基于現(xiàn)代控制理論的飛機橫航向控制律設計研究

劉詩超，翁雪花，鄒俊俊，冷國旗

（1.海裝駐南昌地區(qū)軍事代表室，江西 南昌，330024;2.航空工業(yè)洪都，江西 南昌，330024）

0 引言

對于電傳飛機而言，飛行控制系統(tǒng)相當于人類的大腦，是至關(guān)重要的，而控制律設計作為飛行控制系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)之一，受到設計人員的高度重視。

目前在工程實踐中使用的控制律設計方法，為調(diào)參法?？刂坡梢话悴捎肞ID結(jié)構(gòu)，參數(shù)設計采用極點配置方法、根軌跡分析法等較為經(jīng)典的方法。隨著新型飛行器的不斷出現(xiàn)，控制律設計所面臨的挑戰(zhàn)不斷增加，現(xiàn)代控制理論和方法的應用研究越來越受到關(guān)注和重視。

本文研究幾個具有工程應用前景的控制方法：線性二次型最優(yōu)控制方法、特征結(jié)構(gòu)配置方法和動態(tài)逆方法。

1 控制律設計

本文以某型教練機5km、0.3M狀態(tài)點為例，應用線性二次型最優(yōu)控制方法、特征結(jié)構(gòu)配置方法及動態(tài)逆方法對飛機橫航向控制律設計進行研究。

1.1 線性二次型最優(yōu)控制方法

線性二次型最優(yōu)控制方法的研究始于20世紀60年代，是一種最優(yōu)控制系統(tǒng)設計方法。該方法以線性系統(tǒng)為對象，取狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分作為性能指標函數(shù)，尋找狀態(tài)線性反饋控制律，使得性能指標函數(shù)最優(yōu)。該方法能生成一個簡單的狀態(tài)反饋控制律，易于計算和工程實現(xiàn)。

1.1.1 方法描述

對于系統(tǒng)

其中，x為n維狀態(tài)向量；u為r維輸入向量，y為m維輸出向量；A為n×n維的常數(shù)矩陣、B為n×r維的常數(shù)矩陣、C為m×n維的常數(shù)矩陣、D為m×r維的常數(shù)矩陣。

其狀態(tài)反饋控制律為

假設能控且可觀的線性定常系統(tǒng)，設計最優(yōu)控制律u（t），使得性能指標J取極小值：

其中，Q為n×n維半正定的狀態(tài)加權(quán)矩陣、R為r×r維正定的控制加權(quán)矩陣，常選為對角線矩陣。

根據(jù)線性最優(yōu)控制理論，使得J取極小值的控制律u（t）存在且唯一地由式（4）確定：

式中，P為對稱矩陣，且滿足黎卡提（Riccati）方程：

則控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反饋增益K計算如下：

1.1.2 設計

針對飛機橫航向控制律的設計，選取狀態(tài)變量x=[βωxωyγ]，n=4，控制輸入為u=[δxδy]，得到相對應的飛機狀態(tài)空間表達式。

首先驗證系統(tǒng)的能控能觀性。

對多輸入系統(tǒng)，其能控的充分必要條件是能控性矩陣

的秩為n。

其能觀的充分必要條件是能觀性矩陣

的秩為n。

通過上述判據(jù)，驗證0503狀態(tài)點的狀態(tài)方程具有能控能觀性，滿足設計前提。

其次，要選取合適的加權(quán)矩陣Q和R。

Q和R是狀態(tài)向量和輸入向量的加權(quán)矩陣，兩者取值與系統(tǒng)的性能相關(guān)，通過反復取值計算仿真，觀察仿真結(jié)果，綜合考慮系統(tǒng)動態(tài)性能指標，選取Q、R矩陣如下：

再由A、B、Q、R求解黎卡提矩陣微分方程，得到黎卡提矩陣P，由P求得反饋增益矩陣K。這里利用MATLAB工具箱提供的lqr()函數(shù)，調(diào)用格式為K=lqr（A，B，Q，R），可得到反饋矩陣K如下：

1.2 特征結(jié)構(gòu)配置方法

特征結(jié)構(gòu)配置方法是20世紀60年代發(fā)展起來的一種基于時間域的多變量系統(tǒng)設計方法。該方法根據(jù)要求選擇適當?shù)奶卣髦岛吞卣飨蛄?，使系統(tǒng)達到期望的動態(tài)響應特性，類似于經(jīng)典控制理論中的零極點配置。在特征結(jié)構(gòu)配置技術(shù)中，特征值用于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定，特征向量用于動態(tài)響應的解耦，兩者一起保證系統(tǒng)的動態(tài)性能。

1.2.1 方法描述

對于系統(tǒng)式（1），其狀態(tài)反饋控制律為

則有

其中，K∈Rr×n、G∈Rn×n。若G具有n個互異特征值λi，i=1，2，K，n，對應的特征向量為vi，則有

特征結(jié)構(gòu)配置方法即是尋找K，使得G即（A+BK）含有規(guī)定的特征值和特征向量。

1.2.2 設計

首先選擇期望的特征值和特征向量。

依據(jù)GJB 185-86一級標準，選擇荷蘭滾特征根為-2.5±2.5i，對應的荷蘭滾阻尼比為0.7071，荷蘭滾頻率為3.5355，滾轉(zhuǎn)模態(tài)特征根為-3，對應的滾轉(zhuǎn)模態(tài)時間常數(shù)為0.33，螺旋特征根為-0.002，對應的螺旋模態(tài)倍幅時間為500，則期望的特征值：

其中“×”表示未受約束（即任意的）項，而所有其他值（包括“0”）表示嚴格的特征向量約束。

由于矩陣B的秩為r（r=2），小于n，引入線性變換T，使得B變換后的秩為n，則

綜上，通過計算，可得到基于特征結(jié)構(gòu)配置的反饋矩陣K為

1.3 動態(tài)逆方法

動態(tài)逆方法又被稱為“反饋線性法”，始于20世紀70、80年代，是建立在逆系統(tǒng)理論基礎(chǔ)上的一種方法，其實質(zhì)是用期望的動態(tài)環(huán)節(jié)，通過代數(shù)運算，替代原系統(tǒng)中存在的不符合期望的動態(tài)環(huán)節(jié)，使系統(tǒng)輸出為期望的動態(tài)環(huán)節(jié)。

1.3.1 方法描述

假設有非線性系統(tǒng)

其中x是狀態(tài)向量，u是控制向量。

假設g（x）可逆，則通過求逆，當控制律為

1.3.2 設計

根據(jù)橫航向控制的目的，選擇的控制變量為β和ωx，則飛機方程簡化為

其中，A為4×4維常數(shù)矩陣，B為4×2維常數(shù)矩陣，則

一般希望飛機響應為一階慣性環(huán)節(jié)，因此這里構(gòu)造期望的動態(tài)特性為

其中，βc和ωc為側(cè)滑角和滾轉(zhuǎn)角速率指令。

根據(jù)時標分離原則及快慢回路間帶寬的選擇要求，其帶寬設計為wβ=2rad/s,wx=10rad/s，則有

通過計算，可得基于動態(tài)逆方法的反饋控制律為

2 仿真分析

基于上述方法得到的控制律，在MATLAB Simulink下搭建模型，該模型包括控制系統(tǒng)、作動器和飛機方程，框圖如圖1所示。

圖1 仿真模型示意圖

分別給出10°/s的滾轉(zhuǎn)角速率指令和1°的側(cè)滑角指令，三種方法仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 橫向仿真結(jié)果對比

圖3 航向仿真結(jié)果對比

由上述對比結(jié)果可知，當給定10°/s滾轉(zhuǎn)角速率指令時，最優(yōu)控制方法和動態(tài)逆方法的響應速度較特征結(jié)構(gòu)配置的快，但最優(yōu)控制方法存在超調(diào)，而另兩種方法均能平滑跟蹤指令，三者的穩(wěn)態(tài)誤差均幾乎為零，特征結(jié)構(gòu)配置方法的橫航向解耦效果最優(yōu)；當給定1°側(cè)滑角指令時，三種方法的響應速度相當，最優(yōu)控制方法存在超調(diào)，動態(tài)逆方法給定側(cè)滑角同時產(chǎn)生的滾轉(zhuǎn)角速率較大，解耦效果較前兩者差。

設置20%的飛機模型擾動，給出10°/s的滾轉(zhuǎn)角速率指令和1°的側(cè)滑角指令，三種方法仿真結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 橫向仿真結(jié)果對比（帶擾動）

圖5 航向仿真結(jié)果對比（帶擾動）

擾動時，給定10°/s滾轉(zhuǎn)角速率指令時，三種方法都能很好地跟蹤指令，最優(yōu)控制方法略微超調(diào)，三者的穩(wěn)態(tài)誤差均幾乎為零；給定1°側(cè)滑指令時，特征結(jié)構(gòu)配置方法和最優(yōu)控制方法的側(cè)滑角存在穩(wěn)態(tài)誤差。由此可知，三種方法的抗擾動能力相當。

3 結(jié)語

本文研究基于現(xiàn)代控制理論方法的飛機橫航向控制律設計，其中運用具有工程意義的線性二次型最優(yōu)控制方法、特征結(jié)構(gòu)配置方法和動態(tài)逆方法，以某型教練機5km、0.3M狀態(tài)點為例，進行橫航向控制律設計，搭建Simulink模型，仿真分析并驗證。通過仿真結(jié)果可知，線性二次型最優(yōu)控制方法，響應速度快，但存在一定的超調(diào)；特征結(jié)構(gòu)配置方法能夠平滑較快地跟蹤指令，且穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，較好地實現(xiàn)了橫航向解耦；動態(tài)逆方法能夠平滑較快地跟蹤指令，且穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零，其給定橫向指令時，能夠較好地實現(xiàn)橫航向解耦，但當給定航向指令時，橫航向解耦效果較差。

綜上，線性二次型最優(yōu)控制方法設計過程最為簡單，MATLAB中有函數(shù)工具，可直接得到反饋控制律，但其最關(guān)鍵的問題是性能指標中Q和R的選擇，Q和R的值并沒有理論依據(jù)，設計過程中需要不斷試湊，觀察仿真結(jié)果來調(diào)節(jié)Q和R，直至達到期望的仿真結(jié)果。

特征結(jié)構(gòu)配置方法的計算過程比較復雜，尤其還涉及復根，選擇不同的特征根和特征向量得到的反饋控制律也不同，后期飛行品質(zhì)計算結(jié)果也會受影響，可根據(jù)飛行品質(zhì)計算結(jié)果適當調(diào)節(jié)特征根，使得其動態(tài)特性和品質(zhì)都符合要求。

狀態(tài)反饋動態(tài)逆方法得到的反饋增益偏大，對飛機穩(wěn)定性影響較大，后期要根據(jù)穩(wěn)定儲備的計算加以修正。

較經(jīng)典理論而言，基于現(xiàn)代控制理論的全狀態(tài)反饋方法能夠一次性求出反饋系數(shù)，后續(xù)可根據(jù)相關(guān)飛行品質(zhì)計算調(diào)整個別參數(shù)，縮短了控制律設計的時間，提高了效率。