俞 綱 (云南省昆明市第三中學(xué) 650599)

“學(xué)習(xí)起于思考，思考源于問題”，教學(xué)中常有一些“特別”的學(xué)生提出一些“不合情境”的問題，當這些問題比較偏或者完全不是平時的“教學(xué)套路”時，不少教師常以“考試絕對不會這樣考查”為由告誡學(xué)生放棄歪想．這可能會挫傷學(xué)生提問思考的積極性，同時可能會固化學(xué)生思維，不利于其探究能力的提升．因此，對于學(xué)生的奇思異想，教師應(yīng)該認真對待，仔細挖掘其中價值，對于有利于學(xué)生素質(zhì)培養(yǎng)的問題，可引導(dǎo)學(xué)生進行探究．恰當借助GeoGebra軟件強大的代數(shù)計算與幾何圖形處理能力，讓學(xué)生的探究活動有效開展，有利于促進其核心素養(yǎng)的發(fā)展與綜合能力的提高．本文從學(xué)生對一個問題的“歪想”出發(fā)，指導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra進行了一次完整探究，從中收獲了一些感悟，與大家交流．

1 學(xué)生的“歪想”

在一個底面半徑為1、高為2的圓錐模具內(nèi)平放一個圓柱體，則能放下的圓柱的最大體積為多少？

分析 本題是作業(yè)中出現(xiàn)的一個中等難度的應(yīng)用題，考查立體幾何知識與導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用．通過作出軸截面，學(xué)生得出如下求解思路．

圖1

課后有幾位思維靈活的學(xué)生對題意提出了不同看法，若圓柱橫放在圓錐內(nèi)，該體積是否會更大？題設(shè)這樣一變，難度陡然增加，顯然這并不是出題者的本意，是對題目的誤解與“歪想”.用高中知識能否解決？筆者也猶豫了一番，考慮到應(yīng)該保護學(xué)生的積極性，同時這也許正是鍛煉學(xué)生自主探究能力的好契機，即使該問題可能“超綱”，筆者也決定指導(dǎo)學(xué)生對該問題進行探究．由于該問題相對復(fù)雜，筆者建議學(xué)生使用GeoGebra助力探究．

2 探究的過程

首先通過GeoGebra制作一個動態(tài)3D圖形(圖2).通過觀察思考，大家決定將此問題分化為三個小問題逐一研究解決．

圖2

問題1設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的高為2m，表示出圓柱上下底所在的平面截圓錐所得的圖形并寫出方程．

問題2在問題1所表示的平面區(qū)域中放置一個面積最大的圓．

問題3以m為自變量，寫出圓柱體積V關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，進而求其最值．

2.1 問題1的研究

圖3

2.2 問題2的研究

在問題1所得到的區(qū)域中如何放置面積最大的圓？學(xué)生以前沒有處理類似問題的經(jīng)驗.筆者指導(dǎo)學(xué)生通過GeoGebra作示意圖觀察，通過把該圖形投影到xOy面內(nèi)研究，學(xué)生總結(jié)出該圓的性質(zhì)：與雙曲線相切，同時與直線x=2也相切，由圖形的對稱性可得該圓圓心必定在對稱軸x軸上．如何理解圓與雙曲線的相切呢？高中教材并沒有相應(yīng)的定義，學(xué)生通過討論提出類比曲線公切線的思想，即以雙曲線與圓在同一點處有公共切線的方法來研究，先用代數(shù)方法表示出結(jié)果，再用GeoGebra來驗證這個方法是否正確．

(1)計算圓的半徑

圖4

(2)檢驗發(fā)現(xiàn)問題

(3)完善方法

圖5

2.3 問題3的研究

基于以上研究，設(shè)圓錐內(nèi)接圓柱的高為2m，其底面圓的半徑為r．

得到計算結(jié)果后，學(xué)生再次運用GeoGebra繪制出圖形，并計算出圓柱體積，發(fā)現(xiàn)與所算答案是一致的．

3 探究的優(yōu)化

重新審視探究過程，筆者提出兩點建議讓學(xué)生再思考．建議一是對于問題2的探究，即雙曲線與圓相切的計算，可以不用分類研究，直接運用雙曲線上一點到圓心的距離最小值作為該圓半徑即可．學(xué)生按此思路，對問題2的探究作了如下修改：

建議二是能否對此問題進行一般性的研究．由于該問題的一般性研究的代數(shù)計算過于復(fù)雜，學(xué)生最終沒能完成，但有了此題探究的鋪墊，筆者最終帶領(lǐng)學(xué)生對該問題的一般情況進行了完整探究，由于篇幅原因，這里不再敘述．

4 總結(jié)與反思

此次探究使學(xué)生經(jīng)歷了質(zhì)疑問題，提出并分析問題，計算、檢驗、改進，最終解決問題的完整過程，同時拓展研究出一般性的結(jié)論．雖然這個問題本身不是自然建模形成的問題，但學(xué)生解決它的過程與《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》所提到數(shù)學(xué)建模的表現(xiàn)(發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題)是一致的．若一開始筆者受慣性思維左右，讓學(xué)生用現(xiàn)有知識理解題意并放棄“歪想”，將錯失此次良機；若沒有GeoGebra幾何圖形繪制功能與代數(shù)計算功能的幫助，學(xué)生也難以深入探究與檢驗．通過軟件的輔助，學(xué)生基本在所學(xué)知識范疇內(nèi)解決了這個問題，這極大地激發(fā)了其自主探究的興趣，提升了實踐能力，增強了類比猜想意識和科學(xué)精神，對他們而言確實是一次完整且有益的探究體驗．在著力培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的背景下，作為一線教師，我們一方面應(yīng)該增強自身的數(shù)學(xué)知識與信息技術(shù)處理能力，另一方面要睜開“慧眼”，重視學(xué)生的各種問題，并擅于從中尋找適合學(xué)情的探究問題以引導(dǎo)學(xué)生探究，促進其探究能力的提升與核心素養(yǎng)的發(fā)展．