黃亞，周建旭

(河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇 南京 210098)

水泵全特性曲線完整地體現(xiàn)了水泵在任意可能運(yùn)行條件下的流量特性和能量特性，包括可能出現(xiàn)的水輪機(jī)工況、泵制動工況、泵工況和反轉(zhuǎn)制動工況的運(yùn)行特性和過渡特性，是數(shù)值模擬分析水泵系統(tǒng)水力過渡過程所必需的重要邊界條件[1]，即水泵全特性曲線為水泵系統(tǒng)水力過渡過程分析、泵站設(shè)計(jì)和停泵水錘的計(jì)算分析提供了重要的數(shù)據(jù)支撐，其精度直接影響模擬與分析管路水力瞬變現(xiàn)象，對供水系統(tǒng)的穩(wěn)定與安全具有重要意義[2-5].通常，水泵全特性曲線由水泵生產(chǎn)廠家提供，生產(chǎn)廠家又是從模型試驗(yàn)得到，利用相似律，將模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)按相似率換算為真機(jī)數(shù)據(jù)，得到水泵的全特性曲線[6].由于水泵全特性曲線試驗(yàn)條件極為復(fù)雜，全特性數(shù)據(jù)難以獲取，故利用已有的水泵全特性曲線數(shù)據(jù)，通過擬合分析來獲取某一型號水泵的全特性數(shù)據(jù)，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[7].

目前國內(nèi)外對水泵全特性曲線的預(yù)測方法基本上都是基于Suter曲線的預(yù)測分析.預(yù)測方法可以分為2類：一是在二維坐標(biāo)下采用數(shù)學(xué)變換進(jìn)行處理；二是在三維空間下利用曲面擬合進(jìn)行處理.劉竹溪等[8]由實(shí)測的水泵全面性能曲線提出了利用三次多項(xiàng)式的擬合建立通用模型.朱滿林等[7]、邵衛(wèi)云等[9]用最小二乘法建立了離心泵全特性曲線二元線性回歸預(yù)測模型，該預(yù)測模型可認(rèn)為是在二維坐標(biāo)下的數(shù)學(xué)變換.劉光臨等[10]運(yùn)用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法預(yù)測了水泵全特性曲線.胡曉陽等[11]利用Matlab建立三維模型預(yù)測水泵全特性曲線.隨著計(jì)算流體動力學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，也有很多學(xué)者開始采用CFD數(shù)值分析方法對水泵性能進(jìn)行研究.歐鳴雄等[12]基于Realizablek-ε湍流模型預(yù)測射流泵性能曲線，但是這些方法都過于復(fù)雜.文中采用牛頓插值方法，利用現(xiàn)有的水泵資料預(yù)測任意比轉(zhuǎn)數(shù)水泵的全特性曲線，方法簡單，便于數(shù)值計(jì)算.同時，考慮到一般水泵廠家會提供水泵基本特性數(shù)據(jù)，在采用比轉(zhuǎn)數(shù)作為自變量來預(yù)測水泵全特性曲線的基礎(chǔ)上，充分利用水泵的基本特性數(shù)據(jù)來修正水泵全特性曲線，以進(jìn)一步提高水泵全特性預(yù)測分析和泵系統(tǒng)過渡過程計(jì)算分析的精度.

1 水泵全特性曲線預(yù)測

水泵全特性曲線為水泵機(jī)組在任意可能的運(yùn)行工況下，結(jié)合水泵揚(yáng)程H、流量Q、轉(zhuǎn)速n等參數(shù)，繪制出的水泵實(shí)際運(yùn)行工況中各參數(shù)的變化規(guī)律，包括水泵工況、水泵制動工況、水輪機(jī)工況、水輪機(jī)制動工況.當(dāng)水泵正常工作時，水泵揚(yáng)程、流量、轉(zhuǎn)速、功率都取為正值，即為水泵工況.

水泵全特性曲線是在流量和轉(zhuǎn)速的坐標(biāo)系中表示出水泵所有的運(yùn)行工況和可能的過渡工況，以及這些工況下各工作參數(shù)關(guān)系的曲線，并繪出水泵揚(yáng)程等值線和力矩等值線.水泵全特性曲線可直接應(yīng)用于水錘的圖解計(jì)算分析，比較直觀、簡便，但是由于這種水泵全特性曲線涉及的參量較多，曲線復(fù)雜，難以用數(shù)學(xué)式解析表達(dá)，不能直接應(yīng)用于水泵過渡過程的數(shù)值計(jì)算分析.1965年，MARCHAL等[13]根據(jù)泵的相似原理，通過數(shù)值換算的方法提出新坐標(biāo)體系，將水泵四象限特性在[0,2π]區(qū)間內(nèi)變換為2條無因次曲線，該方法物理意義明確且利于數(shù)學(xué)描述，即將水泵參數(shù)全部換算為量綱為一的參數(shù).

(1)

式中：T為水泵的轉(zhuǎn)矩；下標(biāo)R表示額定工況下的參數(shù).

基于上述參數(shù)，提出新的坐標(biāo)系為

(2)

采用新的坐標(biāo)系，水泵全特性曲線轉(zhuǎn)化成便于水泵系統(tǒng)過渡過程計(jì)算分析的表達(dá)形式，在保證數(shù)值計(jì)算精度的前提下，MARCHAL將Suter曲線離散分成88段，共89個數(shù)據(jù)點(diǎn)，作為反映水泵流量特性和能量特性的離散數(shù)據(jù)，應(yīng)用于水泵系統(tǒng)過渡過程的數(shù)值計(jì)算分析，確定水泵的瞬態(tài)參數(shù)時采用直線代替兩點(diǎn)之間的全特性曲線進(jìn)行插值計(jì)算.

1.1 全特性曲線預(yù)測方法

預(yù)測不同比轉(zhuǎn)數(shù)水泵全特性曲線的數(shù)值方法和數(shù)學(xué)模型較多，最常用的水泵全特性曲線的預(yù)測擬合方法是采用拉格朗日方法或者多項(xiàng)式擬合.當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增減時擬合計(jì)算全部要重新進(jìn)行，特別是當(dāng)前期插值的水泵全特性曲線初始數(shù)據(jù)比較多，后期又加入一些基礎(chǔ)數(shù)據(jù)時，采用上述擬合方法則需要重新計(jì)算，計(jì)算量大且不方便.因此文中采用牛頓插值多項(xiàng)式來推求不同比轉(zhuǎn)數(shù)下的水泵全特性曲線，當(dāng)后期加入擬合分析的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)時，根據(jù)牛頓插值方法的特性，不用重新擬合計(jì)算，可直接計(jì)算均差，修正預(yù)測值，減少計(jì)算量.

1.1.1 牛頓插值方法

牛頓插值多項(xiàng)式中包含了函數(shù)的均差.定義函數(shù)f(x)的k階均差為

f[x0,x1, …,xk]=

(3)

均差有如下的基本性質(zhì)

1)k階均差可表示為函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合，即

(4)

這個性質(zhì)可以表明，均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，稱為均差的對稱性，即

f[x0,x1, …,xk]=f[x1,x0,x2, …,xk]=

…=f[x1,…,xk,x0].

(5)

2)由均差定義和性質(zhì)(1)可以得到

f[x0,x1, …,xk]=

(6)

為了便于計(jì)算節(jié)點(diǎn)的均差，可以采用表1的均差表.

表1 均差表

當(dāng)n=1時，記此時線性插值多項(xiàng)式為P1(x)，它滿足條件P1(x0)=f(x0),P1(x1)=f(x1)，則P1(x)可以表示為

(7)

可認(rèn)為零次插值P0(x0)=f(x0)，同時聯(lián)立式(3)和式(7)，則n=1情況下的插值多項(xiàng)式可表示為

P1(x)=P0(x)+f[x0,x1](x-x0)=

f(x0)+f[x0,x1](x-x0).

(8)

同理可得n=2情況下的二次多項(xiàng)式為

P2(x)=P1(x)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)=

f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+

f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1).

(9)

根據(jù)均差定義節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xk∈[a,b]，將x看成[a,b]上一點(diǎn)，可得

f(x)=f(x0)+f[x,x0](x-x0),

f[x,x0]=f[x0,x1]+f[x,x0,x1](x-x1),

?

f[x,x0,…,xn-1]=f[x0,x1,…,xn]+f[x,x0,…,xn](x-xn),

(10)

將式(10)中后式依此代入前式就可以得到

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2]·

(x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn]·

(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)+f[x,x0,x1,…,xn]ωn+1(x)=Pn(x)+Rn(x),

(11)

式中:

Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2]·

(x-x0)(x-x1)+…+f[x0,x1,…,xn]·

(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1),

(12)

Rn(x)=f[x,x0,x1,…,xn]ωn+1(x),

(13)

稱Pn(x)為牛頓均差插值多項(xiàng)式.

1.1.2 牛頓插值法預(yù)測水泵全特性曲線

基于實(shí)測的對應(yīng)特征比轉(zhuǎn)數(shù)的水泵全特性曲線，利用牛頓均差插值多項(xiàng)式就可以來推求任意比轉(zhuǎn)數(shù)的水泵全特性曲線.目前已知的實(shí)測的水泵全特性曲線由霍蘭特試驗(yàn)得到的比轉(zhuǎn)數(shù)為25，147，261的Suter曲線[14]，轉(zhuǎn)換為國家標(biāo)準(zhǔn)比轉(zhuǎn)數(shù)表達(dá)式，則比轉(zhuǎn)數(shù)分別為91.25，536.55，952.65，如圖1所示.

圖1 實(shí)測3種比轉(zhuǎn)數(shù)的水泵全特性曲線

利用這3條實(shí)測的全特性曲線就可以計(jì)算其比轉(zhuǎn)數(shù)的一階、二階均差，從而可以用牛頓插值方法預(yù)測出其他比轉(zhuǎn)數(shù)的水泵Suter曲線.為了方便計(jì)算，可列計(jì)算表如表2所示.

表2 WH曲線插值均差表

通過表中數(shù)據(jù)就可以得到水泵比轉(zhuǎn)數(shù)為NS的全特性WH曲線值為

WH(x)=WH1(x)+f[NS1,NS2](NS-NS1)+

f[NS1,NS2,NS3](NS-NS1)(NS-NS2),

(14)

同理可得全特性WB曲線為

WB(x)=WB1(x)+f[NS1,NS2](NS-NS1)+

f[NS1,NS2,NS3](NS-NS1)(NS-NS2).

(15)

考慮到后期增加不同特征比轉(zhuǎn)數(shù)水泵全特性曲線數(shù)據(jù)的可能性，假定預(yù)測樣本數(shù)據(jù)增加1條比轉(zhuǎn)數(shù)為NS4的全特性曲線，根據(jù)式(14)和式(15)可得精度更高的WH*，WB*曲線，如下式所示.

WH*(x)=WH(x)+f[NS1,NS2,NS3,NS4](NS-NS1)(NS-NS2)(NS-NS3),

(16)

WB*(x)=WB(x)+f[NS1,NS2,NS3,NS4](NS-NS1)(NS-NS2)(NS-NS3).

(17)

1.2 全特性曲線的修正

由水泵銘牌可知水泵的額定流量QR，額定水頭HR，額定效率ηR和額定轉(zhuǎn)速NR.根據(jù)試驗(yàn)獲取基本特性曲線的前提條件，水泵轉(zhuǎn)速N=NR，由式(1)可得水泵Suter曲線中量綱為一的轉(zhuǎn)速α=1，則式(2)中Suter曲線坐標(biāo)系變成式(18)

(18)

(19)

從而得到Suter曲線量綱為一的轉(zhuǎn)矩為

(20)

經(jīng)過算例分析表明，水泵基本特性曲線中流量與效率Q-η曲線中第1個點(diǎn)(Q1,η1)為原點(diǎn)，即Q1=0,η1=0，不能直接代入式(20).因此需要轉(zhuǎn)化式(20)，將軸功率P=Tω代入式(20)中可得

(21)

通過讀取水泵基本特性流量與軸功率Q-P曲線中Q=0時的P值，代入式(21)中就可以反演計(jì)算得到Suter曲線中的第1個數(shù)據(jù)點(diǎn)，或者將反演計(jì)算得到的Suter曲線作圖延伸出第1個點(diǎn).

由于式(21)中讀取P值時，水泵基本特性流量與軸功率Q-P曲線中P值絕對值較大，網(wǎng)格刻度相對較大，容易給讀數(shù)帶來較大的誤差，因此除了第1個點(diǎn)推薦使用式(21)，計(jì)算Suter曲線上其他數(shù)據(jù)點(diǎn)時，用式(20)相對比較精確.因?yàn)樗没咎匦郧€是廠家針對某一特定型號的水泵通過試驗(yàn)獲得的，相對于預(yù)測的同一輪系比轉(zhuǎn)數(shù)相等的Suter曲線而言，反演計(jì)算并且修正得到的Suter曲線更精確，能夠準(zhǔn)確地揭示水泵正常運(yùn)行工況下的水力特性.

2 算例驗(yàn)證分析

某一泵系統(tǒng)工程中，管路凈揚(yáng)程為45 m，總長為28.6 km.管道糙率為0.012，水泵的比轉(zhuǎn)數(shù)為219，水泵額定流量為15 m3/s，額定揚(yáng)程為60 m，額定轉(zhuǎn)速為333 r/min.系統(tǒng)布置簡圖見圖2.

圖2 泵系統(tǒng)布置簡圖

結(jié)合圖2所示的泵系統(tǒng)工程，計(jì)算分析工況包括：

1)正常運(yùn)行工況.

2)抽水?dāng)嚯姽r.水泵額定轉(zhuǎn)速下正常運(yùn)行，突然事故斷電停機(jī).

2.1 牛頓插值結(jié)果分析

分別采用拉格朗日插值和牛頓插值方法擬合計(jì)算得到水泵Suter曲線，如圖3所示，分別采用相應(yīng)的水泵全特性擬合曲線作為水泵邊界條件計(jì)算分析泵系統(tǒng)的水力過渡過程.

圖4為正常運(yùn)行工況下從取水口到出口水庫的管道測壓管水頭線，圖中NL為位置編號.圖5給出了抽水?dāng)嚯姽r下水泵出口測壓管水頭和流量的變化曲線.

圖4 水泵工況正常運(yùn)行時管線測壓管水頭

圖5 事故掉電工況水泵出口測壓管水頭和流量

圖3分析表明：基于考慮二階均差的牛頓二次插值的水泵全特性曲線與拉格朗日插值得到的曲線一致，而僅考慮一階均差的牛頓一次插值曲線局部存在較小的偏差.

圖3 不同插值方法下的水泵Suter預(yù)測曲線

由圖4，5可看出：水泵在正常運(yùn)行和事故掉電2種工況下，不同方法計(jì)算得到的管道沿程測壓管水頭線幾乎重合，水泵出口測壓管水頭和抽水流量的動態(tài)過程線規(guī)律一致，偏差很小.其中拉格朗日插值方法與運(yùn)用二階均差的牛頓二次插值方法得到的結(jié)果一致，與運(yùn)用一階均差的牛頓一次插值方法得到的穩(wěn)態(tài)沿程水頭相差最大為0.09 m，瞬態(tài)水泵出口水頭相差最大不超過1.94 m，流量相差最大為0.38 m3/s.由于目前大多數(shù)泵系統(tǒng)工程在計(jì)算水力過渡過程中所使用的水泵Suter曲線都是通過拉格朗日方法得到，因此對比圖3,4中的基于拉格朗日算法的分析表明，基于牛頓插值算法得到的水泵全特性數(shù)據(jù)是可靠的.因在牛頓插值算法中，均差與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，可認(rèn)為牛頓插值方法具有承襲性，隨著預(yù)測的數(shù)據(jù)資料的增加，可在原來計(jì)算的基礎(chǔ)上依次加上均差多項(xiàng)式，不用重新計(jì)算.相對于拉格朗日算法，牛頓插值算法得到的水泵全特性Suter曲線的修正更加方便，數(shù)據(jù)的計(jì)算量更少.

2.2 基于牛頓插值的反演修正結(jié)果分析

利用水泵已有的基本特性曲線反演計(jì)算得到的Suter曲線中水泵正常運(yùn)行工況下的數(shù)據(jù)點(diǎn)，替換相應(yīng)工況區(qū)原擬合數(shù)據(jù)，得到圖6所示的水泵Suter曲線.

圖6 插值預(yù)測與局部修正后的水泵Suter曲線

在水泵基本特性曲線上繪制供水工程管路特性曲線得到水泵的工作點(diǎn)，如圖7a所示，分別考慮修正后和修正前的水泵Suter曲線作為邊界條件，采用一維特征線法計(jì)算分析泵系統(tǒng)正常運(yùn)行時水泵的參數(shù)，包括水泵的抽水流量和抽水揚(yáng)程，在圖上標(biāo)示如圖7b所示.

通過分析圖6和圖7表明：根據(jù)水泵基本特性曲線修正后的Suter曲線，在正常水泵工況區(qū)間的數(shù)據(jù)與用牛頓插值得到的擬合值存在一定的偏差.由于水泵基本特性曲線通過試驗(yàn)獲取，經(jīng)過數(shù)值變換修正后的水泵Suter曲線數(shù)據(jù)較修正前更準(zhǔn)確地模擬水泵的實(shí)際特性.圖7b可以清晰地表明，分別考慮修正前后的水泵Suter曲線，數(shù)值計(jì)算水泵穩(wěn)態(tài)時得到的工作點(diǎn)，對應(yīng)的運(yùn)行參數(shù)存在明顯的偏差.

圖7 基于修正前/后Suter曲線的水泵工作點(diǎn)圖解分析

3 結(jié) 論

1)基于考慮二階均差的牛頓插值算法預(yù)測水泵Suter曲線與拉格朗日插值結(jié)果一致，表明基于牛頓插值算法的水泵全特性曲線預(yù)測方法是合理可靠的，而且牛頓插值算法的特性便于后續(xù)增加樣本曲線的修正.

2)依據(jù)試驗(yàn)獲得的水泵基本特性曲線，進(jìn)一步反演修正水泵Suter曲線中水泵工況區(qū)的水力特性，以更準(zhǔn)確地模擬水泵的實(shí)際特性.利用修正后的水泵Suter曲線進(jìn)行水泵工況的穩(wěn)態(tài)數(shù)值計(jì)算，更接近于水泵基本特性曲線圖解法得到的結(jié)果.

3)考慮牛頓插值算法的水泵全特性曲線預(yù)測方法，并利用水泵基本特性曲線來修正水泵全特性曲線的水泵工況區(qū)數(shù)據(jù)，可以提高泵系統(tǒng)水泵穩(wěn)態(tài)計(jì)算工作點(diǎn)精度，并較準(zhǔn)確地反映水泵全工況的流量特性和能量特性，提高泵系統(tǒng)過渡過程計(jì)算分析的精度.