雷經(jīng)發(fā)，陳志強，張 淼，孫 虹，李永玲

（1.安徽建筑大學(xué) 機械與電氣工程學(xué)院，安徽 合肥230601；2.工程機械智能制造安徽省教育廳重點實驗室，安徽 合肥230601；3.安徽省仿真設(shè)計與現(xiàn)代制造工程技術(shù)研究中心，安徽 黃山245041）

1 引 言

結(jié)構(gòu)光三維測量具有非接觸、全場性和高精度等優(yōu)點［1-4］。其關(guān)鍵的核心問題之一是光柵相位場的解算，尤其是高效率和高可靠性的展開復(fù)雜形面的條紋圖像相位主值［5-6］。目前，相位展開方法可分為空域法和時域法兩大類。投影多頻條紋根據(jù)外差原理進(jìn)行相位展開的方法是時域相位展開法的典型代表之一［7］。此方法對被測目標(biāo)表面的顏色不敏感，可以準(zhǔn)確地展開復(fù)雜物體表面的相位主值，具有計算過程穩(wěn)定、實用性強的優(yōu)點，因而得到了廣泛的應(yīng)用［8-9］。

國內(nèi)外很多學(xué)者對利用外差原理進(jìn)行相位展開的方法進(jìn)行了大量的研究。GUO等提出了投影雙頻條紋，分別建立高頻或低頻光柵相位與高度映射查找表的方法，實現(xiàn)了三維面形的快速高精度測量［10］。DONG等利用遺傳算法補償隨機相位以增強外差信號的方法，在低信噪比環(huán)境下依然具有良好的解相效果［11］。WANG等采用先對條紋圖像進(jìn)行小面積自旋濾波處理再用外差解相的方法，進(jìn)一步提升了算法的性能［12］。郭進(jìn)等投影三種不同頻率的條紋圖像，使用三頻外差原理展開相位主值的方法，很大程度上解決了周期次數(shù)非正常跳變的問題，降低了絕對相位的跳躍性誤差［13］。陳松林等提出了一系列約束條件，進(jìn)一步改進(jìn)了三頻外差相位展開法，解出的絕對相位光滑無跳躍［14］。隨著研究的深入，涌現(xiàn)了很多有效的基于多頻外差原理的相位展開方法，但這些方法都或多或少增加了輔助條件，復(fù)雜程度有所增大。

本文針對投影雙頻條紋在根據(jù)外差原理進(jìn)行相位展開時絕對相位存在跳變性誤差的問題，利用解相過程已有的必要結(jié)論和結(jié)果，先解出條紋級數(shù)小數(shù)部分的計算值和實際值，再結(jié)合相位主值自身的誤差對相位展開算法進(jìn)行了改進(jìn)，以實現(xiàn)絕對相位校正。實驗結(jié)果表明，改進(jìn)的方法基本不增加額外的工作量，簡單可靠，可以較好地校正絕對相位的跳躍性誤差，具有實際應(yīng)用價值。

2 外差解相原理

投影雙頻光柵條紋根據(jù)外差原理進(jìn)行相位主值展開的方法的理論知識和公式推導(dǎo)過程參閱文獻(xiàn)［15］和［16］。

若設(shè)不同頻率光柵的條紋級數(shù)為ni，則可將條紋級數(shù)值分為整數(shù)部分N i與小數(shù)部分Δni相加，即有：

因此，若設(shè)各頻率條紋的相位主值為φi，則條紋級數(shù)的小數(shù)部分與相位主值有如下關(guān)系：

本文統(tǒng)一將相位主值解到[0，2π]區(qū)間。若設(shè)各頻率條紋的光柵節(jié)距為p i，則根據(jù)條紋疊柵特性可知疊柵后的條紋級數(shù)為同一級別，即其取值區(qū)間為[m，m+1]。則可分別求出兩種頻率投影光柵的條紋級數(shù)ni，n2如下式所示：

同理可解算另一個條紋級數(shù)。一般將解出的條紋級數(shù)進(jìn)行向下取整得到其整數(shù)部分，并作為周期次數(shù)進(jìn)行相位展開，得到：

式中θi為各頻率條紋的絕對相位值。

3 改進(jìn)方法的原理

3.1 投影圖案的相位初值設(shè)定

在不考慮實時測量的情況下，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先使用相移法提取相位主值。四步相移法具有提取相位主值精度高、實用性強等優(yōu)點［17-18］，因此本文采用四步相移法提取相位主值。

投影雙頻條紋圖案中，某一頻率下一組4幅相移圖案可用公式表示如下：

式中：γ∈Z，(m，n)表示圖案中的像點坐標(biāo)，I'(m，n)表示背景光強，I″(m，n)表示調(diào)制強度，θ(m，n)表示條紋圖案的相位場。

當(dāng)γ=0時，式（5）為通常的四步相移法，即投影的第一幅相移圖案的相位初值為零，提取相位主值后，利用外差原理展開相位不僅會出現(xiàn)跳躍性誤差，還會出現(xiàn)階梯現(xiàn)象，如圖1中藍(lán)線所示（彩圖見期刊電子版）；當(dāng)γ=?2時，投影的第三幅相移圖案的相位初值為零，提取相位主值后，利用外差原理展開的絕對相位僅出現(xiàn)了跳躍性誤差，如圖1中紅線所示，這是改進(jìn)方法需要解決的問題。因此，本文編制相移投影圖案時取γ=?2，即投影的第三幅相移圖案的相位初值為零。同時，利用四步相移法提取相位主值時要考慮反正切函數(shù)的象限問題，將相位主值的取值區(qū)間擴展到[0，2π]［19］。

圖1 相位初值對應(yīng)的絕對相位Fig.1 Absolute phase corresponding to phase initial value

3.2 調(diào)整周期次數(shù)非正常跳變

根據(jù)式（3），不妨設(shè)：

實際上，Δn12為雙頻條紋疊柵后形成的虛擬光柵的條數(shù)級數(shù)的小數(shù)部分。令：

同時，假設(shè)疊柵后的虛擬光柵相位場的初始值為零，即m=0。聯(lián)立式（6）和式（7），則式（3）可改寫為：

式中K為常量。根據(jù)相位展開公式（4）可知，需對條紋級數(shù)進(jìn)行向下取整操作，即：

式中符號［］表示向下取整運算。深入分析易知：理論上，當(dāng)虛擬條紋級數(shù)的小數(shù)部分Δn12為1K的整數(shù)倍時，即Δn12=c K，c=1，2，3，4…，N2會發(fā)生正常跳變，即隨著c變大，其逐步加1。但實際情況是，在理論值Δn12接近或等于c K時，由于誤差等影響，實際的Δn12值可能會發(fā)生變化，導(dǎo)致條紋級數(shù)的整數(shù)部分，即周期次數(shù)發(fā)生不正常的跳變，如圖2所示，最終的絕對相位也會出現(xiàn)跳躍性誤差。

圖2 周期非正常跳變示意圖Fig.2 Schematic diagram of abnormal periodic jump

根據(jù)式（2）和式（4）可知，理想環(huán)境下，利用外差原理解出的條紋級數(shù)的小數(shù)部分的計算值Δn2c應(yīng)與依據(jù)當(dāng)前相位主值計算出的小數(shù)部分的實際值Δn2r相等。小數(shù)部分的計算值為：

而實際上由于相位主值自身誤差等原因，兩者并不相等。根據(jù)以上分析可知，若周期次數(shù)發(fā)生向上或向下跳變，小數(shù)部分的計算值與實際值之差的絕對值必定會大于某一值，且此值與相位主值自身誤差緊密相關(guān)，可稱為閾值T。

若已知各頻率條紋的相位主值的自身誤差，各頻率條紋級數(shù)的小數(shù)部分可根據(jù)公式（2）算出，因此可將相位主值自身誤差轉(zhuǎn)化為小數(shù)部分誤差。設(shè)Δn1的誤差為δ1，Δn2的誤差為δ2，則Δn12的 誤 差 為(?δ1?δ2，δ1+δ2)，由 此 閾 值T為：

文獻(xiàn)［20］指出，未校正過的四步相移法提取相位主值的誤差不超過0.08 rad，且K值可根據(jù)光柵節(jié)距算出，則式（11）中所有量均為已知量。

綜上，調(diào)整周期非正常跳變的方法可歸納如下：

（1）若|Δn2r?Δn2c|

（2）若|Δn2r?Δn2c|≥T，且Δn2r?Δn2c>0，則周期次數(shù)出現(xiàn)向上跳躍，將此時周期次數(shù)值減一即可；

（3）若|Δn2r?Δn2c|≥T，且Δn2r?Δn2c≤0，則周期次數(shù)出現(xiàn)向下跳躍，將此時周期次數(shù)值加一即可。

根據(jù)上述分析可知，光柵節(jié)距較大的條紋的相位主值在利用外差原理直接展開時不容易出現(xiàn)跳躍性誤差。

4 實驗與結(jié)果分析

4.1 仿真實驗

為驗證改進(jìn)方法的正確性與可靠性，仿真了光柵節(jié)距分別為40 pixel和42 pixel的兩組四步相移條紋圖案，其分辨率為720×840 pixel。根據(jù)四步相移法分別提取出兩組各自的相位主值，如圖3所示（彩圖見期刊電子版）。

圖3 雙頻條紋的相位主值Fig.3 Phase principal values of dual-frequency fringes

作為對比，在原始相移圖中加入了不同的高斯噪聲，再利用雙頻外差原理展開相位主值，并使用本文提出的改進(jìn)方法校正絕對相位，判定閾值具體設(shè)為T=0.509，如圖4所示。

圖4 表示在不同均值和方差的高斯噪聲條件下3組實驗中絕對相位校正前后的分布情況。隨后，統(tǒng)計各組絕對相位圖中校正前后的跳躍性誤差像素數(shù)，如表1所示。

圖4 不同高斯噪聲下的絕對相位Fig.4 Absolute phases with different Gaussian noises

表1 跳躍性誤差點數(shù)Tab.1 Jumping error points

根據(jù)圖4和表1可以看出，改進(jìn)方法可極大程度地降低跳躍性誤差點數(shù)，校正率可到90%以上，且加入噪聲時也會改變相位主值的自身誤差，但改進(jìn)方法仍然表現(xiàn)出很好的校正結(jié)果，具有一定的抗噪性。

4.2 真實實驗

為驗證改進(jìn)方法的實際應(yīng)用價值，搭建了圖5所示的測量系統(tǒng)。圖像采集裝置為康耐視工業(yè)相機，投影裝置為騰聚DLP結(jié)構(gòu)光發(fā)生器，兩者光心相距約20 cm，投影裝置光心距離物體約40 cm。

圖5 雙頻投影條約相位展開改進(jìn)方法測量系統(tǒng)Fig.5 Measurement system for improved unwapping method of dual-frequency projection fringe

控制投影裝置投射與仿真實驗中設(shè)定值一樣的相移圖案于被測物表面，并使用相機同步采集，利用四步相移法提取相位主值的雙頻投影光柵需采集8幅圖像。以一個配油盤和一個法蘭襯套作為被測物。其中，測量配油盤時所采集到的兩種頻率各自的第一幅相移圖如圖6所示。根據(jù)四步相移法提取出兩種頻率條紋各自的相位主值，如圖7所示。

圖6 不同頻率的相移圖Fig.6 Phase shift images at different frequencies

圖7 不同頻率的相位主值圖Fig.7 Phase principal value images at different fre?quencies

利用外差原理展開相位主值，并用本文改進(jìn)方法進(jìn)行校正，閾值設(shè)定與仿真時一致，校正前后的絕對相位值如圖8所示。圖8（a）~和8（b）為配油盤校正前后的絕對相位值，取其相位圖中橫穿樣件中心的第1 500行數(shù)據(jù)進(jìn)行對比；圖8（c）和8（d）為法蘭襯套的法蘭面校正前后的絕對相位值，取其相位圖中橫穿樣件中心的第1 620行數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。

由圖8可知，未校正前絕對相位存在跳躍性誤差，而校正后展開的相位光滑無跳躍。使用標(biāo)定好的測量系統(tǒng)，利用校正后的相位解出配油盤和法蘭襯套的三維點云，分別如圖9和圖10所示。

圖8 校正前后的絕對相位值Fig.8 Absolute phase values before and after correction

圖9 配油盤元件的三維點云Fig.9 Three-dimensional pointcloud of oil distribution pan

圖9 是利用配油盤表面的相位場和測量系統(tǒng)定標(biāo)參量解出的三維點云數(shù)據(jù)，而圖10是依據(jù)法蘭襯套的法蘭面的相位值解出的三維點云數(shù)據(jù)，點云模型特征與元件表面的絕對相位息息相關(guān)。被測物三維點云曲面或平面的平整性也可說明校正后的相位跳躍性誤差得到了較好的抑制，改進(jìn)方法有效可靠。

圖10 法蘭襯套的三維點云Fig.10 Three-dimensional point cloud of flanged bushing

5 結(jié) 論

本文針對投影雙頻條紋利用外差原理展開相位主值時會出現(xiàn)跳躍性誤差的問題，基于解相過程，結(jié)合相位主值自身誤差為條紋級數(shù)的小數(shù)部分的計算值和實際值之差設(shè)定一閾值，進(jìn)而調(diào)整周期次數(shù)，消除非正常跳變。實驗結(jié)果表明，在一定噪聲和實際環(huán)境下，改進(jìn)方法對絕對相位跳躍性誤差的校正率可以達(dá)到90%以上，滿足實際應(yīng)用需求。

然而，投影雙頻光柵由于疊柵要求存在測量范圍狹窄和投影條紋過粗等缺陷，后續(xù)會針對該問題展開進(jìn)一步研究。