李開瑋

[摘? ?要]高中物理中，學生經(jīng)常將萬有引力與向心力混淆，在求解行星繞恒星做橢圓運動問題時，容易出錯。文章詳細講解行星在萬有引力作用下繞恒星做橢圓運動時的規(guī)律，并求解了相應的橢圓軌道參數(shù)。

[關(guān)鍵詞]萬有引力;橢圓運動;軌道參數(shù)

[中圖分類號]? ? G633.7? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）14-0057-02

兩個有質(zhì)量的物體之間的引力可以用萬有引力公式[GmMr2]表征，方向為兩物體連線吸引的方向，當其中一物體繞另一物體做圓周運動時，如通信衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)，[r]與圓的半徑相等，且引力的方向指向圓心，因此，萬有引力是衛(wèi)星做圓周運動的向心力。但很多時候，行星運動的軌跡為橢圓，如行星繞太陽的旋轉(zhuǎn)，這時，引力的方向與行星的瞬時曲率半徑方向不再平行，且引力半徑與曲率半徑不相等，而在教學中發(fā)現(xiàn)，學生經(jīng)常生硬地讓萬有引力等于向心力，向心力公式中的半徑直接用引力半徑代替，故筆者認為有必要詳細推導天體做橢圓運動的情況下，天體的運動學規(guī)律。并在此基礎(chǔ)上求解橢圓方程、運動周期等。

一、橢圓運動學規(guī)律推導

如圖1所示坐標系中，太陽位于橢圓焦點[（-c， 0）]，行星繞太陽做橢圓運動，設行星坐標為[（x， y）]，設橢圓方程為：

行星在運動時只有萬有引力做功，故行星的機械能守恒，機械能為：

由（11）（12）（16）式可得機械能：

二、應用舉例

根據(jù)上面得到的橢圓運動的結(jié)論，分析幾道典型的例題。

[例1]1970年成功發(fā)射的“東方紅一號”是我國第一顆人造地球衛(wèi)星，該衛(wèi)星至今仍沿橢圓軌道繞地球運動。如圖2所示，設衛(wèi)星在近地點、遠地點的速度分別為[v1]、[v2]，近地點到地心的距離為r，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則（）。

解析：由（17）式可知，衛(wèi)星的機械能守恒，衛(wèi)星從近地點運動到遠地點，引力做負功，引力勢能增大，因此動能減小，故[v1>v2]。由（12）式可得近地點速度為[v1=GM（a+c）a（a-c）]，近地點到地心的距離為[r=a-c]，因此[v1>GMr]。答案為B。

[例2]2018年12月8日發(fā)射成功的“嫦娥四號”探測器經(jīng)過約110小時奔月飛行，到達月球附近，成功實施近月制動，順利完成“太空剎車”，被月球捕獲并順利進入環(huán)月軌道。若將整個奔月過程簡化如下：“嫦娥四號”探測器從地球表面發(fā)射后，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，如圖3所示，經(jīng)過M點時變軌進入距離月球表面100 km的圓形軌道Ⅰ，在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點時再次變軌進入橢圓軌道Ⅱ，之后將擇機在Q點著陸月球表面。下列說法正確的是（）。

A.“嫦娥四號”沿軌道Ⅱ運行時，在P點的加速度大于在Q點的加速度

B.“嫦娥四號”沿軌道Ⅱ運行的周期大于沿軌道Ⅰ運行的周期

C.“嫦娥四號”在軌道Ⅰ上的運行速度小于月球的第一宇宙速度

D.“嫦娥四號”在地月轉(zhuǎn)移軌道上M點的速度大于在軌道Ⅰ上M點的速度

解析：P點為遠月點，Q為近月點，Q點月球?qū)Α版隙鹚奶枴钡囊Υ笥赑點，故Q點加速度大于P點;根據(jù)開普勒第三定律，繞月球運動的兩軌道，半長軸的3次方與周期2次方之比為常數(shù)，Ⅰ軌道半長軸大于Ⅱ軌道，故Ⅰ軌道周期大于Ⅱ軌道;第一宇宙速度為[GMr月球]，軌道Ⅰ上的運行速度為[GMrI]，故軌道Ⅰ上的運行速度小于月球的第一宇宙速度;“嫦娥四號”要進入繞月圓軌道Ⅰ，必須在M點減速，使自己被月球引力捕獲，因此軌道Ⅰ上M點速度小于地月轉(zhuǎn)移軌道上M點速度。因此答案為C、D。

本文推導了天體橢圓運動的規(guī)律，萬有引力并不等于向心力，而是萬有引力沿法線分量提供向心力，沿切線方向分量提供切向加速度，向心力公式中的曲率半徑也不等于引力半徑，需要根據(jù)幾何數(shù)學求解得出。

（責任編輯 易志毅）