跳躍擴散過程下企業(yè)的最優(yōu)投資策略

劉彥云， 胡支軍**

(貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院， 貴陽 550025)

0 引 言

企業(yè)在投資一個新項目時，投資決策的不可逆性、項目收益的不確定性、投資時機的不確定性以及三者之間相互作用影響了企業(yè)的最佳投資時機，進而影響到投資項目的成敗及項目收益的高低。對于企業(yè)來說，選擇最佳投資時機的重點在于準(zhǔn)確地衡量現(xiàn)實世界中的不確定性，并對其進行科學(xué)地刻畫。傳統(tǒng)的凈現(xiàn)值投資決策方法不能適當(dāng)?shù)靥幚盹L(fēng)險項目中的不確定因素，也沒有考慮資本的不可逆性以及項目靈活性的戰(zhàn)略意義；實物期權(quán)方法突破了傳統(tǒng)方法將不確定性視為風(fēng)險的局限性，把不確定性價值包含在投資項目的價值中。因此，自Myers(1977)[1]首次提出利用實物期權(quán)方法來描述投資機會價值之后，這一方法迅速被該領(lǐng)域的眾多學(xué)者廣泛采用。

實物期權(quán)的觀點是將企業(yè)所擁有的投資機會視為一個看漲期權(quán)，執(zhí)行這一看漲期權(quán)的代價不僅包括投資時需要支付的投資成本，還包括由此喪失的投資機會。從實物期權(quán)的觀點出發(fā)，企業(yè)最佳投資時機的選擇問題即可轉(zhuǎn)化為投資期權(quán)的定價問題。McDonald和Siegel(1986)[2]首次將實物期權(quán)方法運用于研究不可逆投資計劃的最佳投資時機，討論了投資期權(quán)的定價問題，并推導(dǎo)出最佳投資時機的決定方法。運用實物期權(quán)方法研究企業(yè)投資問題的大多數(shù)文獻(xiàn)是從單個因素的不確定性出發(fā)，對于多個不確定因素以及不確定性之間具有相關(guān)性的研究相對較少。

Dixit & Pindyck(1994)[3]考察了項目的運營成本和產(chǎn)出價格均不確定時企業(yè)的投資決策；Murto[4]考察了項目投資成本和未來收益不確定時企業(yè)的最佳投資策略；Pennings & Sereno[5]考察了制藥企業(yè)的研發(fā)項目在技術(shù)和經(jīng)濟環(huán)境不確定性下的項目價值問題;Nunes & Pimentel[6]考察了一個成熟企業(yè)面臨新項目的投資成本和產(chǎn)出需求不確定時的最優(yōu)投資決策問題。以上學(xué)者研究的共同點是假設(shè)企業(yè)同時面臨兩種不同來源的不確定性，且不確定因素之間相互獨立。在實際的經(jīng)濟環(huán)境中，風(fēng)險之間相關(guān)影響是很常見的現(xiàn)象。

現(xiàn)有文獻(xiàn)大多都假設(shè)不確定因素的變化路徑是連續(xù)的，并運用幾何布朗運動對其進行模擬。Yang & Liu[7]在假設(shè)市場需求與投資成本不確定且兩者的隨機波動彼此相關(guān)的條件下，假設(shè)兩種不確定因素的變化路徑服從幾何布朗運動，利用期權(quán)博弈方法，建立了先占和非先占情況下的雙寡頭期權(quán)博弈模型，得出了企業(yè)在各博弈模型中的價值函數(shù)和投資臨界值，分析了相關(guān)參數(shù)對企業(yè)最優(yōu)投資決策的影響；Moawia & Alghalith[8]在假設(shè)產(chǎn)出價格和市場需求不確定的條件下建立了競爭企業(yè)在多重相關(guān)不確定性下的動態(tài)連續(xù)時間模型，但沒有考慮不確定因素受到突發(fā)事件沖擊的情形。然而，越來越多的證據(jù)顯示，不確定因素的變化路徑并不總是連續(xù)的，尤其是受到一些突發(fā)事件的影響時，往往會發(fā)生跳躍進而出現(xiàn)一些不連續(xù)點。從資產(chǎn)組合風(fēng)險管理問題到期權(quán)債權(quán)的定價問題，現(xiàn)有文獻(xiàn)如Merton[9]，Pan[10]，Liu & Longstaff[11]，Johannes[12]，Lee & Mykland[13]，Yang & Chen[14]，Hagspiel & Huisman[15]等，都證實了突發(fā)事件的存在以及對企業(yè)投資決策的影響。因此，在研究企業(yè)的最優(yōu)投資策略時，選用合適的模型對突發(fā)事件進行模擬尤為重要。Eberlein[16]指出，可以將金融領(lǐng)域的一些先進模型引入跳躍過程來模擬這種由突發(fā)事件所導(dǎo)致的跳躍，以期真實準(zhǔn)確地描繪不確定因素的變化路徑，得到企業(yè)的最優(yōu)投資策略；Yang & Chen[14]在假定跳躍幅度隨機但不依賴于具體分布形式的框架下，運用數(shù)值分析方法分析了跳躍幅度的3個統(tǒng)計特征參數(shù)對企業(yè)投資策略的影響；Nunes & Rita Pimentel[6]假定產(chǎn)品需求和成本服從跳躍擴散過程，只考察了突發(fā)事件到達(dá)強度和平均跳躍幅度對投資閾值的影響。

綜上所述，現(xiàn)有文獻(xiàn)有如下局限性：第一，考慮了多重不確定因素但沒考慮不確定因素波動率之間的相關(guān)性；第二，忽略了突發(fā)事件對不確定因素的影響；第三，考慮了突發(fā)事件的存在，但沒能全面分析突發(fā)事件對企業(yè)投資策略的影響。針對現(xiàn)有文獻(xiàn)的這些局限性，本文從以下幾個方面進行了突破。首先，考慮了不確定因素的隨機波動具有相關(guān)性的情形。在Nunes & Pimentel[14]的基礎(chǔ)上，放松了投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動相互獨立的假設(shè)；其次，考慮了突發(fā)事件對兩種不確定因素的影響，在Yang和Chen[12]的基礎(chǔ)上，給出了平均跳躍幅度、躍度波動率、躍度偏度值這3個統(tǒng)計特征參數(shù)對企業(yè)投資策略影響的理論證明，并運用數(shù)值模擬方法驗證了理論證明結(jié)果，進而推廣了比較靜態(tài)結(jié)果。

1 模型及求解

這一部分，首先給出項目的投資成本和產(chǎn)出價格所服從的隨機過程——跳躍擴散過程，其次建立投資期權(quán)的定價模型，最后求解模型。

1.1 動態(tài)過程

假設(shè)企業(yè)投資前面臨兩種不同來源的不確定因素：投資成本和產(chǎn)出價格，分別記為I，P。它們的變化路徑幾乎處處連續(xù)，間斷點是受突發(fā)事件的影響而產(chǎn)生的跳躍?；谄渥兓窂降奶攸c，本文運用跳躍擴散過程對其進行模擬。

跳躍擴散過程表示不確定因素的變化動態(tài)由兩種不同類型構(gòu)成：一種是正常的波動，其路徑是連續(xù)變化的，用幾何布朗運動來模擬；一種是非正常的波動，由突發(fā)事件引起的一些跳躍構(gòu)成，用跳躍過程來模擬。

突發(fā)事件到達(dá)的次數(shù)是隨機的，記為{Nt，t≥0}，假設(shè)其服從強度為λ的泊松分布。突發(fā)事件引起的跳躍幅度{Ui}i∈N也是隨機的，假設(shè)其獨立同分布于隨機變量U，即{Ui}i∈Ni.i.d～U，i.e。假設(shè)隨機變量U的概率密度函數(shù)為φ(u)。

記Y={Yt：t≥0}是一個跳躍擴散過程，其微分形式表示如下：

(1)

項目的投資成本和產(chǎn)出價格所服從的跳躍擴散過程分別表示如下：

(2)

(3)

假設(shè)投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動之間具有相關(guān)性，記為

E(dWtPdWtI)=ρdt

(4)

其中：ρ表示相關(guān)性系數(shù)，上標(biāo)和下標(biāo)中的I，P分別為相應(yīng)的投資成本和產(chǎn)出價格參數(shù)。

1.2 項目價值

投資前，企業(yè)只持有一個投資期權(quán)。在時刻τ，企業(yè)以一次性支付投資成本Iτ的方式執(zhí)行了該期權(quán)，同時擁有了一個價值為V(P，I)的項目，則企業(yè)的項目價值滿足如下方程：

(5)

在時間[t，t+dt]內(nèi)，項目價值V(P，I)滿足的HJB方程rVdt=E(dV)，由伊藤引理可得：

F(P，I)]φ2(uI)duI=0

(6)

1.3 模型求解

式(6)是含有兩個狀態(tài)變量的偏微分方程，參考Dixit & Pindyck[3]以及Nunes & Pimentel[6]中求解同時考慮兩種不確定因素的投資問題的方法，將二維的投資問題簡化至一維并求解。

(7)

其中,f為待定函數(shù)。

G(P，I)=Il(θ)

(8)

其中：

(9)

HJB方程式(6)可用新變量重新表示為

(10)

如果不考慮投資成本和產(chǎn)出價格之間隨機波動相關(guān)的情況，則方程式(10)可以簡化為

(11)

命題1 HJB方程式(10)的解f(θ)具有如下形式：

(12)

其中：

(13)

β1是HJB方程的基本二次型J(β)的大于1的根，J(β)具體表達(dá)式如下：

(14)

在Nunes & Pimentel(2017)[6]模型的基礎(chǔ)上考慮了相關(guān)性，如果不考慮投資成本和產(chǎn)出價格在幾何布朗運動部分的隨機波動相關(guān)性，則上述基本二次型可簡化為

(15)

考慮了隨機波動相關(guān)性之后，方程式(14)的根β1與相關(guān)性系數(shù)ρ有關(guān)，而方程式(15)的根與ρ無關(guān)。

2 比較靜態(tài)分析

接下來，先給出相關(guān)參數(shù)對投資閾值影響的理論推導(dǎo)過程和結(jié)果，再給出具體的數(shù)值模擬以驗證理論證明結(jié)果。通過固定其他參數(shù)值，讓目標(biāo)參數(shù)在一定的區(qū)間范圍內(nèi)變化進而模擬投資閾值的變化趨勢。在參數(shù)設(shè)定上，當(dāng)考察幾何布朗運動參數(shù)對投資閾值的影響時，將跳躍過程的參數(shù)均設(shè)定為0。對于幾何布朗運動部分參數(shù)，參考Dixit & Pindyck[3]對無風(fēng)險利率r，投資成本和產(chǎn)出價格期望增長率μp，μI，波動率σp，σI，ρ的設(shè)定，以及Nunes & Pimentel(2017)[6]關(guān)于產(chǎn)量q，項目建造時間n的設(shè)定；跳躍參數(shù)設(shè)定參考Yang & Chen[12]。下面先給出一個后面的證明需要用到的引理。

因此，投資閾值θ*關(guān)于最相關(guān)參數(shù)的變化行為依賴于投資問題的HJB方程對應(yīng)的基本二次型J(β)關(guān)于對應(yīng)的最相關(guān)參數(shù)的變化行為。換言之，要考察投資閾值關(guān)于最相關(guān)參數(shù)的變化行為，只需要考察基本二次型J(β)與對應(yīng)的最相關(guān)參數(shù)的變化行為即可。

2.1 隨機波動率及相關(guān)性參數(shù)對投資閾值的影響分析

相關(guān)性系數(shù)是表示兩個變量之間相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計分析指標(biāo)。下面給出投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動相關(guān)性系數(shù)ρ的實際意義：

(1)ρ>0，投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動呈現(xiàn)正相關(guān)，表示當(dāng)投資成本的隨機波動率增大時，產(chǎn)出價格的隨機波動率也隨之增大。

(2)ρ<0，投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，表示當(dāng)投資成本的隨機波動率增大時，產(chǎn)出價格的隨機波動率隨之減小。

(3)ρ=0，投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動之間不存在線性關(guān)系，此時模型簡化為Nunes & Pimentel[6]所用模型。

(4)ρ=1，投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動之間完全正相關(guān)，表示當(dāng)投資成本的隨機波動率增大(減小)時，產(chǎn)出價格的隨機波動率也隨之以一定的比例增大(減小)。

(5)ρ=-1，投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動之間完全負(fù)相關(guān)，表示當(dāng)投資成本的隨機波動率增大(減小)時，產(chǎn)出價格的隨機波動率隨之以一定的比例減小(增大)。

下面的命題給出投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動相關(guān)性參數(shù)對投資閾值的影響。

-σPσIβ1(β1-1)<0

故得證。

其他參數(shù)設(shè)置為μI=0.01，μp=0.02，σI=0.01，σp=0.02。

從圖1來看，無論投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動率呈正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，相關(guān)性越大，投資閾值越小，企業(yè)通過加快執(zhí)行投資策略的方式來應(yīng)對不確定因素的隨機波動率之間具有的相關(guān)性情形。與命題2的證明結(jié)果一致。

圖1 投資閾值θ*關(guān)于相關(guān)性ρ的變化趨勢Fig. 1 The change trend of investment threshold θ* with respect to correlation ρ

特別地，當(dāng)σP<σI時，θ*關(guān)于σP單調(diào)遞減；當(dāng)σP>σI時，θ*關(guān)于σI單調(diào)遞減。

結(jié)論顯然。

圖2中：μI=0.01，μp=0.02，σI=0.01，ρ=-0.5；圖3中：μI=0.01，μp=0.02，σP=0.02，ρ=-0.5。

圖2 產(chǎn)出價格波動率對投資閾值的影響(ρ<0)Fig. 2 The influence of output volatility on investment thresholod (ρ<0)

圖3 投資成本波動率對投資閾值的影響(ρ<0)Fig. 3 The influence of investment cost volatility on investment threshold (ρ<0)

圖4中：μI=0.01，μp=0.02，σI=0.01，ρ=0.5；圖5中：μI=0.01，μp=0.02，σP=0.02，ρ=0.5。

圖4 產(chǎn)出價格波動率對投資閾值的影響(0<ρ<1)Fig. 4 The influence of output price volatility on investment threshold (0<ρ<1)

圖5 投資成本波動率對投資閾值的影響(0<ρ<1)Fig. 5 The influence of investment cost volatility on investment threshold (0<ρ<1)

這一結(jié)論是本文開創(chuàng)性的成果：Nunes & Pimentel[6]在假設(shè)需求和投資成本相互獨立的框架下發(fā)現(xiàn)投資閾值關(guān)于二者的隨機波動率均單調(diào)遞增。本文放松了投資成本和產(chǎn)出價格兩種不確定因素的隨機波動相互獨立的假設(shè)，考慮了彼此相關(guān)的情形。研究結(jié)果表明：隨機波動率對投資閾值的影響不僅與自身有關(guān)，還要取決于相對波動率和相關(guān)性系數(shù)之間的關(guān)系。

2.2 突發(fā)事件對投資閾值的影響分析

為了更加全面地考察突發(fā)事件的影響，本文在Nunes & Pimentel[6]僅考察突發(fā)事件到達(dá)強度和平均跳躍幅度對投資閾值影響的基礎(chǔ)上，參考Yang & Chen[12]所用的方法，運用跳躍幅度的3個統(tǒng)計特征參數(shù)：均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度來考察突發(fā)事件對兩種不確定因素下企業(yè)投資閾值的影響。

這3個統(tǒng)計特征參數(shù)直觀的經(jīng)濟意義如下：

(1) 跳躍幅度的均值m=(mp，mI)，表示突發(fā)事件對投資成本和產(chǎn)出價格的平均作用強度；

(2) 跳躍幅度的標(biāo)準(zhǔn)差δ=(δp，δI)，表示突發(fā)事件對投資成本和產(chǎn)出價格作用強度的波動率；

(3) 跳躍幅度的偏度Skew=(Skewp，SkewI)，代表突發(fā)事件對投資成本和產(chǎn)出價格作用的方向。Skewp>0代表突發(fā)事件有較大可能性將引起產(chǎn)出價格的異常上升；Skewp<0則代表突發(fā)事件有較大可能性將引起產(chǎn)出價格的異常下跌。本文假設(shè)Skew∈(-0.8，0.8)，根據(jù)Gauss-Statistics求積原理，采用兩節(jié)點近似方法后，J(β)中的積分項可分別表示為

w1P(1+x1)β1+w2P(1+x2)β1

w1I(1+y1)1-β1+w2I(1+y2)1-β1

基本二次型式(14)可重新表示為

(λP+λI)-r)+λPw1P(1+x1)β1+w2P(1+x2)β1+

λIw1I(1+y1)1-β1+w2I(1+y2)1-β1

至此，基本二次型式(14)中的積分項已經(jīng)不再依賴于φ1(up)，φ2(uI)的具體形式，而僅取決于3個統(tǒng)計特征參數(shù)：均值m=(mp，mI)，標(biāo)準(zhǔn)差δ=(δp，δI)，偏度Skew=(Skewp，SkewI)。

下面給出突發(fā)事件具體的比較靜態(tài)分析結(jié)果。

圖6中：μI=0.01，μp=0.02，σI=0.01，σP=0.02，mP=0.5，δP=0.2，SP=0，ρ=0.5；圖7中：μI=0.01，μp=0.02，σI=0.01，σP=0.02，mI=0.5，δI=0.2，SI=0，ρ=0.5。

由圖6和圖7可知，無論突發(fā)事件性質(zhì)如何，跳躍到達(dá)強度越大，投資閾值越大，企業(yè)的最佳策略為延遲執(zhí)行投資期權(quán)，與命題4 的結(jié)論一致。

圖6 產(chǎn)出價格突發(fā)事件到達(dá)強度對投資閾值的影響Fig. 6 The influence of the arrival intensity of output price’s shocks λp on investment threshold θ*

圖7 投資成本突發(fā)事件到達(dá)強度對投資閾值的影響Fig. 7 The influence of the arrival intensity of investment cost’s shocks λI on investment threshold θ*

命題5 投資閾值θ*關(guān)于突發(fā)事件平均躍度m=(|mP|，mI)單調(diào)遞增。

首先考察產(chǎn)出價格突發(fā)事件對投資閾值的影響。

其次，考察投資成本突發(fā)事件對投資閾值的影響。

命題6 投資閾值θ*關(guān)于產(chǎn)出價格跳躍幅度波動率δP單調(diào)遞增，關(guān)于投資成本跳躍幅度波動率δI單調(diào)遞減。

首先證明投資閾值θ*關(guān)于產(chǎn)出價格跳躍幅度波動率δP單調(diào)遞增。

其次，證明投資閾值θ*關(guān)于投資成本跳躍幅度波動率δI單調(diào)遞減。

命題7 投資閾值θ*關(guān)于產(chǎn)出價格跳躍幅度偏度Skew(Up)單調(diào)遞減，關(guān)于投資成本跳躍幅度偏度Skew(UI)單調(diào)遞增。

首先，考察投資閾值θ*與產(chǎn)出價格跳躍偏度Skew(UP)之間的關(guān)系。

其中：

Ψ(SP)=β1δP(f(SP)(1+x1)β1-1+g(SP)(1+x2)β1-1)

其次考察投資閾值θ*與投資成本跳躍幅度偏度Skew(UI)之間的關(guān)系：

其中：

在結(jié)果分析之前，先給出“無偏倚”事件的定義，即跳躍幅度均值和偏度均為0。從長期來看， 其影響并不足以導(dǎo)致投資閾值發(fā)生趨勢性變化(即均值為0)，而且，好事件和壞事件發(fā)生的概率平均來看總是相等的(即偏度為0)。

在考察突發(fā)事件跳躍幅度對投資閾值的影響時，從一個”無偏倚”的突發(fā)事件出發(fā)，然后逐步扭曲突發(fā)事件的”無偏倚性”，讓跳躍幅度均值在[-0.5， 0.5]內(nèi)變化，跳躍幅度偏度[-0.4， 0.4]內(nèi)變化，并在4個標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間0.1，0.2，0.3，0.4內(nèi)考察投資閾值關(guān)于跳躍幅度的變化趨勢。圖5為投資閾值θ*關(guān)于產(chǎn)出價格跳躍幅度均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度的變化趨勢。

其他參數(shù)設(shè)置：μI=0.01，μp=0.02，σI=0.01，σP=0.02，ρ=0.5。

從圖8來看，無論產(chǎn)出價格跳躍幅度標(biāo)準(zhǔn)差取哪個值，投資閾值關(guān)于產(chǎn)出價格跳躍幅度均值和偏度的變化趨勢都一致，且投資閾值均關(guān)于平均跳躍幅度絕對值單調(diào)遞增，當(dāng)固定平均跳躍幅度時，投資閾值關(guān)于跳躍幅度偏度單調(diào)遞減。由此可見，引起投資閾值波動的主要因素是產(chǎn)出價格跳躍幅度均值和偏度而不是標(biāo)準(zhǔn)差，這就意味著在考察產(chǎn)出價格突發(fā)事件的影響時， 企業(yè)應(yīng)重點考察突發(fā)事件的平均作用強度和突發(fā)事件的影響方向，即預(yù)測即將來臨的突發(fā)事件是利好消息還是利空消息。而且，投資閾值關(guān)于產(chǎn)出價格跳躍偏度單調(diào)遞減，也就是說，當(dāng)產(chǎn)出價格的突發(fā)事件的利好性質(zhì)越明顯， 企業(yè)越應(yīng)加快執(zhí)行投資期權(quán)。同樣地，該方法可以分析投資成本突發(fā)事件對投資閾值的影響，此處不做贅述。

(a) δP=0.1

(b) δP=0.2

(c) δP=0.3

(d) δP=0.4

3 結(jié) 論

本文假設(shè)企業(yè)投資前面臨兩種不確定因素：項目的投資成本和產(chǎn)出價格。通過放松兩種不確定因素相互獨立的假設(shè)，考慮了投資成本和產(chǎn)出價格的隨機波動之間具有相關(guān)性的情形；同時考慮了突發(fā)事件對兩種不確定因素的影響，在保留跳躍幅度隨機分布的假設(shè)框架下，運用3個統(tǒng)計特征參數(shù)：平均跳躍幅度、躍度波動率、躍度偏度對突發(fā)事件進行刻畫，并結(jié)合理論證明和數(shù)值分析研究了突發(fā)事件對投資閾值的影響，進而推廣了比較靜態(tài)結(jié)果。

結(jié)果表明：投資成本和產(chǎn)出價格之間波動相關(guān)性越大，企業(yè)的投資閾值越小，此時企業(yè)的最佳策略為加快執(zhí)行投資期權(quán)。同時發(fā)現(xiàn)：投資成本和產(chǎn)出價格的突發(fā)事件到達(dá)強度及平均跳躍幅度對投資閾值的影響一致，到達(dá)強度越大，投資閾值越大；同樣地，平均跳躍幅度越大，投資閾值越大，此時企業(yè)的最優(yōu)策略為延遲執(zhí)行投資期權(quán)。而投資成本和產(chǎn)出價格的跳躍幅度波動率和偏度對投資閾值的影響恰好相反，產(chǎn)出價格的跳躍幅度波動率越大，投資閾值越大，跳躍幅度偏度越大，投資閾值越??；而投資成本的跳躍幅度波動率越大，投資閾值越小，跳躍幅度偏度越大，投資閾值越大。這一結(jié)果與現(xiàn)實情況符合。同時，在綜合分析跳躍幅度均值、波動率、偏度對投資閾值共同的影響時發(fā)現(xiàn)：引起投資閾值波動的主要因素是跳躍幅度均值和偏度而不是標(biāo)準(zhǔn)差，因此企業(yè)在作出投資策略前應(yīng)重點考察突發(fā)事件的性質(zhì)和影響方向。

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