王喜秋

人教版二年級數(shù)學(xué)上冊《數(shù)學(xué)廣角（排列組合）》是教學(xué)研討中廣為展示的一節(jié)課。在優(yōu)質(zhì)課比賽中，一位青年教師所講的這節(jié)課在一些環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和處置方面引起了聽課教師的爭論，出現(xiàn)了在廣義數(shù)學(xué)、學(xué)生認(rèn)知范圍、生活實(shí)際等層面不同答案如何處理的問題。為此，筆者想到了教學(xué)設(shè)計(jì)的“聚焦”問題。

先來說說這節(jié)課引起爭議的問題。第一個問題在課的引入環(huán)節(jié)：“行李箱密碼鎖的密碼是由1和2組成的兩位數(shù)，密碼是幾？”學(xué)生回答：“12和21?！苯處熣J(rèn)可之后說：“還可能是11和22?！睂τ诮處熖岢龅暮髢蓚€答案，學(xué)生有些迷惑，聽課教師對這個引導(dǎo)也有爭議。第二個問題在新知探究后的鞏固環(huán)節(jié)：“車子的尾號是由0、2、5組成的兩位數(shù)，并且是可能出現(xiàn)的結(jié)果中從小到大的第三個數(shù)。車子的尾號是什么？”課堂上出現(xiàn)了三種答案：05、20、50。授課教師沒有想到會出現(xiàn)這種情況，聽課教師和學(xué)生對授課教師給出的答案50也沒有信服。

為了以這節(jié)課出現(xiàn)的問題為例來說清楚教學(xué)設(shè)計(jì)中的“聚焦”問題，筆者先通過兩道題來說說排列和組合的相關(guān)知識。

例題一：有從1到9共9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？解答：123和213是兩個不同的三位數(shù)，對排列順序有要求，這屬于排列數(shù)的計(jì)算范疇。這個問題中，組一個數(shù)時任何一個號碼球只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988、998之類的組合。我們可以這樣想，百位數(shù)字有9種可能，十位數(shù)字就只有9-1=8種可能，個位數(shù)字應(yīng)該只能有9-1-1=7種可能了。根據(jù)分步計(jì)數(shù)的原理，最終共有9×8×7=504個三位數(shù)。

回到課引入環(huán)節(jié)的問題：“行李箱密碼鎖的密碼是由1和2組成的兩位數(shù)，密碼是幾？”聯(lián)系使用行李箱密碼的情境，每個位置有很多數(shù)字，的確可以出現(xiàn)11、22之類的數(shù)。按照這樣的情境設(shè)計(jì)出了下題。

例題二：行李箱的密碼由三位數(shù)組成，每一位都有0到9十個數(shù)字，那么行李箱一共可以設(shè)置出多少個不同的密碼？解答：這道題對排列順序有要求，顯然是排列問題，但是這道題的情境與題一不同。題一中，九個號碼球百位用了，十位和個位就用不了了，也就意味著不同數(shù)位上可以選擇的可能性不同。而題二的情境中，組出的數(shù)在百位、十位、個位可以有重復(fù)的數(shù)字，所以每個數(shù)位都有10種可能，能組成的三位密碼數(shù)有10×10×10=1000個。

有了上面兩道排列組合題目及解題說明，下面來談一談教學(xué)設(shè)計(jì)中的聚焦問題。

一方面，教學(xué)設(shè)計(jì)要聚焦教材的編寫目的。引入環(huán)節(jié)中“行李箱密碼鎖的密碼是由1和2組成的兩位數(shù)，密碼是幾？”的問題，答案不必引向11和22。不但不要引向11和22，而且要設(shè)置“路障”，擋著11和22這樣的答題是在排除某一個元素重復(fù)出現(xiàn)的問題。如：“用1、2和3組成兩位數(shù)，每個兩位數(shù)的十位數(shù)和個位數(shù)不能一樣，能組成幾個兩位數(shù)？”“用三種顏色給地圖上的兩個城區(qū)涂上不同的顏色?！币陨隙际菑?qiáng)調(diào)排列的元素不重復(fù)使用。在不重復(fù)的情況下才有了規(guī)律，才更容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。所以，密碼鎖的情境不建議在二年級課堂中出現(xiàn)，而應(yīng)在學(xué)生理解和掌握了排列組合的基本思想方法之后，再靈活解決紛繁復(fù)雜的實(shí)際問題。

為什么在小學(xué)二年級設(shè)計(jì)排列組合這樣的內(nèi)容，是為了掌握定義和公式嗎？顯然不是的。這節(jié)課屬于小學(xué)數(shù)學(xué)之“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中“探索規(guī)律”板塊，這一板塊的編排目的是讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”。而這節(jié)課是要通過解決生活中排列組合之類的實(shí)際問題體會有序思考的好處，習(xí)得有序思考的方法，提高全面思考的意識和能力。整節(jié)課是要在解決問題的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，學(xué)生要經(jīng)歷的是分析問題、解決問題、得到方法的全過程，是一次探索發(fā)現(xiàn)之旅。

明確了教材安排這部分內(nèi)容的意圖，就明白為什么教材中強(qiáng)調(diào)“每個兩位數(shù)的十位數(shù)和個位數(shù)不能一樣”“兩個城區(qū)涂上不同的顏色”，這是由數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)所決定的，是在規(guī)避一個元素重復(fù)出現(xiàn)。所以，教師在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中要聚焦教材的編寫目的，規(guī)避一個元素的重復(fù)使用，之后才能幫助學(xué)生開啟有序思考、全面思考的探索之旅。

另一方面，教學(xué)設(shè)計(jì)要聚焦教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生通過解決簡單的數(shù)學(xué)排列問題，培養(yǎng)學(xué)生有序、全面思考問題的意識?；谶@個目標(biāo)，引入環(huán)節(jié)問題的選擇、例題的處置、練習(xí)的設(shè)計(jì)都要仔細(xì)斟酌、取舍。本節(jié)課的引入環(huán)節(jié)可以是從兩個元素中選出兩個元素的排列，但要規(guī)避一個元素重復(fù)使用的問題;探索環(huán)節(jié)應(yīng)該是從三個元素中選出兩個元素的排列問題，這個環(huán)節(jié)是有序思維、全面思考意識和能力形成的關(guān)鍵階段;練習(xí)階段可以延伸到四個元素中選出兩個元素的排列問題，但不是必須要延伸，把從三個元素中選出兩個元素的排列問題練到位即可。

教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該聚焦教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成，從這個角度上看，這節(jié)課上鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)的那個題目設(shè)計(jì)顯然是失敗的?！败囎拥奈蔡柺怯?、2、5組成的兩位數(shù)，并且是可能出現(xiàn)的結(jié)果中從小到大的第三個數(shù)。車子的尾號是什么？”這道練習(xí)題首先是難度大，要排列出所有情況，還要排序得出答案，作為第一課時的初步練習(xí)來說難度太大。其次，這個問題情境會引起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知沖突。按照車號數(shù)字這樣的實(shí)際生活場景，有個別學(xué)生排出了“02、05、20、25、50、52”這樣的答案，排在第三個的是20。當(dāng)這個學(xué)生講出自己的想法時，有學(xué)生還補(bǔ)充了車號00，認(rèn)為排在第三個的是05。這是按照車號出現(xiàn)的實(shí)際生活場景思考的結(jié)果，因?yàn)?1號、02號這樣的生活經(jīng)驗(yàn)學(xué)生是有的。多數(shù)學(xué)生排出的兩位數(shù)是20、25、50、52，認(rèn)為排在第三個的數(shù)是50。這顯然是基于他們二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知邏輯排出來的，因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)使他們認(rèn)識到，十位上的數(shù)是0就要省了不寫，所以他們刪掉了00、02、05這三種情況。這道練習(xí)題讓學(xué)生思維混亂，妨礙了教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。所以，這道練習(xí)題可以修改為：“用0、2、5組出個位數(shù)字和十位數(shù)字不同的兩位數(shù)，一共可以組出多少個？”這樣的練習(xí)題才有助于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

綜上所述，教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時要聚焦教材的編寫目的來制定教學(xué)目標(biāo)，更要聚焦教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成來進(jìn)行引入環(huán)節(jié)、探究環(huán)節(jié)和鞏固提升環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)。畢竟，好的教學(xué)設(shè)計(jì)是上好課的前提。

（責(zé)編 馬孟賢）