以得出，當(dāng)θv一定時(shí)，光伏板中無(wú)電流的概率a隨σ的增大而減小;當(dāng)σ一定時(shí)，a隨θv的增大而增大.

圖2 a隨θv和σ的變化

設(shè)λ=5，μv=1，θv=0.2，θw=0.1，σ0=1，σ1=2，σ2=3時(shí)，圖3描述了系統(tǒng)的平均電流E(X)隨太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化速率μb和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖3可以看出，當(dāng)μb一定時(shí)，平均電流E(X)隨著流入率σ的增大而增大;當(dāng)σ一定時(shí)，平均電流E(X)隨著μb的增大而增大.

圖3 E(X)隨μb和σ的變化

設(shè)λ=5，μb=4，μv=1，θw=0.2，σ0=1，σ1=2，σ2=3時(shí)，圖4所示刻畫(huà)了系統(tǒng)的平均電流E(X)隨休假時(shí)間參數(shù)θv和凈輸入率σ的變化情況.觀察圖4可以得到，當(dāng)θv一定時(shí)，平均電流E(X)隨著流入率σ的增大而增大;當(dāng)σ一定時(shí)，平均電流E(X)隨著θv的增大而減小.

圖4 E(X)隨θv和σ的變化

由圖1-4可知，在路燈太陽(yáng)能中，若想提高太陽(yáng)能的有效利用，降低能量損耗，必須要選擇合適的太陽(yáng)能裝置以提高轉(zhuǎn)化速率及不同季節(jié)時(shí)期的光伏板的電流傳輸率.

6.結(jié)論

本文研究了有兩種休假狀態(tài)的M/M/c排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流體模型，兩種休假狀態(tài)在一定條件下可以切換，運(yùn)用拉氏變換的方法得到其穩(wěn)態(tài)庫(kù)存量的空庫(kù)概率及均值表達(dá)式，并結(jié)合路燈太陽(yáng)能充電過(guò)程，分析系統(tǒng)中的參數(shù)變化對(duì)模型各項(xiàng)性能指標(biāo)的影響，以便提高太陽(yáng)能的有效利用.