材料力學(xué)中小變形假設(shè)辨析

李 敏 李依倫

?(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院,北京100191)

?(北京航空航天大學(xué)中法工程師學(xué)院,北京100191)

作為理工科機(jī)械大類培養(yǎng)體系中的專業(yè)基礎(chǔ)課，材料力學(xué)課程首次引入了“變形”的概念，與之相應(yīng)地，在研究對象與分析方法方面務(wù)求簡單：分別對應(yīng)于幾何上的桿件，材料性質(zhì)方面的連續(xù)、均勻、各向同性假設(shè)，以及基于觀察與假設(shè)的分析模式。盡管材料力學(xué)課程在緒論中已經(jīng)非常明確給出材料連續(xù)、均勻、各向同性的假設(shè)，但在后續(xù)章節(jié)甚少提及，反倒是材料的線彈性假設(shè)與分析狀態(tài)的小變形假設(shè)被反復(fù)強(qiáng)調(diào)。相對而言，材料線彈性假設(shè)物理含義與作用范圍易于被學(xué)生理解掌握，而作為分析狀態(tài)的小變形假設(shè)由于其表觀形式各異不易分辨，即便是材料力學(xué)專業(yè)教師，對于“多大的變形可以看作小變形”這一問題的回答在思路與結(jié)論上也有較大差異。

本文首先列出其定義和出現(xiàn)在教科書中的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上分析與說明其內(nèi)涵與規(guī)則，作為材料力學(xué)教學(xué)參考。

1 變形的定義與常見教學(xué)內(nèi)容

小變形假設(shè)與材料基本假設(shè)不同，后者在所有力學(xué)教材的開篇部分給出明確定義，前者在一些教材中有明確定義[1-4]，也有教材通篇都沒有給出明確定義但在其分析過程中使用其性質(zhì)。在給出小變形假設(shè)定義的教材中，其出現(xiàn)的位置也有差異：材料力學(xué)教材出現(xiàn)小變形假設(shè)往往在桁架節(jié)點(diǎn)位移分析章節(jié)[1-2]，而彈性力學(xué)教材或工程力學(xué)教材往往緊隨材料的基本假設(shè)[3-4]。

盡管小變形假設(shè)在不同教材中給出的表述不完全相同，但核心思想一致，此處表述為：物體內(nèi)各點(diǎn)的位移遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，因而應(yīng)變與轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1。可以按原始幾何位形進(jìn)行力平衡分析；并可忽略應(yīng)變與轉(zhuǎn)角的二階微量，從而使得幾何方程線性化。

在材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，以下幾個(gè)部分均明確指出使用了小變形的性質(zhì)：

(1)桁架節(jié)點(diǎn)位移分析，典型模型如圖1所示，該方法也常被稱為切線代圓??；

(2)梁彎曲撓度分析中撓曲軸微分方程的簡化，由式(1a)到式(1b)；

(3)平面應(yīng)變狀態(tài)分析，典型變形協(xié)調(diào)如圖2所示，圖中由小變形假設(shè)支撐的切線代圓弧體現(xiàn)在式(2a)、原始幾何構(gòu)型體現(xiàn)在式(2a)～式(2c)、角度代正切體現(xiàn)在式(2c)。

圖2 平面應(yīng)變狀態(tài)分析典型模型

除此之外，材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容中還有一些章節(jié)涉及到小變形假設(shè)但并沒有詳細(xì)分析，例如：

(1)應(yīng)變的定義；

(2)材料應(yīng)力應(yīng)變曲線的真實(shí)應(yīng)力；

(3)梁軸線彎曲變形時(shí)忽略軸向位移與撓度沿截面高度的變化；

(4)廣義胡克定律中切應(yīng)力對正應(yīng)變的影響；

(5)變形體虛功原理中虛位移的定義。

這些內(nèi)容對于材料力學(xué)專業(yè)教師非常熟悉，這里不再贅述。

2 小變形定義的辨析與實(shí)例

在材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容中小變形假設(shè)經(jīng)常出現(xiàn)，但相對于材料線彈性假設(shè)，其每次出現(xiàn)時(shí)“面貌”并不完全一致，盡管多數(shù)情況二者同時(shí)出現(xiàn)。首先需要說明線彈性假設(shè)與小變形假設(shè)在定義上并無關(guān)聯(lián)，前者是材料使用范圍設(shè)定，后者是變形狀態(tài)范圍。其次，在材料力學(xué)絕大多數(shù)分析狀況下，線彈性與小變形總是關(guān)聯(lián)出現(xiàn)：以常見的金屬材料為例，其屈服應(yīng)力與彈性模量之比(屈服應(yīng)變)遠(yuǎn)小于1(見表1)，而工程結(jié)構(gòu)服役狀態(tài)常見應(yīng)變小于0.1%量級，既然如此，在材料線彈性范圍還需要強(qiáng)調(diào)小變形假設(shè)嗎？另外一個(gè)常見問題是：材料力學(xué)的研究對象是一個(gè)方向尺寸遠(yuǎn)大于另外兩個(gè)方向尺寸的桿件，小變形假設(shè)中提及的遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)原始尺寸是哪個(gè)方向的尺寸，特別是彎曲梁，撓度應(yīng)該與橫向的高度還是長度進(jìn)行比較？為了說明這類問題，這里選取了幾個(gè)經(jīng)典講授內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步討論，便于加深對于小變形定義的理解。

表1 航空常見金屬材料力學(xué)性質(zhì)

2.1 零力桿的特殊狀態(tài)分析

對于多桿變形協(xié)調(diào)問題，采用基于小變形假設(shè)的切線代圓弧方法求解桁架節(jié)點(diǎn)位移是常規(guī)模式，其中圖3(a)所示“零力桿”概念是經(jīng)典教學(xué)內(nèi)容，圖3(b)與圖3(c)是其變形協(xié)調(diào)與受力分析圖，均為基于原始幾何構(gòu)型的分析模式。

如果兩桿夾角θ逐步減小，甚至接近0°，此時(shí)利用切線代圓弧的變形協(xié)調(diào)如圖3(d)所示，很明顯此時(shí)不能再使用基于原始幾何構(gòu)型的切線代圓弧模式求解節(jié)點(diǎn)位移，即使桿件應(yīng)變遠(yuǎn)小于1也會造成較大的偏差。究其原因在于此例中特殊幾何構(gòu)型的力平衡，即使桿件變形的絕對量Δl1或相對量Δl1/l1很小，甚至是Δθ也很小，仍會出現(xiàn)該問題：對于此種特殊幾何構(gòu)型，采用基于原始幾何構(gòu)型的力平衡模式(如圖3(c))與真實(shí)的力平衡模式(圖3(e))有較大的差異。換言之，小變形假設(shè)是否成立并不僅僅取決于變形量的大小，更歸結(jié)到是否可以采用基于原始幾何構(gòu)型進(jìn)行力的平衡分析。

圖3 零力桿的特殊狀態(tài)分析

2.2 組合變形分析

在組合變形部分有圖4所示的載荷狀況，常規(guī)講授內(nèi)容中，危險(xiǎn)截面上的應(yīng)力是由F1引起的彎曲正應(yīng)力與F2引起的拉壓正應(yīng)力疊加而成。這里有一個(gè)隱含的小變形假設(shè)條件，即彎曲撓度w很小，小到多少算是滿足要求？如果基于變形后的幾何位置考慮w的影響，通過簡單的截面內(nèi)力分析可知，其截面彎矩最大值(中點(diǎn))

圖4 組合變形的載荷狀態(tài)

相比不考慮w影響的基于原始幾何構(gòu)型的最大彎矩F1l/4，衡量滿足小變形假設(shè)的撓度大小，不僅與w/l相關(guān)，也與F2/F1有關(guān)，反而與截面橫向幾何尺寸的高度h沒有直接關(guān)系。

2.3 一端固支一端鉸支細(xì)長壓桿穩(wěn)定性問題

在壓桿穩(wěn)定性常規(guī)教學(xué)內(nèi)容中，邊界條件為一端固支一端鉸支的狀況相比兩端鉸支狀況有其特殊性：彎矩表達(dá)式中出現(xiàn)垂直方向約束力(如圖5(a)與圖5(b)中FR)。采用類比方法求解時(shí)指出距鉸支端約0.7l處為拐點(diǎn)(圖5(c)中C點(diǎn))，而后基于C點(diǎn)彎矩為零的條件轉(zhuǎn)化為兩端鉸支模式如圖5(d)。需要指出，與圖5(c)不同，此時(shí)圖5(d)中C點(diǎn)與D點(diǎn)處于同一水平線，其本質(zhì)就是忽略了垂直方向約束力FR。

圖5 一端固支一端鉸支細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性問題(續(xù))

圖5 一端固支一端鉸支細(xì)長壓桿的穩(wěn)定性問題

為了考察該處理方案的依據(jù)，可以根據(jù)圖5(c)列出BC段的力平衡方程

正是由于w/l<<1，所以相比Fcr，垂直方向約束力FR足夠小，這是問題簡化的基礎(chǔ)。在基于小變形假設(shè)的該問題分析中，撓度w足夠小的比較標(biāo)準(zhǔn)是軸向長度l而不是橫向尺寸h。

2.4 彎曲梁軸向位移與載荷方向影響

由于梁長度的放大效應(yīng)，在工程實(shí)際問題中梁的撓度與梁的橫向尺寸往往都是可比的，甚至大于梁的橫向尺寸，相對于拉壓變形中軸向變形大小的判斷，符合小變形假設(shè)的撓度大小在材料力學(xué)教材中并無明確的標(biāo)準(zhǔn)，那么撓度達(dá)到什么程度還能使用小變形假設(shè)而不會對問題的簡化造成明顯影響？這里采用懸臂梁的模型進(jìn)行探討。

盡管梁變形的撓度不小，但梁的軸向變形ΔA相對梁的軸向長度l還是高階小量，水平方向位移ΔA也稱為曲率縮短，通過撓曲軸總長與其水平軸投影之差進(jìn)行計(jì)算[1]，通用計(jì)算公式是泰勒展開的近似表達(dá)

對于自由端受集中力的懸臂梁，得出

在材料力學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，無論是強(qiáng)度還是剛度問題，梁內(nèi)彎矩是關(guān)鍵。長度為l的懸臂梁，對自由端承受集中力F的情況，基于原始幾何位形給出的梁內(nèi)最大彎矩Mmax=Fl與基于變形后幾何位形給出的最大彎矩Mmax=F(l?Δ)相比，由于Δ是l的二階小，所以基于小變形假設(shè)的原始幾何構(gòu)型分析力平衡不會造成明顯偏差，此時(shí)采用線性分析仍然可以獲得精準(zhǔn)的結(jié)果。

如果改變受力狀況，在自由端同時(shí)存在水平載荷(如圖6)，與2.2節(jié)類似，梁內(nèi)最大彎矩

圖6 懸臂梁自由端受垂直與水平集中力

與基于原始幾何構(gòu)型的彎矩F1l相比，分析結(jié)果的精度不僅與w/l相關(guān)，也與F2/F1有關(guān)。

為了在教學(xué)過程中給出直觀的認(rèn)識，這里以F1與F2的合力始終垂直于變形后的軸線為例研究結(jié)果的精度(此為機(jī)翼翼面升力模式)。

如果載荷始終垂直于軸線，以基于原始幾何構(gòu)型的線性狀態(tài)估算撓度與轉(zhuǎn)角，則

忽略軸向位移Δ，最大彎矩為

其中F1l2/(2EI)正是在原始構(gòu)型下梁自由端轉(zhuǎn)角，如果考慮工程誤差為5%，即(2/3)[F1l2/(2EI)]2=0.05，則F1l2/(2EI)=0.2739，或θ(l)=15.7°，即自由端最大彎曲角小于15°時(shí)，使用小變形進(jìn)行計(jì)算可保證工程精度。由于彎曲角不直觀，所以根據(jù)懸臂梁自由端受集中力狀態(tài)w(l)/l=F1l2/(3EI)，可以估算此時(shí)w(l)/l=[F1l2/(2EI)](2/3)=0.1826，即最大撓度小于梁長度18%時(shí)，基于小變形假設(shè)的分析可保證工程精度。

事實(shí)上，除了彎矩的差異，以上這種撓度較大的情況可能涉及小應(yīng)變大位移(小變形幾何非線性)，盡管不可能在材料力學(xué)的教學(xué)中講解這些理論細(xì)節(jié)，但給出與真實(shí)情況結(jié)果的比較對于教學(xué)還是有益的。

圖7是利用有限元的線性與非線性分析模塊對懸臂梁自由端受載幾類情況結(jié)果的對比，橫軸為撓度與梁長度(半展長)的比值，縱軸為撓度相對偏差。其中位移下標(biāo)0,1,2分別表示基于小變形的線性分析結(jié)果，載荷方向不變的非線性結(jié)果，以及考慮力跟隨(載荷始終垂直于變形后的梁軸線)的非線性結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)與上面的近似理論分析結(jié)果吻合較好(載荷方向保持不變的情況，由于在梁軸線方向有拉力分量，其幾何剛度增強(qiáng)了梁的彎曲剛度，導(dǎo)致結(jié)果偏差更大)。圖8是類似的情況，區(qū)別在于此時(shí)外載為均布載荷模式，其非均布載荷對應(yīng)于工程上高空長航時(shí)超大展弦比無人機(jī)(如圖9)的變形分析(半展長20 m，翼厚小于0.1 m)，當(dāng)翼尖撓度小于半展長15%時(shí)，線性分析結(jié)果完全滿足工程精度。

圖7 自由端集中載荷下?lián)隙认鄬ζ?/p>

圖8 分布載荷下?lián)隙认鄬ζ?/p>

圖9 高空長航時(shí)超大展弦比無人機(jī)

3 小結(jié)

與材料的線彈性假設(shè)相比，小變形假設(shè)涉及的問題更加復(fù)雜，而且不可能在材料力學(xué)本科教學(xué)中涉及柯西應(yīng)變張量與格林應(yīng)變張量(或阿爾曼西應(yīng)變張量)的對比，但是往往學(xué)生們會問及多大的變形屬于小變形，以及不同模式下與變形比較的原始尺度。本文期望通過幾個(gè)材料力學(xué)教學(xué)實(shí)例說明小變形假設(shè)重在是否可以采用原始幾何構(gòu)型進(jìn)行問題的分析而不僅僅是變形較小。本質(zhì)上，小變形假設(shè)與材料線彈性假設(shè)“定義式”的表征不同，更多體現(xiàn)在保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性上。