如何正確運用χ2檢驗——高維表資料優(yōu)勢比分析與SAS實現(xiàn)

胡純嚴 ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

為了分析來自病例對照研究設計的g×2×2表資料，需要完成以下4項任務：其一，檢驗各層2×2表資料的優(yōu)勢比是否滿足齊性；其二，估計共同優(yōu)勢比的數(shù)值；其三，估計共同優(yōu)勢比的置信區(qū)間；其四，檢驗共同優(yōu)勢比是否等于1。本文將對后三項任務有關內容進行介紹。

1 高維表資料共同優(yōu)勢比分析的基本概念

1.1 高維表g×2×2表的表達模式

設高維表g×2×2表的表達模式如下，見表1。

表1 病例對照研究設計下g×2×2表的第h層2×2表資料的表達模式

1.2 高維表資料共同優(yōu)勢比的含義

在分析“病例對照研究設計”的二維表資料時，可以很方便地依據(jù)公式“OR=ad/bc”計算出優(yōu)勢比OR的數(shù)值。然而，對于“g×2×2表資料”，卻無法直接計算出OR的數(shù)值。從概念上來說，似乎可以采取某種舉措，將“g×2×2表資料”降維或壓縮成一個“2×2表資料”。但事實上，這種理想的“2×2表資料”是無法直接呈現(xiàn)出來的。于是，統(tǒng)計學家通過統(tǒng)計學方法來體現(xiàn)出各層“2×2表資料”之間的“微小差別”，這就是求出各層“2×2表資料”的“權重系數(shù)wh”。通過它將各層“2×2表資料”進行加權平均，從而間接獲得合并后的優(yōu)勢比OR的數(shù)值。在SAS/STAT的FREQ過程中，將其稱為“common odds ratios”［1］，常譯成“共同或普通或合并優(yōu)勢比”。

1.3 估計共同優(yōu)勢比的前提條件

基于“g×2×2表資料”計算共同優(yōu)勢比的前提條件是高維表資料應滿足齊性，針對“優(yōu)勢比”，檢驗高維表資料是否滿足齊性的檢驗方法有5種，分別是“Breslow-Day檢驗”“Breslow-Day-Tarone檢驗”“Q檢驗”“I2度量統(tǒng)計量及其不確定性限值”和“Zelen's精確檢驗”。

1.4 估計共同優(yōu)勢比及其置信區(qū)間的方法概述

SAS/STAT中的FREQ過程［1］采用3種方法估計共同優(yōu)勢比及置信區(qū)間，分別是：①校正的計算方法，Mantel-Haenszel估計法；②校正的計算方法，logit估計法；③基于條件分布的精確法。

2 高維表資料優(yōu)勢比分析及SAS實現(xiàn)

2.1 高維表資料優(yōu)勢比分析的具體算法

2.1.1 高維表資料優(yōu)勢比分析的具體內容

高維表資料優(yōu)勢比分析的具體內容包括以下4項［1］：其一，檢驗資料是否滿足齊性要求；其二，估計共同優(yōu)勢比；其三，估計共同優(yōu)勢比的置信區(qū)間；其四，檢驗共同優(yōu)勢比是否等于1。

2.1.2 高維表資料共同優(yōu)勢比的點估計及置信區(qū)間估計

2.1.2.1 Mantel-Haenszel估計量

基于Mantel-Haenszel估計量（簡稱MH估計量）估計高維表資料共同優(yōu)勢比，見式（1）：

注意：當nh較小時，MH估計量不如logit估計量敏感。

2.1.2.2 Logit估計量

Woolf于1955年提出了logit估計量［1］，見下式：

式（7）中，ORh是第h層的優(yōu)勢比，其100（1-α）%置信區(qū)間見下式：

在式（7）和式（8）中，wh是第h層的權重系數(shù)，其定義見下式：

在式（9）中，Var［ln（ORh）］的定義見下式：

當?shù)趆層的表格中出現(xiàn)0頻數(shù)時，在計算ORh和wh之前，需要給該層的所有格加上 0.5［1］。

2.1.3 高維表資料共同優(yōu)勢比的精確置信區(qū)間估計

假定所有各層2×2表的優(yōu)勢比是一個常數(shù)。精確置信限的構造原理：在各層2×2表的邊際總數(shù)固定的條件下，基于S=∑hnh11的分布來構造精確置信限。精確置信區(qū)間的精度：Agresti于1992年指出，由于擬解決的問題是一個離散問題，所以，所構造的精確置信區(qū)間的“置信水平”不會恰好等于100（1-α）%，但至少是100（1-α）%。因此，所求得的置信限是保守的［1］。精確置信限算法的來源：SAS/STAT中的FREQ過程計算共同優(yōu)勢比的置信限是依據(jù)Vollset、Hirji和Elashoff于1991年提出的算法，還可參考Mehta、Patel和Gray于1985年發(fā)表的有關文獻［1］。

算法的詳細描述：在第h層2×2表的邊際總數(shù)固定的條件下，讓隨機變量Sh代表第h層2×2表中（1，1）網(wǎng)格內的頻數(shù)。給定行合計nh1·、nh2·，列合計nh·1、nh·2，Sh的下限與上限是 lh、uh，則它們的計算公式分別見式（11）和式（12）：

讓s0代表所有q張表第（1，1）格上頻數(shù)之和。通過迭代計算方法求解下列兩個方程中的共同優(yōu)勢比置信限的下限值與上限值，φ1與 φ2，見式（16）、式（17）：

當觀測結果的和s0等于下界l時，SAS/STAT中的FREQ過程就將置信限的下限設置為0，并基于顯著性水平α來決定置信限的上限值；同理，當觀測結果的和s0等于上界u時，SAS/STAT中的FREQ過程就將置信限的上限設置為∞，并基于顯著性水平α來決定置信限的下限值。

2.1.4 高維表資料共同優(yōu)勢比是否等于1的精確檢驗

在運用SAS/STAT中的FREQ過程時，若在exact語句中使用了選項“COMOR”，該過程可以計算精確檢驗。設φ=1，在無效假設成立的條件下，S的條件分布變成如下形式：

在無效假設成立且滿足分層2×2表的邊際固定的條件下，這個精確檢驗的點概率就是觀測和s0出現(xiàn)的概率，這個概率可以用P0（s0）表示。在無效假設成立的條件下，S的期望值由下式定義：

單側精確概率P值（記為P1）可從條件分布P0（S≥s0）或P0（S≤s0）計算得到，取決于觀測結果的和s0大于還是小于E0（S），分別見下式：

基于下面3種定義，可分別計算出雙側精確概率P值（記為P2）。

定義1：雙側概率為單側概率的2倍。若該值超過1，將其設置為1。見下式：

定義2：雙側概率為所有小于等于觀測結果的和s0的點概率的概率之和，求和范圍是s的所有可能取值，即l≤s≤u，公式如下：

定義3：雙側概率為單側P值與分布的對側尾端（與期望值等距）相對應的面積之和，計算公式如下：

2.2 高維表資料優(yōu)勢比分析的SAS實現(xiàn)

2.2.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】文獻［2］提供了如下資料，試對5項研究的共同優(yōu)勢比進行分析。見表2。

表2 吸煙與肝細胞癌關系的5項病例對照研究結果

【例2】文獻［2］提供了如下資料，試對6項研究的共同優(yōu)勢比進行分析。見表3。

表3 鼻咽癌與EB病毒感染關系的6項病例對照研究結果

2.2.2 共同優(yōu)勢比分析的SAS實現(xiàn)

【例3】沿用例1中的“問題與數(shù)據(jù)”，試對5項研究的共同優(yōu)勢比進行分析。

【分析與解答】設所需要的SAS程序如下：

【程序說明】“exact語句”中的選項“eqor”要求對各層優(yōu)勢比OR是否滿足齊性進行Zelen's精確檢驗；選項“comor”要求對共同優(yōu)勢比進行精確檢驗。

【SAS輸出結果及解釋】

以上輸出的是“普通優(yōu)比和相對風險”的計算結果，其中，“普通優(yōu)比”也叫做“共同優(yōu)比”。實際上，就是基于“Mantel-Haenszel法”和“l(fā)ogit法”計算出來的校正“共同優(yōu)比”的估計值及其95%置信區(qū)間。在本例中，因95%置信區(qū)間不包含1，說明共同優(yōu)比與1之間的差別具有統(tǒng)計學意義。

此處原本是各層2×2表優(yōu)比齊性檢驗結果，結果顯示，此資料滿足齊性（這部分計算結果在本期“科研方法專題”的《如何正確運用χ2檢驗——高維表資料齊性檢驗與SAS實現(xiàn)》中已經(jīng)呈現(xiàn)了，限于篇幅，此處從略）。關于共同優(yōu)比的估計和置信區(qū)間的計算，直接利用前面的“校正計算結果”即可。但在SAS/STAT的FREQ過程中，還可采取精確計算法，以獲得更加可靠的計算結果如下：

以上輸出的是共同優(yōu)比的點估計值及其精確置信區(qū)間，因95%置信區(qū)間不包含1，說明共同優(yōu)比與1之間的差別具有統(tǒng)計學意義。

以上輸出的是關于共同優(yōu)比是否等于1的精確檢驗結果。其中，“S=307”是高維表資料中各層2×2表中第（1，1）格上頻數(shù)之和；“SH0=345.0348”是 H0（即“共同優(yōu)比=1”）成立條件下推導出各層2×2表中第（1，1）格上頻數(shù)之和；點概率P（S=307）=0.0002，與其對應的單側概率為0.0008；與其對應的雙側概率P2有3個，分別基于不同的定義而算得，即基于定義1，得=0.0016；基于定義2，得=0.0016；基于定義3，得=0.0014。

【結論】無論是基于單側檢驗還是雙側檢驗，所得P值都小于0.01，說明應拒絕H0（即“共同優(yōu)比=1”），接受H1（即“共同優(yōu)比≠1”）。因優(yōu)比的點估計值為0.7836（MH法），說明吸煙組的優(yōu)勢（odd值）小于不吸煙組的優(yōu)勢（odd值）；更明確的專業(yè)結論是：吸煙者患肝細胞癌的風險小于不吸煙者患肝細胞癌的風險（注意：這個結論與臨床專業(yè)知識不相符，具體原因可能是原始資料中存在過失誤差，有待進一步核實）。

【例4】沿用例2中的“問題與數(shù)據(jù)”，試對6項研究的共同優(yōu)勢比進行分析。

【分析與解答】設所需要的SAS程序如下：

【SAS輸出結果及解釋】

以上輸出的是“普通優(yōu)比和相對風險”的計算結果，其中，“普通優(yōu)比”也叫做“共同優(yōu)比”。實際上，就是基于“Mantel-Haenszel法”和“l(fā)ogit法”計算出來的校正“共同優(yōu)比”的估計值及其95%置信區(qū)間。在本例中，因95%置信區(qū)間不包含1，說明共同優(yōu)比與1之間的差別具有統(tǒng)計學意義。

此處原本是各層2×2表資料優(yōu)比齊性檢驗結果，結果顯示，此資料不滿足齊性（這部分計算結果在本期“科研方法專題”的《如何正確運用χ2檢驗——高維表資料齊性檢驗與SAS實現(xiàn)》中已經(jīng)呈現(xiàn)了，限于篇幅，此處從略）。關于共同優(yōu)比的估計和置信區(qū)間的估計，通常的做法是基于隨機效應模型推導出的公式進行計算。而在SAS/STAT的FREQ過程中，采取精確計算法，輸出結果如下：

以上輸出的是共同優(yōu)比的點估計值及其精確置信區(qū)間，因95%置信區(qū)間不包含1，說明共同優(yōu)比與1之間的差別具有統(tǒng)計學意義。

以上輸出的是關于共同優(yōu)比是否等于1的精確檢驗結果。其中，“S=242”是高維表資料中各層2×2表中第（1，1）格上頻數(shù)之和；“SH0=201.3895”是 H0（即“共同優(yōu)比=1”）成立條件下推導出各層2×2表中第（1，1）格上頻數(shù)之和；點概率P（S=242）＜0.0001，與其對應的單側概率＜0.0001；與其對應的雙側概率P2有3個，分別基于不同的定義而算得，即基于定義1，得＜0.0001；基于定義2，得＜0.0001；基于定義3，得＜0.0001。

【結論】無論是基于單側檢驗還是雙側檢驗，所得P值都小于0.0001，說明應拒絕H0（即“共同優(yōu)比=1”），接受H1（即“共同優(yōu)比≠1”）。因優(yōu)比的點估計值為3.2135（MH法），說明EB陽性組的優(yōu)勢（odd值）大于EB陰性組的優(yōu)勢（odd值）；更明確的專業(yè)結論是：EB陽性者患鼻咽癌的風險大于EB陰性者患鼻咽癌的風險。

3 討論與小結

3.1 討論

欲基于g×2×2表資料求共同優(yōu)勢比，需要先檢驗資料是否滿足齊性要求，即檢驗各層2×2表資料所對應的優(yōu)勢比是否相等。常規(guī)的做法［2-8］如下：若資料滿足齊性要求，可基于固定效應模型推導出的公式估計優(yōu)勢比及其置信區(qū)間；若資料不滿足齊性要求，可基于隨機效應模型推導出的公式估計優(yōu)勢比及其置信區(qū)間。然而，在SAS/STAT的FREQ過程中，若資料滿足齊性要求，可通過CMH χ2檢驗方法給出校正的計算結果，包括“校正的共同優(yōu)勢比的點估計值”及其“校正的95%置信區(qū)間”；若資料不滿足齊性要求，可通過各層2×2表中（1，1）網(wǎng)格內的頻數(shù)的條件分布來構造計算公式，可求得“共同優(yōu)勢比的精確點估計值”“精確95%置信區(qū)間”以及“共同優(yōu)勢比是否等于1”的精確單側概率和精確雙側概率。

3.2 小結

本文對g×2×2表資料進行了優(yōu)勢比分析，其全部內容包括“各層2×2表資料齊性檢驗”“共同優(yōu)勢比的點估計和置信區(qū)間估計”和“共同優(yōu)勢比是否等于1的假設檢驗”。從計算的角度來看，內容涉及“校正算法”和“精確算法”。通過兩個實例，演示了基于SAS軟件實現(xiàn)優(yōu)勢比分析的內容，并對結果進行了解釋，做出了統(tǒng)計和專業(yè)結論。