淺論如何在函數(shù)教學(xué)中運(yùn)用作圖法來(lái)強(qiáng)化理解

唐春曦

【摘要】“描點(diǎn)法”作圖是探究函數(shù)圖象的基本手段。本文擬通過(guò)作圖法來(lái)探究函數(shù)的基本性質(zhì)，以質(zhì)作圖，以圖辨質(zhì)，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到圖象與函數(shù)性質(zhì)之間相輔相成、互相滲透，以幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);作圖;了解;理解;深化

一、引言

函數(shù)模型來(lái)源于生活，因此它可以解決生活中的很多實(shí)際問(wèn)題。正因?yàn)楹瘮?shù)模型的實(shí)用性，所以函數(shù)教學(xué)歷來(lái)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。函數(shù)教學(xué)目的是探索具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及其變化規(guī)律，進(jìn)而運(yùn)用函數(shù)模型進(jìn)行知識(shí)描述和問(wèn)題解決。簡(jiǎn)而言之，函數(shù)教學(xué)目標(biāo)有二：一是能力目標(biāo)，二是情感目標(biāo)。前者的要求主要是能選擇及處理數(shù)學(xué)信息，能做出合理推斷或大膽猜測(cè)，能結(jié)合具體情境發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，能初具數(shù)形結(jié)合、分段函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，能嘗試從不同角度有效解決問(wèn)題。后者的要求是能樂(lè)于接受生活數(shù)學(xué)信息，能積極參與數(shù)學(xué)討論，能發(fā)表個(gè)人數(shù)學(xué)觀點(diǎn)并從中獲益。函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)是通過(guò)創(chuàng)設(shè)探索情境來(lái)強(qiáng)化數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活之聯(lián)系，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生函數(shù)思維模式并運(yùn)用這種模式來(lái)解決具體問(wèn)題。

函數(shù)教學(xué)難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想，意即引導(dǎo)他們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而運(yùn)用該模型來(lái)解決具體問(wèn)題。概言之，函數(shù)教學(xué)對(duì)于“教”“學(xué)”雙方都要求甚高，因此對(duì)于基礎(chǔ)相對(duì)薄弱并存在一定語(yǔ)言障礙的學(xué)生而言，往往是一道較為難以跨越的坎。針對(duì)上述情況，我們的教學(xué)策略應(yīng)該如何制定呢？我們是否可以如此設(shè)想：先把能力目標(biāo)降低，讓學(xué)生先在理解層面強(qiáng)化函數(shù)模型，進(jìn)而漸次逼近教學(xué)目標(biāo)。我想，答案是肯定的。因此，如何通過(guò)轉(zhuǎn)變方式來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就成了我們亟待解決的問(wèn)題。毫無(wú)疑問(wèn)，作圖法在提升學(xué)生注意力及其興趣方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。換言之，作圖法的趣味性是不言而喻的。在作圖過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生觀感豐富的圖形和線條，學(xué)生在這種反復(fù)重構(gòu)過(guò)程中會(huì)高度激發(fā)想象力并不斷領(lǐng)略到各種圖象魅力，從而引領(lǐng)他們不斷探索，不斷尋找，以至發(fā)現(xiàn)相關(guān)規(guī)律。與此同時(shí)，學(xué)生在這種主動(dòng)探究的過(guò)程中亦能輕松掌握基本函數(shù)性質(zhì)。如果我們?cè)诮虒W(xué)中繼續(xù)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生必能以形知質(zhì)，以質(zhì)推形，久而久之，他們對(duì)函數(shù)性質(zhì)的掌握必有一個(gè)質(zhì)的飛躍。在下文中，本人擬就基礎(chǔ)薄弱學(xué)生如何學(xué)有所得及教師如何教得其所這兩個(gè)方面來(lái)試論一下作圖法在其中所發(fā)揮的作用。

二、通過(guò)作圖法幫助學(xué)生掌握函數(shù)性質(zhì)（以反比例函數(shù)為例）

眾所周知，“描點(diǎn)法”步驟不繁，操作簡(jiǎn)單，一般情況下僅需列表、描點(diǎn)、連線這三個(gè)步驟即可，但學(xué)生卻可以通過(guò)這些簡(jiǎn)單的步驟作出非常豐富的函數(shù)圖象，因此學(xué)生并不用竭盡腦汁去理解繁復(fù)的抽象文字性。可以說(shuō)，正因?yàn)椤懊椟c(diǎn)法”的簡(jiǎn)單明了，所以它才成了探究函數(shù)圖象的基本方法。未知和簡(jiǎn)易可以很好地激發(fā)學(xué)生的求知欲。同時(shí)不同的圖象變化也可以讓學(xué)生很好地感受到函數(shù)圖象的動(dòng)態(tài)美和形態(tài)美。所以，在教育教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)于圖象性質(zhì)的探索，我們不應(yīng)該操之過(guò)急，可以先安排一節(jié)課讓學(xué)生盡情投入在作圖過(guò)程中，讓學(xué)生在自主操作中充分感受函數(shù)圖象的多樣性以及變化的規(guī)律性，讓學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象有一個(gè)基本的認(rèn)知。當(dāng)學(xué)生對(duì)類似函數(shù)圖象有了基本認(rèn)知之后，我們?cè)僖龑?dǎo)他們?nèi)ヌ剿髌浠拘再|(zhì)，就自然而然水到渠成了。比如，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們可以將其分成三個(gè)課時(shí)：第一課時(shí)，讓學(xué)生盡情感知反比例函數(shù)圖象的豐富多彩，通過(guò)k觀察值變化，讓學(xué)生充分感受k值跟反比例函數(shù)圖象之間的關(guān)系;第二課時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生去觀察和發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的規(guī)律，找出他們的異同點(diǎn)，歸納出反比例函數(shù)的性質(zhì);第三課時(shí)，深化知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，如，坐標(biāo)與圖象間的轉(zhuǎn)化，學(xué)會(huì)運(yùn)用k值判斷圖象位置，并會(huì)通過(guò)圖象和性質(zhì)求常數(shù)k的取值范圍，學(xué)會(huì)畫反比例函數(shù)圖象的草圖，通過(guò)草圖比較函數(shù)值大小，|k|的幾何意義等等。結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，然后通過(guò)這樣一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，讓學(xué)生感受到知識(shí)點(diǎn)的探索和深入是一件很有趣的事情，同時(shí)也能讓學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的理解能夠更加深入透徹。

因此，對(duì)于函數(shù)圖象性質(zhì)了解的第一個(gè)突破點(diǎn)就是作圖。我們可以通過(guò)情景設(shè)置，讓學(xué)生明確自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（一）第一課時(shí)：經(jīng)歷作圖的過(guò)程

探究1：請(qǐng)作反比例函數(shù)y=? ? 的圖象。

解：（1）列表：（提示：自變量x的取值通常是從小到大，最好便于計(jì)算）

x ... 1 2 4 8 ...

y=

（2）描點(diǎn)：

（3）連線：

探究2：試作反比例函數(shù)y=? ? ?的圖象。

解：（1）列表：（提示：自變量的取值通常是從小到大，最好便于計(jì)算）

x ... 1 2 4 8 ...

y=

（2）描點(diǎn)：

（3）連線：

鞏固練習(xí)：

請(qǐng)你在同一直角坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)y=? ? ?和? ? ? ?y=? ? ?的圖象。

人人過(guò)關(guān)，課后作業(yè)都可以通過(guò)改變值讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷作圖過(guò)程。

（二）第二課時(shí)：觀察上節(jié)課畫出的反比例函數(shù)的圖象，歸納性質(zhì)：

探究一：當(dāng)k>0時(shí)：

你發(fā)現(xiàn)：

①反比例函數(shù)y=? ? ?和y=? ? ?的圖象是直線、折線還是曲線？

②一共有幾支？分布在哪個(gè)象限？

③在每一個(gè)象限內(nèi)，圖象的增減性如何變化？

探究二：當(dāng)k<0時(shí)：

你的發(fā)現(xiàn)：

①當(dāng)常數(shù)k取-4或-6時(shí)，該反比例函數(shù)的圖象是直線、折線還是曲線？