空間引力波探測器軌道確定及仿真分析

李康康，谷德峰，安子聰，宋佳凝，朱炬波

（1.中山大學 天琴中心，珠海 519082；2.中山大學 物理與天文學院，珠海 519082）

引 言

2015年，地面引力波探測項目激光干涉引力波天文臺（Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory，LIGO）首次探測到雙黑洞合并產(chǎn)生的引力波[1]，開啟了觀察黑洞合并的新窗口。受地面震動、引力梯度噪聲以及干涉臂長受限的影響，地面引力波探測無法覆蓋中低頻段的引力波。空間引力波探測任務(wù)由于采用大尺度空間探測器編隊，不受臂長尺度約束，探測頻段更廣，波源更加豐富[2]，為認識宇宙演化提供一種新的方式，是當前國際熱門研究領(lǐng)域。其中LISA（Laser Interferometer Space Antenna）由美國國家航空航天局（National Aeronautics and Space Administration，NASA）和歐洲航天局（European Space Agency，ESA）共同提出[3]，是目前發(fā)展最為成熟、最具有代表性的空間引力波探測計劃，預(yù)計于2034年發(fā)射。LISA由3顆探測器構(gòu)成的大尺度分布式日心軌道編隊，位于黃道內(nèi)，編隊中心約在地球與太陽構(gòu)成的后掠角20°位置上，距離地球5～6.5千萬km，由約為250萬 km的干涉臂長構(gòu)成等邊三角形[4]。圖1給出了LISA軌道在太陽系下的示意圖。

圖1 類LISA軌道結(jié)構(gòu)示意圖[5]Fig.1 Schematic of LISA-type orbit configuration[5]

LISA在發(fā)射入軌階段和科學實驗階段對定軌精度以及臂長的測量精度有一定的要求[6]。一是來自星間激光干涉儀對波束指向的需求；二是來自空間引力波探測系統(tǒng)時間延遲干涉（Time Delay Interferometry，TDI）[7]壓制激光頻率噪聲的需求[8]；三是來自編隊構(gòu)形高精度初始化和穩(wěn)定性保持的需求[9]。

測控距離遠、跟蹤弧段少、精度要求高給LISA精密定軌（Precise Orbit Determination，POD）帶來一定的挑戰(zhàn)。本文以LISA為例，分析研究其探測器的精密定軌問題，為空間引力波探測計劃的工程實踐提供理論支撐和技術(shù)參考。LISA探測器距離地球較為遙遠，難以采用低軌衛(wèi)星的定軌、定位手段。而基于深空網(wǎng)的無線電測距測速定軌技術(shù)已成功應(yīng)用于深空探測任務(wù)，如美國火星探測任務(wù)“好奇號”（Curiosity）[10]、“嫦娥三號”（Chang'E-3，CE-3）[11]、“嫦娥五號飛行試驗器”（Chang'E-5T1，CE-5T1）[12]等。因此，提出采用DSN（Deep Space Network）和CSDN（Chinese Deep Space Network）對LISA探測器進行精密定軌。

盡管LISA早在20世紀90年代提出，但對LISA軌道確定的相關(guān)研究仍較少，其中文獻[13]對早期的LISA軌道進行了初步定軌仿真，分析了基于DSN、甚長基線干涉測量（Very Long Baseline Interferometry，VLBI）、星間激光測量數(shù)據(jù)3種不同的組合定軌策略的軌道精度將地球當作質(zhì)點，且假設(shè)測站位于地球中心，未考慮地球的自轉(zhuǎn)，也沒有模擬分析不同深空網(wǎng)、跟蹤弧長、測量數(shù)據(jù)類型等因素的影響。為此，本文基于多深空網(wǎng)測量模式下的LISA精密定軌分析，考慮地球自轉(zhuǎn)以及測站的空間位置，模擬生成不同測站的測距、測速數(shù)據(jù)，采用非線性加權(quán)最小二乘（Weighted Least Squares，WLS）和蒙特卡洛方法（Monte Carlo，MC）分析深空網(wǎng)的跟蹤弧長、測量數(shù)據(jù)類型以及不同深空網(wǎng)測站數(shù)量及其分布對LISA精密軌道確定的影響。

1 場景環(huán)境建立

LISA精密定軌仿真分析中采用DSN和CDSN作為跟蹤測站。其中，DSN的3個測站分別位于加利福尼亞戈爾德斯頓、澳大利亞堪培拉和西班牙馬德里[14]。CDSN主要包括佳木斯深空測站、喀什深空測站、阿根廷薩帕拉市深空測站[15]。表1給出了上述6個測站的經(jīng)緯度。

表1 測站的經(jīng)緯度數(shù)據(jù)Table 1 Longitude and latitude parameters of stations

模擬生成的觀測數(shù)據(jù)為測距和測速信息，其中觀測數(shù)據(jù)包含了系統(tǒng)誤差和隨機誤差?？紤]測距系統(tǒng)偏差主要由測距設(shè)備延遲、對流層帶來的天頂和視向偏差、電離層帶來的視向偏差以及時鐘鐘差和鐘漂等因素組成；產(chǎn)生隨機誤差的主要是時標和頻率源不穩(wěn)定以及熱噪聲等因素，并假設(shè)其服從高斯分布。仿真分析中，根據(jù)文獻[14]美國深空網(wǎng)的測站測量精度，本次仿真設(shè)置測距系統(tǒng)誤差為2.055 m，其中測站設(shè)備時延2.0 m，對流層和電離層以及鐘差鐘漂等帶來的誤差0.055 m；測距隨機噪聲的標準差為0.6 m。測速誤差仿真時只涉及到隨機誤差，觀測噪聲的標準差為0.03 mm/s。

采用文獻[4]中給出的最新的、250萬 km臂長的LISA設(shè)計軌道，軌道初始狀態(tài)采用文獻[5]中初始時間為2028年3月22日12:00:00 UTC，在J2000地心慣性系下（J2000 Earth-Centered Inertial，J2000 ECI）的軌道初值，如表2所示。仿真分析過程：①根據(jù)表2給出的LISA探測器初始狀態(tài)，利用Adams-Cowell軌道積分器分別計算LISA 3個探測器的軌道信息，獲得相應(yīng)的軌道文件；②根據(jù)表1所示的測站信息，結(jié)合步驟①中得到的軌道文件，利用測距、測速的數(shù)學模型迭代計算探測器相對于測站的距離和速度的理論值，并在理論值的基礎(chǔ)上添加設(shè)定的系統(tǒng)偏差和隨機噪聲，從而得到觀測數(shù)據(jù)；③利用觀測數(shù)據(jù)對LISA探測器軌道求解，分析不同仿真場景下LISA探測器的定軌精度，其中軌道精度由設(shè)計軌道與求解結(jié)果之間的偏差衡量。本文采用NUDTTK軟件[16]進行仿真分析。

表2 J2000地心慣性系下的LISA探測器初始狀態(tài)[5]Table 2 Initial state of LISA detector in J2000 ECI[5]

2 測量模型與仿真策略

本文采用深空網(wǎng)的雙向測量模式，測距測量模型可表示為

測速信息可由測距模型的差分得到，具體的測速測量模型為

考慮系統(tǒng)誤差和隨機噪聲等，定軌過程的觀測方程最終可表示為

LISA可忽略地球和月球重力場[17]，在仿真觀測數(shù)據(jù)以及定軌過程都不考慮其影響，因此既不會對仿真結(jié)果造成重大影響又可簡化仿真過程以提升計算效率。另外，考慮衛(wèi)星入軌會有位置和速度的誤差，參考文獻[4]，對表2中的設(shè)計軌道初值添加對應(yīng)的初始誤差后作為定軌的初始位置速度，即分別在初始位置的x，y，z方向上各添加10 km誤差，初始速度的3軸方向各添加1 cm/s誤差作為定軌的初始狀態(tài)。采用非線性加權(quán)最小二乘算法估計軌道初始狀態(tài)，根據(jù)測距和測速的觀測噪聲對測量數(shù)據(jù)進行加權(quán)定軌，并采用MC方法進行35次仿真，計算定軌位置和速度的均方根（Root Mean Square，RMS）誤差的平均值評估定軌精度。定軌模型和參數(shù)設(shè)置總結(jié)于表3。

表3 仿真參數(shù)與定軌模型Table 3 Simulation parameters and orbit determination model

3 仿真與結(jié)果分析

本節(jié)從定軌弧長、測軌數(shù)據(jù)類型、測站分布及其數(shù)量等方面仿真分析LISA定軌的精度。

3.1 跟蹤弧長對定軌精度的影響

由于觀測數(shù)據(jù)中存在隨機誤差，一般隨著定軌弧長增加，定軌精度會因逐漸平滑隨機誤差以及測站對探測器觀測幾何約束逐漸變強而提高。下面通過分析不同的定軌弧長對LISA軌道確定的影響，討論上述仿真條件下LISA軌道的位置、速度估計精度。以DSN作為跟蹤測站，定軌弧長分別取[2，3，5，7，10，15，20，25，30]d，采用測距/測速組合測量數(shù)據(jù)進行初始軌道的解算。

圖2為多次MC仿真統(tǒng)計的LISA探測器的位置、速度RMS誤差的平均值曲線，其中誤差棒對應(yīng)于統(tǒng)計的標準差。從圖2中可以看出，定軌精度隨著定軌弧長增加而提高，標準差隨著定軌弧長增加而降低，可信度提高。LISA系統(tǒng)的3個探測器在同一弧長定軌精度不完全相同，這主要是因為即使采用同一定軌弧長，但由于探測器和測站的幾何關(guān)系以及測量數(shù)據(jù)不完全相同、觀測的數(shù)據(jù)量和隨機誤差都會有所不同等因素導(dǎo)致的，但定軌精度的量級是基本一致的。

圖2 LISA探測器定軌誤差（1σ）Fig.2 Orbit determination errors of LISA detector（1σ）

當定軌弧長達到20 d時，LISA 3星的位置誤差均可達92 m，速度誤差均可達3.3 mm/s；此后隨著定軌弧長的增加，定軌精度變化不大。

表4中給出了LISA-1探測器在軌道徑向（R）、切向（T）、法向（N）以及三維方向（3D）下的定軌位置精度。從表4中可以看出，徑向定軌精度受定軌弧長的變化影響不大，在2.05 m附近波動，表現(xiàn)為測距數(shù)據(jù)的系統(tǒng)偏差；而切向和法向的位置精度會隨著定軌弧長的變化逐漸提高，且法向的位置精度最差。這是由于測距信息提供的測站與探測器的幾何距離主要體現(xiàn)在徑向上，對切向和法向的約束較弱，需增加跟蹤弧段、增加觀測數(shù)據(jù)量來提高定位精度。

表4 不同跟蹤弧長下LISA-1定軌位置誤差（1σ）Table 4 LISA-1 position errors of orbit determination with different tracking arc length（1σ）

3.2 觀測數(shù)據(jù)類型對定軌精度的影響

圖3和圖4為LISA-1探測器在不同觀測數(shù)據(jù)類型（測距/測速、單獨測距、單獨測速）下的定軌位置誤差。從圖3和圖4中可知：用測距、測速數(shù)據(jù)定軌的收斂情況與使用測距/測速數(shù)據(jù)定軌的收斂情況一致，根據(jù)圖4中的定軌位置曲線可以歸納出僅使用測速數(shù)據(jù)定軌的精度較低，定軌位置誤差大。由上述分析可知，定軌弧長達到20 d后，定軌精度隨定軌弧長增加提升不再明顯，故采用DSN 20 d的跟蹤弧長分析測距、測速以及測速/測距融合3種測量方案的LISA定軌精度，以此討論測距、測速數(shù)據(jù)類型對定軌精度的影響程度。

圖3 LISA-1探測器在測距/測速、測距數(shù)據(jù)類型下的定軌誤差（1σ）Fig.3 Orbit determination error of LISA-1 detector under ranging/velocity measurement and ranging data types（1σ）

圖4 LISA-1探測器在測速條件下的定軌誤差（1σ）Fig.4 Orbit determination error of LISA-1 detector under the condition of velocity measurement（1σ）

圖5是利用定軌弧長為20 d并分別采用測距/測速、測距、測速數(shù)據(jù)定軌后的位置速度精度。從圖5中易得知：同種定軌測量數(shù)據(jù)類型下，LISA 3星的定軌精度量級一致；采用測距/測速組合定軌比僅測距數(shù)據(jù)定軌精度有所提高；僅采用測速數(shù)據(jù)的定軌精度最差，位置誤差大于10 km，速度誤差大于1 m/s，無法滿足高精度定軌的需求。

圖5 不同測量數(shù)據(jù)類型下的定軌誤差（1σ）Fig.5 Orbit determination errors with different types of measurement data（1σ）

以LISA-1為例，表5給出了20 d跟蹤弧長下，不同定軌數(shù)據(jù)類型在徑向、切向、法向和三維方向上的位置精度。由表5中數(shù)據(jù)可知，測距和測距/測速方案定軌中，徑向誤差約2.0 m，這與表4中的徑向結(jié)果相吻合；而僅測速數(shù)據(jù)定軌方案的徑向定位誤差較大。對數(shù)據(jù)進一步分析可得：在20 d的定軌弧長下，采用測距/測速定軌精度比僅采用測距數(shù)據(jù)定軌位置精度提高32.23%，比僅采用測速定軌位置精度提高99.52%。可見，測距數(shù)據(jù)對定軌徑向精度的貢獻比較大，僅利用測速數(shù)據(jù)，徑向定軌精度明顯較差；聯(lián)合測速數(shù)據(jù)，可適當提高飛行方向和法向的定軌精度。

表5 不同測量數(shù)據(jù)類型LISA-1的定軌結(jié)果（1σ）Table 5 Orbit determination results of LISA-1 with different types of measurement data（1σ）

3.3 多測控網(wǎng)組合方案對定軌精度的影響

除跟蹤弧長和定軌數(shù)據(jù)類型外，不同的深空網(wǎng)因測站數(shù)量和位置分布不同也會影響定軌效果，下面分析DSN、CDSN以及DSN/CDSN 3種不同深空網(wǎng)定軌方案對LISA定軌精度的影響。同時，考慮到LISA系列探測器均分布在同一太陽軌道平面上，多數(shù)僅真近點角（true anomaly）不同，深空網(wǎng)對LISA 3星的覆蓋情況基本一致，故本節(jié)僅以LISA-1為例進行分析。

3.3.1 深空網(wǎng)對探測器的跟蹤觀測情況

圖6為DSN和CDSN跟蹤7 d高度角的變化示意圖，從圖6中可看出，高度角最大不超過80°，且高度角的變化周期約為3 d，主要由LISA軌道的特點決定，因其位于地球后的太陽軌道，與地球的相對位置幾乎保持不變，測站隨著地球自轉(zhuǎn)與探測器發(fā)生周期性變化。若設(shè)最小觀測高度角為10°，則DSN/CDSN和DSN在跟蹤20 d弧長下對LISA覆蓋率分別達到70.24%和59.62%，而由于CDSN的測站分布不如DSN均勻，對LISA探測器的覆蓋率為45.07%，略低于DSN。

圖6 不同深空網(wǎng)對LISA-1的跟蹤高度角變化Fig.6 Elevation angles of LISA-1 tracked by DSN and CDSN

表6給出了采用不同深空網(wǎng)進行跟蹤20 d時，不同測站數(shù)量對LISA-1的觀測情況。由于測站分布在不同半球，DSN和CDSN單獨跟蹤時，都不存在3個測站同時觀測到探測器的情況，且單站觀測率最高。而DSN/CDSN聯(lián)合跟蹤測量時，雙站和3個測站共視率共占比44.87%，其中3站同時觀測率為14.57%。

表6 測站共視率統(tǒng)計（LISA-1）Table 6 Observation rate statistics of simultaneous observation at the ground stations（LISA-1）

圖7分別展示了DSN和CDSN對LISA-1在2028年3月22日12:00:00UTC —2028年3月29日12:00:00UTC期間跟蹤7 d的測站跟蹤時段情況。DSN和CDSN聯(lián)合觀測利于增加有效觀測弧段，利于提高觀測率。

圖7 不同深空站跟蹤弧段統(tǒng)計（LISA-1）Fig.7 Tracking arcs analysis of LISA-1 by different deep space stations

3.3.2 多網(wǎng)深空網(wǎng)定軌精度分析

根據(jù)上述對深空網(wǎng)的觀測幾何分析可知，不同的深空網(wǎng)觀測的弧段、連續(xù)觀測弧長以及測站幾何約束能力各不相同，這都會對LISA的定軌精度產(chǎn)生影響。

圖8中分別給出了基于DSN、CDSN以及DSN/CDSN 3種不同深空網(wǎng)下的LISA-1軌道確定的結(jié)果，其中測量信息采用測距/測速組合模式。圖8中可以看出：在相同跟蹤弧長的情況下，采用DSN/CDSN組合網(wǎng)絡(luò)比僅采用DSN和CDSN的單深空網(wǎng)絡(luò)的定軌精度明顯提高。分析2 d的定軌弧長發(fā)現(xiàn)：CDSN定軌精度明顯低于DSN，這是由于CDSN具有較大數(shù)據(jù)量，同時注意到，盡管CDSN的總觀測覆蓋率比DSN低，但CDSN雙站共視率略高，此后基于CDSN的定軌精度會在一定程度上略高于基于DSN的定軌精度，但總體上兩者的定軌精度均在相同的量級上變化；當定軌弧長達到7 d后，兩者的定軌結(jié)果差異明顯減小。

圖8 在不同深空網(wǎng)下的初始定軌誤差（1σ）Fig.8 Orbit determination errors of LISA-1 using different deep space nets（1σ）

聯(lián)合DSN/CDSN，尤其在跟蹤弧段較短的時候，可提高收斂速度，從圖8中可看出，當定軌弧長在7 d內(nèi)，多深空網(wǎng)對定軌精度提升效果較明顯。另外，統(tǒng)計分析不同定軌弧長[2，3，5，7，10，15，20，25，30]d時的定軌結(jié)果，可得基于DSN/CDSN組合網(wǎng)絡(luò)的LISA-1軌道的位置平均誤差為157.312 2 m，速度平均誤差為6.0 mm/s；與相同情況下基于DSN的定軌結(jié)果相比較，平均位置估計精度提高43.73%，平均速度估計精度提高43.40%。

4 結(jié) 論

本文對基于深空網(wǎng)的空間引力波探測器——LISA探測器定軌進行了仿真分析，采用無線電測距、測速方法對LISA進行跟蹤觀測，利用非線性加權(quán)最小二乘批處理、蒙特卡洛方法分析了跟蹤弧長、測軌數(shù)據(jù)類型、測站數(shù)量和分布對LISA探測器精密定軌的影響。當定軌弧長達到20 d后，定軌精度的提高效果隨跟蹤弧長的增加變得緩慢。隨后采用不同觀測類型數(shù)據(jù)進行分析組合定軌策略：測距信息對定軌影響較大，且對軌道徑向有著較強的約束；僅測速數(shù)據(jù)無法實現(xiàn)精密定軌；在DSN測控體系中，對深空探測器精密定軌以測速為主，只有非常少量的測距數(shù)據(jù)，測速輔以少量的測距數(shù)據(jù)，可以實現(xiàn)測距和測速的優(yōu)勢互補。最后，分析了DSN和CDSN對LISA-1的觀測幾何約束情況，DSN/CDSN聯(lián)合觀測可有效增加多站共視比率；統(tǒng)計[2，3，5，7，10，15，20，25，30]d定軌弧長精密定軌后的平均精度，DSN/CDSN位置平均誤差為157.312 2 m，較DSN定軌的位置估計精度提高了43.73%。

本文的仿真方法和結(jié)果分析對天琴計劃[18]、太極計劃[19]等其它空間引力波探測計劃探測器的精密軌道確定具有一定的參考意義。