朱成萬 (浙江省杭州第十四中學(xué) 310006)

用空間向量解決立體幾何問題，首先要用空間向量表示立體幾何問題涉及的幾何元素，即把空間中點、直線與平面用向量表示出來，這是向量法的基石，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點之一．因此，深入理解這一內(nèi)容非常有必要．

在人教A版舊教材[1](依據(jù)2003年版課程標(biāo)準(zhǔn)編寫)中，“空間中點、直線與平面的向量表示”這一內(nèi)容安排在選修2-1第三章第二節(jié)(3.2立體幾何中的向量方法)，在新教材[2](依據(jù)2017年版課程標(biāo)準(zhǔn)編寫)中，該內(nèi)容安排在選擇性必修第一冊第一章第四節(jié)(1.4空間向量的應(yīng)用)．新舊教材編寫差異很大，本文將對這一內(nèi)容作出解讀，以便深入理解空間向量這一核心內(nèi)容．

1 新舊教材比較

新舊教材的編寫，包括編寫理念、內(nèi)容的安排、編寫的順序、素材的選取、例題習(xí)題的安排等，差異都很大．本文不面面俱到地研究這些差異，只從以下三個視角對兩者作一個比較，以點帶面，旨在幫助讀者整體地理解空間向量．

1.1 教材編排：一節(jié)VS三節(jié)

在舊教材中，“空間中點、直線和平面的向量表示”這一內(nèi)容編排比較簡略．在選修2-1第三章3.2節(jié)簡要地介紹了點的向量表示和直線的向量表示，并用平面向量基本定理表示平面，還介紹了法向量的概念，但各知識點沒有詳細(xì)展開，也沒有配套例題．

在新教材中，這一內(nèi)容很詳細(xì).在選擇性必修第一冊第一章1.4節(jié)編排了兩塊內(nèi)容，在1.4.1用了 3節(jié)詳細(xì)介紹用空間向量研究直線、平面的關(guān)系：“1.空間中點、直線和平面的向量表示；2.空間中直線、平面的平行；3.空間中直線、平面的垂直”，在1.4.2詳細(xì)介紹用空間直線研究距離、夾角問題．

下面對“空間中點、直線和平面的向量表示”的新舊教材編寫內(nèi)容作比較，列表如下．

內(nèi)容新教材舊教材備注位置的向量表示OP→OP→新舊相同直線的向量表示AP→=tAB→,OP→=OA→+ta,OP→=OA→+tAB→AP→=tAB→新教材3種表示,舊教材1種表示平面的向量表示OP→=OA→+xa+yb,OP→=OA→+tAB→無新教材2種表示,舊教材無平面的法向量{P|a·OP→=0}(設(shè)a是法向量)過點A,以a為法向量的平面是確定的新教材定量表示,舊教材定性表述

說明：(1)新舊教材內(nèi)容編排差異很大．總體來說，新教材更詳細(xì)，內(nèi)容更多，而舊教材內(nèi)容相對較少．

(2)新教材將“空間中直線、平面的平行”，“空間中直線、平面的垂直”單獨成節(jié)，而舊教材只是一帶而過．由于該內(nèi)容不是本文解讀對象，所以不列表比較．

1.2 引入思考：一次多問VS多次一問

新舊教材都是以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，但是在引入問題的設(shè)置上差別很大．表現(xiàn)在舊教材上，設(shè)置的幾個問題是一次性問完的(圖1)．

圖1

新教材設(shè)置的也是這幾個問題(見本文第二部分)，但呈現(xiàn)的方式是問一個問題，解決一個問題．

筆者認(rèn)為，舊教材一次多問，有問題堆砌的感覺，還有許多問題一次性出來，層次不夠分明．新教材問一個，解決一個，這樣的編排不僅層次分明，條理清楚，而且學(xué)生在學(xué)習(xí)時目標(biāo)指向更明確．

另外，具體到每個問題，新舊教材在表述上也有差異．比如新教材的第一個思考問題：“如何用向量表示空間中的一個點？”而舊教材中問題是“如何確定一個點在空間的位置？”筆者認(rèn)為，新教材的設(shè)問直指問題，表述更精確．

1.3 法向量：一帶而過VS詳細(xì)介紹

舊教材介紹了法向量的概念，僅說明可以用法向量解決平行與垂直問題，沒有根據(jù)點的坐標(biāo)求法向量的例題，用法向量研究距離、角度問題也很簡略．

舊教材對法向量重視不夠，這一直是被中學(xué)教師詬病的地方，因為在高考中，立體幾何大題幾乎都是法向量的天下，即教材與高考嚴(yán)重脫節(jié)．

新教材彌補(bǔ)了這一缺憾．在編寫法向量時，其作了三點改進(jìn)：(1)不僅介紹法向量的概念，而且給出用法向量表述平面的代數(shù)表達(dá)式；(2)有配套例題求法向量，包括高考中經(jīng)常用的根據(jù)點的坐標(biāo)求法向量；(3)加強(qiáng)法向量的應(yīng)用，在1.4.1節(jié)介紹了根據(jù)法向量研究平行與垂直的位置關(guān)系，在1.4.2節(jié)介紹了用法向量研究距離與角度，而且配置了大量的例題．

如此改進(jìn)，從知識本身看，法向量是重要內(nèi)容，這樣編排主干內(nèi)容更突出；從實際教學(xué)看，做到了學(xué)與考的融合，更接地氣，更受教師、學(xué)生歡迎．

2 新教材逐段解讀

下面對新教材進(jìn)行逐段解讀．

2.1 節(jié)引言

圖2

解讀：節(jié)引言是先行組織者，具有承上啟下的作用．向量從平面推廣到空間，既作了數(shù)學(xué)知識和工具上的準(zhǔn)備，也作了學(xué)習(xí)方法上的準(zhǔn)備．

在平面向量中，學(xué)生已學(xué)習(xí)過向量法，即用向量解決平面幾何問題的“三部曲”．類似地，用空間向量解決立體幾何問題也有“三部曲”：首先要用空間向量表示立體幾何問題涉及的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；然后通過空間向量的運(yùn)算，研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等度量問題；最后將結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何結(jié)論，得到相應(yīng)立體幾何問題的解決．

這里有個提示作用：下面的學(xué)習(xí)，自然是從第一步開始，學(xué)習(xí)如何表示，即如何用向量表示點、直線和平面．

2.2 空間中點、直線和平面的向量表示

圖3

解讀：開宗明義，明確基本對象是點、直線和平面，研究的任務(wù)是對象的表示．這里的邏輯很清楚：用空間向量解決立體幾何問題，首先要用空間向量表示立體幾何的基本要素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．這是向量法的第一步，也是本節(jié)將探討的重點內(nèi)容．

圖4

解讀：“位置是空間的基本概念中最為原始的.在幾何學(xué)中，通常用點來標(biāo)記位置，所以點就是位置的抽象化.”[3]要表示位置需要有基點，確定了基點，向量與點就一一對應(yīng)，如此就可以用向量表示點．用向量表示點，是用向量表示直線和平面的基礎(chǔ)，具有奠基作用．

另外，圖中的平面用于襯托立體感，這是用圖形語言表述數(shù)學(xué)對象的需要．

圖5

圖6

解讀：因為直線和平面都是點的集合，所以順著點的向量表示提出直線和平面的向量表示問題是自然的．

實際上，直線由點與方向確定，在平面解析幾何中也有體現(xiàn)，比如直線的點斜式方程，其中斜率是傾斜角的正切值，刻畫直線的傾斜程度，代表著直線的方向．

圖7

解讀：接下來就是探究用向量表示平面，即尋求平面的代數(shù)表示，讓平面也帶上方向，就可以通過向量運(yùn)算研究平面．

教材給出了平面的兩種表示，一種是基于平面向量基本定理，通過向量的線性運(yùn)算表示平面，另一種是基于平面的法向量，通過向量的數(shù)量積運(yùn)算表示平面．兩者表示方式的不同，實際上是基于運(yùn)算的不同，這體現(xiàn)了向量運(yùn)算的威力．

圖8

圖9

由于這個結(jié)論的證明過程顯而易見，前面介紹直線的向量表示時也有同樣的旁白(圖6)．筆者認(rèn)為這兩個旁白只需一個就夠了,建議介紹直線的向量表示時給出證明，去掉那個旁白．

圖10

解讀：前面表示平面時需要用到三要素——一點和兩個方向．教材這里用兩要素——點和直線，體現(xiàn)了求精求簡的思想．

圖11

解讀：新教材突出了法向量的地位，法向量就是平面垂線所在的方向向量．“直線的方向向量與該直線上的任意向量平行”，“平面的法向量與該平面內(nèi)的任意向量垂直”，這是方向向量和法向量的本質(zhì)．

實際上，教材選擇“點向式”表示直線和“點法式”表示平面，是內(nèi)容自身的需要(突出方向向量和法向量的作用)．這里的目標(biāo)是要將一條確定的直線或一個確定的平面用向量表示出來，而并不是為了將我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的確定直線(或平面)的每一種方式用向量去“翻譯”過來．

2.3 例題

圖12

解讀：例1給出了求平面法向量的具體方法.求平面的法向量是本節(jié)的重點，也是難點，兩個小題分別代表了兩種常見問題類型．旁注中還說明了方向向量和法向量的“不唯一”性．雖然我們并不需要過于強(qiáng)調(diào)，但“不唯一”性是客觀存在的事實，這一點在解題過程中已經(jīng)得到體現(xiàn)．同時，本題為后面研究直線、平面間的位置關(guān)系，距離和夾角等度量問題作了準(zhǔn)備．可以毫不夸張地說，一線教師之所以喜歡這套新教材，很大的原因是教材安排了例1．

3 教學(xué)建議

3.1 以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)

新舊教材都是以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，對教學(xué)有很大的啟示作用，我們在教學(xué)時可以采用這一方式．新教材為研究“空間中點、直線和平面的向量表述”提出了三個思考，在教學(xué)時，我們可以借助這些思考，但是要根據(jù)課堂的實際提出一些追問．

比如，提出思考“一個定點和兩個方向能否確定一個平面？如果能確定，如何用向量表示這個平面？”可以進(jìn)一步設(shè)計以下問題，引導(dǎo)學(xué)生探究用向量表示平面．

問題1：什么是平面向量基本定理？

設(shè)計意圖：在最近發(fā)展區(qū)提問，回顧舊知識，并在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知識．

問題2：如何用平面向量基本定理描述平面內(nèi)任意一點P的位置？

3.2 加強(qiáng)法向量的教學(xué)

法向量為解決立體幾何問題提供了一個通法，所以要引起足夠的重視．加強(qiáng)法向量的教學(xué)，可以從以下幾個方面著力．

在法向量概念教學(xué)時，需從自然語言、圖形語言和符號語言三個角度對法向量進(jìn)行表示，明確法向量的概念，突出法向量的本質(zhì)——與平面內(nèi)任意向量都垂直．

在求法向量時，特別是例1的教學(xué)，要歸納出求法向量的一般方法和步驟．

方法1 根據(jù)線面垂直的判定定理求法向量；

方法2 根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，聯(lián)立方程組求法向量．

在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，用法向量研究空間圖形之間的平行、垂直等位置關(guān)系以及距離、夾角等度量問題，在空間向量的應(yīng)用中加深對法向量的理解．