基于極限平衡理論的臨坡地基承載力計(jì)算

鄒文龍 李星 張惠超

中鐵科學(xué)研究院有限公司，成都610032

在我國山區(qū)建設(shè)中，由于場地條件限制，大量基礎(chǔ)設(shè)施不可避免地修建在臨近山坡的地段，如跨河谷的橋梁樁基、高壓輸電線塔基礎(chǔ)等［1］。對(duì)于實(shí)際工程中的此類臨坡地基問題，GB 50007—2011《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》中給出了相應(yīng)的設(shè)計(jì)方法，但其規(guī)定多為經(jīng)驗(yàn)值，缺乏理論依據(jù)。為確保臨近邊坡建筑物的安全穩(wěn)定，臨坡地基承載力的研究具有社會(huì)與工程意義。臨坡地基承載力問題是平地地基承載力問題的延伸，Meyerhof［2］最早研究了這個(gè)問題。此后，臨坡地基承載力引起了世界各國學(xué)者的關(guān)注，Kusakabe等［3］以及Georgiadis［4］為本問題的研究和發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。我國學(xué)者很早也開始關(guān)注這個(gè)問題。早在1984年，張明楠等［5］基于彈性力學(xué)理論給出了斜坡頂部承載力的解。此后，以試驗(yàn)［6-7］、理論計(jì)算［8］和數(shù)值仿真方法［9］為主要手段的成果大量涌現(xiàn)。尉學(xué)勇、趙煉恒、胡衛(wèi)東等［10-12］雖給出了明確的計(jì)算方法，但都存在各自的問題，如基礎(chǔ)底面以下滑塊近似為等腰三角形，計(jì)算模型沒有真實(shí)地考慮基礎(chǔ)埋深等。另外，既有理論方法大多采用極限分析上限法開展臨坡地基承載力的研究，但設(shè)計(jì)人員更熟悉的卻是應(yīng)用廣泛的極限平衡理論。本文在既有研究成果的基礎(chǔ)上，基于極限平衡理論，建立各滑塊的靜力平衡方程，通過引入非線性規(guī)劃算法解出臨坡地基極限承載力。

1 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式

臨坡地基的極限承載力與其達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)所對(duì)應(yīng)的臨界破壞模式密切相關(guān)，確定臨坡地基的破壞模式是進(jìn)行臨坡地基承載力計(jì)算的重要前提。Meyerhorf［2］最早基于滑移線理論近似確定了臨坡地基破壞模式，由于此簡化模型能方便而不失精度地解決實(shí)際問題，此后關(guān)于臨坡地基承載力的研究普遍都采用這種破壞模式，本文也沿用該研究思路。

由于邊坡的存在，基礎(chǔ)下部地層中的應(yīng)力分布與平地地基相比具有不對(duì)稱的特性，這將導(dǎo)致臨坡地基破壞模式的不對(duì)稱。另外，邊坡的存在也使臨坡側(cè)相較于遠(yuǎn)坡側(cè)更容易發(fā)生破壞。綜上所述，為了給出合理的臨坡地基承載力解，結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)并參考文獻(xiàn)［6，13］的既有研究成果，提出了由對(duì)數(shù)螺旋線和直線組成的破裂面的破壞模式。臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式見圖1。假定坡度為β的邊坡坡頂?shù)孛嫠?，寬度為b的臨坡基礎(chǔ)埋深為d，基礎(chǔ)邊緣與坡頂邊緣的距離為λb，其中λ為臨坡距離與基礎(chǔ)寬度的比值。在均勻分布的極限壓力即條形基礎(chǔ)的極限承載力qu的作用下達(dá)到極限狀態(tài)，破裂面與坡面的夾角為η，基礎(chǔ)底面以下的滑塊為一個(gè)非等腰三角形ABC，其兩個(gè)底角為α1和α2；夾在主動(dòng)區(qū)ABC和被動(dòng)區(qū)ADKEM之間的過渡區(qū)ACD是一個(gè)頂角為θ的曲邊三角形區(qū)域，曲線邊界為對(duì)數(shù)螺旋線。

圖1 臨坡條形基礎(chǔ)地基破壞模式

根據(jù)上述臨坡條形基礎(chǔ)地基承載力計(jì)算的幾何分析模型，通過幾何關(guān)系可以獲得三角形ABC的兩條邊AC和BC的長度LAC、LBC，即

過渡區(qū)ACD的邊界為對(duì)數(shù)螺旋線，根據(jù)對(duì)數(shù)螺旋線的方程，邊長LAD計(jì)算式為

式中：φ為土體的內(nèi)摩擦角。

為求解被動(dòng)區(qū)滑面DK的長度LDK，可以通過點(diǎn)D與坡面的距離建立方程，化簡后為

2 分析推導(dǎo)

2.1 被動(dòng)區(qū)受力分析

對(duì)被動(dòng)區(qū)ADKEM進(jìn)行受力分析，其受力分析見圖2。其中，N1和T1為作用于界面DK上的法向力和切向力，N2和T2為作用于界面AD上的法向力和切向力，G1為被動(dòng)區(qū)自身重力。

圖2 被動(dòng)區(qū)受力分析

被動(dòng)區(qū)在界面AD、DK上的合力及自身重力的作用下達(dá)到極限平衡狀態(tài)，水平和豎直方向的靜力平衡方程分別為

另外，被動(dòng)區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，界面DK和AD上的切向力和法向力滿足

式中：c為土體的黏聚力。

被動(dòng)區(qū)自身重力可表示為

式中：γ為土體的重度；S1、S2、S3分別為△ADM、△DEM、△DEK的面積，S1=-d LADcos(α1+θ)/2，S2=λb[d+LADsin(α1+θ)]/2，S3=LDKhsinη/(2sinβ)，h為坡面剪出口距離坡面的深度，h=d+LADsin(α1+θ)+LDKsin(β-η)。

通過聯(lián)立式（5）—式（9）可以解出被動(dòng)區(qū)邊界DK和界面AD上所受的力的表達(dá)式。這些力都是關(guān)于破壞模式的幾何參數(shù)α1、θ等的表達(dá)式。

2.2 過渡區(qū)受力分析

對(duì)過渡區(qū)ACD進(jìn)行受力分析，見圖3。其中，N3和T3分別為作用于界面AC上的法向力和切向力，G2為過渡區(qū)自身重力。過渡區(qū)在界面AD、AC、CD上的合力及自身重力的作用下達(dá)到極限平衡狀態(tài)。

圖3 過渡區(qū)受力分析

假設(shè)界面CD上的任意一點(diǎn)R處所受的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力分別為σR和τR，由于過渡區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，即

若σR與σRtanφ的合力為σR0，其與σR的夾角為φ。根據(jù)對(duì)數(shù)螺旋線的幾何性質(zhì)，σR0是通過旋轉(zhuǎn)中心A的。因此，作用在點(diǎn)R上的合力就可以分解為指向旋轉(zhuǎn)中心的σR0和切向力c。另外，土壓力作用點(diǎn)一般位于界面的1/2到下1/3處之間，考慮到極限狀態(tài)時(shí)上部荷載遠(yuǎn)大于破壞區(qū)域土體自重，為簡化分析，假設(shè)N2和N3都作用于各自界面的中點(diǎn)處。

對(duì)過渡區(qū)ACD以點(diǎn)A建立力矩平衡方程

式中：M2、M3分別為N2、N3產(chǎn)生的力矩，M2=N2LAD/2，M3=N3LAC/2；MCD為CD界面上黏聚力產(chǎn)生的力矩，為過渡區(qū)重力力矩，MG=γSACDL，SACD為過渡區(qū)ACD的面積，為過渡區(qū)重力力矩的力臂。

根據(jù)對(duì)數(shù)螺旋線幾何性質(zhì)可知

式中：、為形心坐標(biāo)。

、的表達(dá)式分別為

整理式（11）—式（14），N3可以寫為關(guān)于N2的表達(dá)式。由于過渡區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，T3可以寫為

N2和T3是一個(gè)僅關(guān)于破壞模式的幾何參數(shù)的表達(dá)式。

2.3 主動(dòng)區(qū)受力分析

對(duì)主動(dòng)區(qū)ABC進(jìn)行受力分析，見圖4。其中，N4和T4分別為作用于界面BC上的法向力和切向力，G3為主動(dòng)區(qū)ABC的重力。

圖4 主動(dòng)區(qū)受力分析

主動(dòng)區(qū)在界面AC、BC、AB上的合力及自身重力的作用下達(dá)到極限平衡狀態(tài)，水平方向和豎直方向的靜力平衡方程分別為

G3表達(dá)式為

由于主動(dòng)區(qū)處于極限平衡狀態(tài)，T4可以寫為

通過聯(lián)立式（16）—式（19）可以解出主動(dòng)區(qū)界面BC上的法向力N4和切向力T4以及作用在AB界面上的極限荷載qu。這些力都是關(guān)于破壞模式的幾何參數(shù)的表達(dá)式。

2.4 臨坡地基承載力的極限平衡解

由于臨坡地基極限承載力qu表達(dá)式僅與破壞模式的幾何參數(shù)α1、α2、θ和η有關(guān)，則地基極限承載力實(shí)際上可以看做為這些幾何參數(shù)的函數(shù)，即

式（20）是通過聯(lián)立式（1）—式（19）解得的。其中，考慮到各角度和長度應(yīng)具有物理意義，且點(diǎn)C、點(diǎn)D處破裂面應(yīng)光滑連續(xù)，各幾何參數(shù)的取值應(yīng)滿足

根據(jù)潘家錚［14］最大最小原理，式（20）的最小值就是地基極限承載力。于是該問題轉(zhuǎn)化為：破壞模式的幾何參數(shù)在其各自合理的范圍內(nèi)變化時(shí)，通過式（20）求得極限承載力的最小值。這是一個(gè)非線性規(guī)劃問題，可以通過MATLAB工具箱中的fmincon求解。

3 算例驗(yàn)證與分析

前文以極限平衡理論為基礎(chǔ)，建立了臨坡地基極限承載力的計(jì)算方法，為驗(yàn)證其合理性與可行性，有必要與既有研究成果對(duì)比。

3.1 算例一

蔣洋等［15］利用有限元數(shù)值模擬研究了臨坡地基極限承載力，文中算例基礎(chǔ)寬度b=1 m，地基土重度γ=17 kN/m3，邊坡的坡度為30°。以文獻(xiàn)［15］中的算例為例，采用文獻(xiàn)［16］方法及本文方法計(jì)算不同地基土的抗剪強(qiáng)度參數(shù)c、φ以及基礎(chǔ)埋深d時(shí)臨坡地基承載力，見表1?？芍罕疚姆椒ㄅc兩種既有方法的計(jì)算結(jié)果吻合，將兩種既有方法的平均值作為參照，本文方法與平均值的最大相對(duì)誤差在10%以內(nèi)，這表明了本文方法的合理性與可行性。由算例的幾何條件可以發(fā)現(xiàn)，本文方法不僅適用于臨坡基礎(chǔ)與坡頂邊緣的距離不為0的情況，也適用于基礎(chǔ)有一定埋深的情況。

表1 算例一臨坡地基承載力對(duì)比 kPa

3.2 算例二

趙明華等［17］將極限分析上限法與有限元法相結(jié)合，對(duì)臨坡地基承載力開展研究，并給出了大量算例。以文獻(xiàn)［17］中的算例為例，采用文獻(xiàn)［17］方法及本文方法計(jì)算的臨坡地基承載力見表2。其中基礎(chǔ)寬度選取為1 m，地基土的重度為20 kN/m3。

表2 算例二臨坡地基承載力對(duì)比 kPa

由表2可知：①本文提出的基于極限平衡理論的臨坡地基承載力計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果與上限有限元方法結(jié)果的最大相對(duì)誤差在14%以內(nèi)，且絕大部分都在5%以內(nèi)，這表明了本文方法的合理性與正確性。②本算例中不同工況間的變量包括了坡角、臨坡距離、基礎(chǔ)埋深、黏聚力及內(nèi)摩擦角，且不同工況下均能獲得與既有方法十分吻合的計(jì)算結(jié)果，也表明本文方法具有廣泛的適用性。③通過控制變量法比較各工況下的計(jì)算結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)，臨坡地基承載力隨坡度的增大而減小，隨地基土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)的增大而增大，隨臨坡距離的增大而增大，隨基礎(chǔ)埋深的增加而增大。上述規(guī)律都符合工程實(shí)踐，也側(cè)面反映出本文方法的合理性。

3.3 算例三

臨坡地基破壞模式的合理確定關(guān)乎所求極限承載力的正確性。為驗(yàn)證本文方法所求結(jié)果對(duì)應(yīng)的破壞模式的合理性，以文獻(xiàn)［18］中的算例為例，采用文獻(xiàn)［18］方法及本文方法對(duì)比不同工況下臨坡地基的破壞模式，結(jié)果見圖5。其中，工況一的邊坡坡角為30°，基礎(chǔ)寬度為1 m，地基土重度為20 kN/m3，內(nèi)摩擦角為40°，c/（γb）=1；工況二的邊坡坡角為20°，基礎(chǔ)寬度為1 m，地基土重度為20 kN/m3，內(nèi)摩擦角為10°，c/（γb）=0.5。

由圖5可知，本文方法所得的破壞模式與利用數(shù)值模擬方法所得結(jié)果吻合良好。這表明本文方法不僅能獲得合理可靠的臨坡地基承載力值，也可以獲得合理可靠的臨坡地基破壞模式，為防治相關(guān)地質(zhì)災(zāi)害和巖土工程設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

圖5 算例三不同工況時(shí)邊坡破壞模式對(duì)比

3.4 算例四

臨坡建筑物地基受邊坡影響的臨界距離是實(shí)際工程中遇到的重要問題。GB 50007—2011中雖有相關(guān)規(guī)定，但其中規(guī)定缺乏理論依據(jù)。為此，應(yīng)探討臨坡建筑物安全距離及其規(guī)律。

以基礎(chǔ)寬度為1 m，重度為20 kN/m3，c/（γb）=1的邊坡為例，采用本文所提出方法，討論不同坡角和內(nèi)摩擦角情況下臨坡地基承載力與臨坡距離比的關(guān)系，結(jié)果見圖6?？芍孩佼?dāng)?shù)鼗恋目辜魪?qiáng)度一定時(shí)，無論坡角大小如何，隨著臨坡距離的增大，臨坡地基的極限承載力都將逐漸增大并趨近于同一個(gè)值，即平地地基承載力。但達(dá)到平地地基承載力時(shí)所對(duì)應(yīng)的臨坡距離比與坡角相關(guān)，坡角越大，邊坡對(duì)地基承載力的削弱作用越大，使邊坡不再產(chǎn)生影響的臨界距離也越大。②不同工況下所對(duì)應(yīng)的臨界距離是顯著不同的。以β=45°，φ=30°的工況為例，當(dāng)臨坡距離比為5時(shí)，邊坡對(duì)地基承載力的削弱作用仍存在，而按照現(xiàn)行規(guī)范進(jìn)行處理是偏于危險(xiǎn)的。

圖6 算例四臨坡地基承載力與臨坡距離比關(guān)系

4 結(jié)語

通過臨坡地基破壞模式中各滑塊的靜力平衡方程，給出了臨坡地基極限承載力的計(jì)算步驟，引入非線性規(guī)劃算法，建立了臨坡地基承載力的計(jì)算方法。

采用多個(gè)既有算例的數(shù)據(jù)，利用本文方法進(jìn)行計(jì)算，并與既有結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。本文方法與各數(shù)值模擬結(jié)果均吻合較好，證明本文方法兼具合理性及廣泛的適用性。所求破壞模式結(jié)果與既有方法結(jié)果一致也展現(xiàn)出本文方法的可靠性。

通過臨坡臨界距離的討論，發(fā)現(xiàn)邊坡對(duì)地基承載力削弱效果消失的臨界距離與多方面因素有關(guān)，而現(xiàn)行規(guī)范的規(guī)定可能使設(shè)計(jì)偏于危險(xiǎn)。本文方法可以為防治相關(guān)地質(zhì)災(zāi)害和巖土工程設(shè)計(jì)提供依據(jù)。