徐宗煌, 徐劍莆, 李世龍, 林慧雅

(福州理工學院 a. 應用科學與工程學院, b. 計算與信息科學學院, c. 商學院, 福建 福州 350506)

在生產(chǎn)集成電路板等電子產(chǎn)品的過程中,需要將各種電子元件的印刷電路板在回焊爐內(nèi)進行焊接.通過加熱的方式將電子元件自動焊接到電路板上.在此過程中,對回焊爐內(nèi)的溫度、電路板兩側(cè)傳送帶的速度和電子元件的焊接時間等因素有著嚴格要求,對產(chǎn)品質(zhì)量至關重要.實際生產(chǎn)時可以通過調(diào)節(jié)各溫區(qū)的設定溫度和傳送帶的過爐速度來控制產(chǎn)品質(zhì)量.目前,這方面的許多工作是通過實驗測試來進行控制和調(diào)整的.

現(xiàn)階段,國內(nèi)外對于回焊爐電路板焊接爐溫曲線已經(jīng)開展了一系列的分析研究.在國內(nèi),席晨馨[1]利用微分方程模型,同時結(jié)合模擬退火算法,對爐溫曲線的優(yōu)化設計進行了研究.湯宗健等[2]通過對回流焊爐溫曲線的管控與分析,對加強回流焊爐各溫區(qū)溫度的監(jiān)控提出了一系列有針對性的措施.孟祥[3]則針對不同生產(chǎn)工況切換下的加熱爐爐溫優(yōu)化方法進行了分析研究,得到最佳爐溫分布曲線.叢銘智等[4]利用機理預測替換傳統(tǒng)經(jīng)驗法,在回流焊機理分析和熱力學分析的基礎上對爐溫曲線控制方法展開了相關研究.而國外的Iqbal等[5]對回流焊在母板應用中的柔性印刷電路板溫度預測,并對回流曲線的溫度分布進行了優(yōu)化.Lempinen等[6]利用有限元仿真軟件和實驗環(huán)境下,分別研究不同加熱時間常數(shù)對回流爐的焊接爐溫曲線峰值焊接溫度的影響.Hegde等[7]采用有限元分析方法研究回爐焊中溫度分布不均勻?qū)更c結(jié)構(gòu)響應的影響.Srisertpol等[8]提出了一種基于系統(tǒng)辨識方法的加熱爐步進梁型數(shù)學模型,從而對加熱爐的溫度進行控制.

通常情況下,回焊爐內(nèi)部設置若干個小溫區(qū),它們從功能上可分成4個大溫區(qū):預熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū).電路板兩側(cè)搭在傳送帶上勻速進入爐內(nèi)進行加熱焊接.某回焊爐內(nèi)有11個小溫區(qū)及爐前區(qū)域和爐后區(qū)域,如圖1所示.每個小溫區(qū)長度為30.5 cm,相鄰小溫區(qū)之間有5 cm的間隙,爐前區(qū)域和爐后區(qū)域長度均為25 cm.另外,生產(chǎn)車間的溫度保持在25 ℃.

圖1 回焊爐截面示意圖Fig.1 Schematic diagram of cross section of reflow furnace

本文基于牛頓冷卻定律和微分思想,分別建立焊接區(qū)域傳熱機理模型、傳送帶過爐速度優(yōu)化模型以及峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型,對回焊爐電路板焊接爐溫曲線進行一系列優(yōu)化分析研究.

1 焊接區(qū)域傳熱機理模型

1.1 模型分析

首先分析已知數(shù)據(jù),找出電路板焊接區(qū)域中心與環(huán)境溫度溫差的大小對于其吸收熱量多少的影響規(guī)律.運用微分方程[9-11]的思想構(gòu)建數(shù)學模型,根據(jù)已給出的數(shù)據(jù),將電路板在焊接過程中的時間、速度和溫度變化寫出相應的微分關系式.再根據(jù)數(shù)據(jù)擬合的圖像進行分段分析,導入電路板運動的時間,改變各溫區(qū)的溫度,代入數(shù)據(jù)即可求出電路板在回焊爐內(nèi)的位移與焊接區(qū)域中心溫度的變化關系.從而列出不同傳送帶過爐速度與溫區(qū)溫度情況下,電路板焊接區(qū)域中心的溫度變化情況,主要思路如圖2所示.

圖2 焊接區(qū)域傳熱機理模型主要思路Fig.2 Main ideas of heat transfer mechanism model in welding zone

1.2 模型建立

1.2.1 電路板吸收熱量的規(guī)律分析

根據(jù)已經(jīng)給出的附件,找出電路板焊接區(qū)域中心與環(huán)境溫度溫差的大小對于其吸收熱量多少的影響規(guī)律.為便于后續(xù)計算,先將自變量即電路板在焊接過程中的運動時間t用速度位移公式s=vt進行轉(zhuǎn)換,設電路板在焊接過程中的位移為x.轉(zhuǎn)化后為x=vt,表示為

(1)

為求電路板焊接區(qū)域中心與環(huán)境溫度溫差的大小對于其吸收熱量多少的影響,設電路板在焊接過程中的環(huán)境溫度θ0,時間為t時焊接區(qū)域中心的溫度為θ(t),此時環(huán)境溫度與電路板焊接區(qū)域中心溫度的溫度差表示為Δθ(t).其表達式為

Δθ(t)=θ0-θ(t).

(2)

通過分析附件中的數(shù)據(jù),可以得到電路板在焊接過程中的位移x與電路板焊接區(qū)域中心溫度θ(x)的關系,由此可以求出電路板位移與溫度的變化量.運用微分方程的思想,建立關系式

(3)

聯(lián)立式(1)和式(3)得到的函數(shù)關系式為

(4)

根據(jù)式(4)進行數(shù)據(jù)處理,可以畫出附件數(shù)據(jù)條件下的爐溫曲線,據(jù)此進行下一步分析.

1.2.2 電路板焊接區(qū)域中心的溫度變化分析

通過以上分析可知,電路板在已知溫區(qū)和相應傳送帶速度的情況下的溫度變化情況.將實驗數(shù)據(jù)的速度v=78 cm·min-1單位化成cm·s-1,即v=1.3 cm·s-1.根據(jù)傳送帶的過爐速度和電路板的運動時間t計算出電路板在各個時刻的位移.因為模型中電路板速度大于原電路板速度,所以若繼續(xù)運用時間t作自變量則會導致圖像溫度與電路板運動位置的不匹配,造成計算誤差.所以要將自變量時間t通過式(1)進行替換,以位移x作為自變量.

根據(jù)附件中的數(shù)據(jù),將實驗數(shù)據(jù)中各溫區(qū)的溫度與原數(shù)據(jù)各溫區(qū)的溫度進行比較差值,對應加減相應的溫度即可求出相應的爐溫曲線.

1.3 模型求解

1.3.1 電路板吸收熱量的規(guī)律求解

根據(jù)式(4),將附件中的數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合.為便于分析,根據(jù)原數(shù)據(jù)的各個溫區(qū)溫度畫出了環(huán)境溫度與爐溫曲線,如圖3所示.

圖3 原數(shù)據(jù)條件下電路板焊接的環(huán)境溫度與爐溫曲線Fig.3 Ambient temperature andFurnace temperature curve of circuit board welding under original data conditions

通過對圖3分析可知,電路板溫度與環(huán)境溫度的溫差越大時,電路板的吸熱能力越強.當電路板溫度越接近環(huán)境溫度時,電路板的吸熱能力越差.

電路板在各個溫區(qū)吸收熱量的能力不同,且差異較大.所以要求出電路板焊接過程中的爐溫曲線,就要分溫區(qū)進行數(shù)據(jù)分析和擬合.

1.3.2 電路板焊接區(qū)域中心的溫度變化求解

附件是某次實驗中爐溫曲線的數(shù)據(jù),傳送帶的過爐速度為70 cm·min-1,各溫區(qū)設定的溫度分別為175 ℃(小溫區(qū)1～5)、195 ℃(小溫區(qū)6)、235 ℃(小溫區(qū)7)、255 ℃(小溫區(qū)8～9)及25 ℃(小溫區(qū)10～11);而給定的傳送帶過爐速度為78 cm·min-1,各溫區(qū)溫度的設定值分別為173 ℃(小溫區(qū)1～5)、198 ℃(小溫區(qū)6)、230 ℃(小溫區(qū)7)和257 ℃(小溫區(qū)8～9),整理如表1所示.

表1 各溫區(qū)附件數(shù)據(jù)與實驗數(shù)據(jù)的溫度及變化量

根據(jù)表1中的溫度變化量進行數(shù)據(jù)處理, 將各個溫區(qū)原有的電路板焊接區(qū)域中心溫度傳感器感受到的溫度對應加減相應的溫度變化量. 對該列數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合, 以電路板在傳送帶上的位移x為自變量, 以位移為x時焊接區(qū)域中心的溫度θ(x)為因變量, 進行2次項曲線擬合.得到的擬合圖像如圖4所示.

圖4 傳送帶速度為78 cm·min-1及其 對應溫區(qū)下的爐溫曲線Fig.4 Furnace temperature curve at a conveyor speed of 78 cm·min-1 and its corresponding temperature zone

根據(jù)圖4所擬合的圖像,反向推導出各溫區(qū)的函數(shù)表達式,由于擬合的圖像是由所求數(shù)據(jù)擬合而成,所以會有一定的誤差,推導出的各溫區(qū)的函數(shù)表達式如下:

(5)

接著根據(jù)式(5)擬合出的函數(shù)表達式,代入相應的溫區(qū)位移,即可得到小溫區(qū)3、6、7中點及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度,如表2所示.

表2 各溫區(qū)焊接區(qū)域中心的溫度

由于爐前溫度的擬合函數(shù)與實際情況誤差較大,本數(shù)據(jù)擬合出的進入小溫區(qū)1時電路板的溫度為25.33 ℃,又考慮從運動開始時0 s至運動到小溫區(qū)1時16.5 s正好有32個數(shù)據(jù),假設此段時間內(nèi)電路板的吸熱能力恒定,溫度變化率相同,即每過0.5 s溫度升高0.01 ℃.

最后根據(jù)擬合的函數(shù),將位移x根據(jù)式(1)代換成位移時間t的函數(shù),代入對應的點坐標,即可求出電路板從爐前區(qū)域勻速運動至爐后區(qū)域全過程的焊接區(qū)域中心的溫度數(shù)據(jù).

2 傳送帶過爐速度優(yōu)化模型

2.1 模型分析

假定各溫區(qū)溫度的設定值分別為182 ℃(小溫區(qū)1～5)、203 ℃(小溫區(qū)6)、237 ℃(小溫區(qū)7)、254 ℃(小溫區(qū)8～9),要求確定允許的最大傳送帶過爐速度,就必須滿足制程界限的約束條件.如果速度過快,會使電路板的加熱時間不足,從而導致在升溫過程中在150～190 ℃的時間及溫度大于217 ℃的時間不足,以及電路板在溫度上升和下降的過程中的斜率過大,從而導致電路板上電子元件的焊接不穩(wěn)定.若傳送帶的過爐速度過低,則會導致超出上述2個界限的范圍時間.同時要合理地控制電路板加熱的峰值溫度保持在240～250 ℃之間.

速度的不同會導致在各個界限中數(shù)據(jù)的不同,要想求出允許的最大傳送帶過爐速度,就需要計算大量的不同速度情況,并判斷其是否滿足制程界限.因此該模型根據(jù)多重搜索算法對傳送帶過爐速度進行搜索求解,主要思路如圖5所示.

圖5 傳送帶過爐速度優(yōu)化模型主要思路Fig.5 The main idea of the conveyor belt passing furnace speed optimization model

2.2 模型建立

2.2.1 電路板焊接區(qū)域中心溫度分析

要確定允許的最大傳送帶的過爐速度,就要先確定約束條件的約束區(qū)間如何計算求解,因此運用牛頓冷卻定律[12-14]進行溫度變化的求解.牛頓冷卻定律的表述為系統(tǒng)溫度損失速度與系統(tǒng)和環(huán)境的溫差θ環(huán)成正比,設比例系數(shù)為k,其方程表示為

(6)

將式(6)求解可得到焊接區(qū)域的中心溫度與電路板在傳送帶上運動時間的函數(shù)關系式,設函數(shù)中e指數(shù)的系數(shù)c為常數(shù),則其表達式為

θ=θ環(huán)+ce-kt.

(7)

為便于后續(xù)計算,求出電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ.為求電路板在焊接過程中焊接區(qū)域中心的溫度變化情況,仍需要引用附件原數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合.聯(lián)立式(6)與式(7),可表示出電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式,其函數(shù)關系為

(8)

由式(8)可知,求出相應的常數(shù)c和k后,即可得到電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ,從而進行相應制程界限約束條件下的求解.

2.2.2 制程界限約束條件分析

在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中,爐溫曲線應滿足一定的要求,稱為制程界限,如表3所示.

表3 制程界限Table 3 Process boundary

根據(jù)表3的數(shù)據(jù)可知,制程界限有5個約束條件,分別是溫度上升斜率、溫度下降斜率、溫度上升過程中在150～190 ℃的時間、溫度大于217 ℃的時間和峰值溫度.如何分析這些約束條件的限制情況成為了解決本模型的關鍵.

假設此時已得到電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ.要計算最終的最大傳送帶過爐速度vmax,再分析制程界限的各項約束條件.可先假設一個初速度進行代入求值,后分別計算制程界限的限制條件,如計算第3條電路板在溫度上升過程中在150～190 ℃的時間要求.先計算電路板焊接過程中當θ=150 ℃時的時間t1,再計算焊接過程中當θ=190 ℃時的時間t2,計算t2-t1差值,若此差值位于60～120 s之間,則滿足第3條制程界限的限制條件.計算第4條制程界限時,需要求出當θ=217 ℃時的時間t1和t2,同樣計算t2-t1的值是否在40～90 s之間.計算第5條制程界限時,需要根據(jù)第9段小溫區(qū)末尾的位移值344.5 cm代入θ的表達式中計算峰值溫度,若此溫度處在240～250 ℃之間,則滿足第5條制程界限的限制條件.最后根據(jù)擬合出的電路板焊接區(qū)域中心溫度的分段函數(shù)表達式θ再判斷是否符合第1、2條制程界限的限制條件.

運用多重搜索算法計算不同傳送帶的過爐速度vmax,根據(jù)制程界限的約束條件進行篩選,當各項條件都滿足且求得的速度最大時,即可確定允許的最大傳送帶過爐速度vmax的值.

2.3 模型求解

2.3.1 牛頓冷卻定律的求解

根據(jù)牛頓冷卻定律式(6)及其解的表達式(7),可先求出常數(shù)k.運用兩邊同時取對數(shù)的方法進行化簡,其導出的關系式為

(9)

因為不同溫區(qū)的時間和溫度都不同,所以把函數(shù)寫成分段函數(shù),代入對應的溫度和時間的數(shù)據(jù)可以得到每段函數(shù)對應的常數(shù)c,最終就可以得到一個完整的分段函數(shù)θ.

接著將對應的區(qū)間溫度代回式(9),即可得到時間t與電路板焊接區(qū)域中心溫度θ的函數(shù)關系式.根據(jù)式(1)將時間t和位移x進行轉(zhuǎn)化.再根據(jù)表3給出的制程界限,把速度區(qū)間65～100 cm·min-1代入傳送帶過爐速度,運用多重搜索算法進行搜索求值,推導出傳送帶的最大過爐速度vmax.

2.3.2 制程界限約束條件分析求解

運用式(9)的對數(shù)及式(8)的方程進行求解,代入點(0,25 ℃),即可求出爐前區(qū)域的常數(shù)c0,根據(jù)此c0即可計算出本溫區(qū)的末溫度,此末溫度即為下一溫區(qū)的初始溫度.同理,按此順序即可解出所有的常數(shù)c,可得電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式為

(10)

最后運用多重搜索算法,通過MATLAB編程進行求解,其主要過程如下:

Step 1 取速度步長為0.1 cm·min-1,將不同的速度值代入所建立的模型進行計算,篩選出滿足約束條件的各個速度值,并選取其中的速度最大值.

Step 2 將所得的速度最大值前后取±1 cm·min-1的速度范圍,取步長為0.01 cm·min-1,最終得到傳送帶的最大過爐速度的值為vmax=83 cm·min-1.

3 峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型

3.1 模型分析

由于在焊接過程中焊接區(qū)域中心的溫度超過217 ℃的時間不宜過長,峰值溫度也不宜過高.理想的爐溫曲線應使超過217 ℃到峰值溫度所覆蓋的面積最小,如圖6所示.所以根據(jù)傳送帶過爐速度優(yōu)化模型得到的電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式,可以表示出溫區(qū)(小溫區(qū)8～9)的函數(shù)表達式,同時通過建立積分思想進行求解.假設將傳送帶的過爐速度和電路板第1次到達217 ℃時的時間作為積分的下限,電路板到達溫度峰值時的時間作為積分的上限,列出微分方程.最后再根據(jù)限制的速度、時間和溫度等相關條件,即可得到在此要求下各溫區(qū)的設定溫度和傳送帶的過爐速度,以及相應的最小陰影面積.

圖6 峰值溫度覆蓋面積示意圖Fig.6 Schematic diagram of peak temperature coverage area

3.2 模型建立

由傳送帶過爐速度優(yōu)化模型得到的電路板焊接區(qū)域中心溫度的函數(shù)表達式θ,可表示出θ4溫區(qū)(小溫區(qū)8～9)的函數(shù)表達式為

θ4-c4e-0.021 7t=217.

(11)

根據(jù)積分的思想,若要讓陰影部分的面積最小,則需要表示出積分上限與積分下限的差值,即上限為電路板到達溫度峰值時的點坐標,下限為電路板第1次到達217 ℃時的點坐標.

假設此時傳送帶的過爐速度為v0,電路板第1次到達217 ℃時的時間為t0,則表示的積分函數(shù)為

(12)

根據(jù)所給出的溫區(qū)溫度范圍可知,各小溫區(qū)設定溫度可以進行±10 ℃范圍內(nèi)的調(diào)整.同時要滿足表3中制程界限的限制條件,則其限制條件為

(13)

在式(13)的條件下對式(12)進行求解.

3.3 模型求解

不妨令xi,i∈[0,5]為各個溫區(qū)的初始位移,分別為0、25、202.5、238、273.5、344.5 cm.假設爐前區(qū)域的某段溫度為(1～5)溫區(qū)最小值的1/2,根據(jù)多重搜索算法,運用式(10),代入點(0,25 ℃),即可求出爐前區(qū)域的常數(shù)c0,根據(jù)此c0即可計算出本溫區(qū)的末溫度,此末溫度即為下一溫區(qū)的初始溫度.同理,按此順序即可解出所有的常數(shù)c,其表達式為

(14)

對式(12)的積分進行求解,得到

(15)

將式(11)代入式(15),可得到

(16)

根據(jù)式(13)和式(14)所求出的制程界限限制條件,結(jié)合式(16),運用多重搜索算法進行求解,可得到各溫區(qū)的設定溫度和傳送帶的過爐速度,以及相應的最小陰影面積,如表4所示.

表4 峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型結(jié)果Table 4 Peak temperature coverage area optimization model results

4 結(jié) 語

本文基于印刷電路板焊接生產(chǎn)問題,通過對回焊爐內(nèi)焊接區(qū)域中心點的溫度變化進行機理建模,根據(jù)附件中的測量數(shù)據(jù)分析電路板吸收熱量的規(guī)律,確定模型中的參數(shù),得到各溫區(qū)焊接區(qū)域中心的溫度.同時基于牛頓冷卻定律,根據(jù)實際生產(chǎn)要求的制程界限,運用多重搜索算法進行搜索求解,得到了傳送帶的最大過爐速度.最后基于積分思想建立峰值溫度覆蓋面積優(yōu)化模型,給出了各溫區(qū)設定溫度和傳送帶過爐速度,以及相應的最小面積.經(jīng)過對所建立的微分方程模型結(jié)果進行分析,本文模型可為回焊爐電路板焊接實際生產(chǎn)與測試提供理論參考.