廣義非線性方程的顯示解

何黎霞， 孫峪懷， 胡 艷

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 610066)

0 引言

(1)

1 方法的簡述

完全判別系統(tǒng)法的主要步驟可概括如下：

考慮非線性數(shù)學(xué)和物理方程

P(q,qx,qt,qxx,qxt,qtt,…)=0,

(2)

其中,q=q(x,t)是未知函數(shù)，P是關(guān)于q及其偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式.作行波變換q(x,t)=u(ξ)exp(iφ),ξ=x-ct,φ=x+ωt+θ，方程(2)簡化為如下常微分方程

u′(ξ)=F(u,a1,…,am),

其中,a1,…，am是參數(shù).將上式積分一次，得到

(3)

其中,ξ0是積分常數(shù).顯然，只需求解(3)式.然而, 確定參數(shù)a1,…,am的取值范圍卻十分困難.借助多項(xiàng)式的完全判別系統(tǒng)[16]，確定參數(shù)a1，…，am的取值范圍，從而得到F(u,a1,…,am)的具體形式.最后，直接求解積分式(3)，進(jìn)而得到方程(1)的解.

2 過程與結(jié)果

假設(shè)方程(1)有如下形式的解

q(x,t)=u(ξ)exp(iφ),ξ=x-ct,φ=x+ωt+θ,

(4)

其中,u和φ分別表示q的振幅和相位.將(4)式代入方程(1)，并且令虛部和實(shí)部分別為零，可得

(5)

(6λ-s)u″=(2ω+2λ-s)u+(2μ-2)u3,

(6)

比較方程(5)和方程(6)，有

對方程(5)積分一次，可得

(u′)2=mu4+nu2+a2,

(7)

其中,a2是積分常數(shù)，

作如下變換

方程(7)轉(zhuǎn)化為

(8)

將方程(8)寫成積分形式，有

(9)

其中,ζ0是積分常數(shù)，并且在方程(1)的精確解中令其為零.

情形1假設(shè)Δ=0.由于ψ>0，有

(10)

如果a1<0，由(10)式可得方程(1)有如下形式的解

其中,

如果a1>0，由(10)式可得方程(1)有如下形式的解

其中,

如果a1=0，由(10)式可得方程(1)有如下形式的解

其中,

情形2假設(shè)Δ>0并且a2=0.由于ψ>-a1，有

(11)

如果a1<0，由(11)式可得方程(1)有如下形式的解

其中,

如果a1>0，由(11)式可得方程(1)有如下形式的解

其中,

情形3假設(shè)Δ>0，a2≠0并且α<β<γ.假設(shè)α,β,γ中一個為零，其余為F(ψ)的根.作變換ψ=α+(β-α)sin2φ，可得

(12)

其中,

當(dāng)m1=0或m1=1時，Jacobi橢圓函數(shù)將退化為三角函數(shù)或雙曲函數(shù)，從而得到方程(1)額外的解

其中,

當(dāng)m1=0或m1=1時,Jacobi橢圓函數(shù)將退化為三角函數(shù)或雙曲函數(shù)，從而得到方程(1)額外的解

其中,

(13)

為了更直觀地理解這些顯示解，將參數(shù)取特殊值，繪制了部分顯示解的三維圖.圖1(a)-圖3(a)分別表示扭結(jié)波解q1(x,t)、周期波解q15(x,t)以及暗孤波解q16(x,t).圖1(b)-圖3(b)分別表示三個行波解在t=0，t=1時沿x軸的波.

圖1 扭結(jié)波解q1(x,t),當(dāng)時的圖像

圖2 周期波解q15(x,t),當(dāng)時的圖像

圖3 暗孤波解q16(x,t),當(dāng)時的圖像

3 結(jié)論