李玉學(xué)，馮勵睿，李海云，田玉基

(1. 石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，石家莊 050043；2. 河北省風(fēng)工程與風(fēng)能利用工程技術(shù)創(chuàng)新中心，石家莊 050043；3. 石家莊鐵道大學(xué)道路與鐵道工程安全保障省部共建教育部重點實驗室，石家莊 050043；4. 北京交通大學(xué)結(jié)構(gòu)風(fēng)工程與城市風(fēng)環(huán)境北京市重點實驗室，北京 100044)

近年，為了滿足建筑功能多樣性的需要，造型復(fù)雜、形態(tài)各異、高標(biāo)準(zhǔn)的現(xiàn)代大跨屋蓋結(jié)構(gòu)不斷涌現(xiàn)[1?4]，與傳統(tǒng)屋蓋結(jié)構(gòu)相比，該類大跨屋蓋結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下所表現(xiàn)的脈動風(fēng)振響應(yīng)特性更加復(fù)雜多樣，而如何合理判定結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性，并據(jù)此高效精準(zhǔn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)計算是亟待解決的問題。

圍繞這一問題，國內(nèi)外不少學(xué)者進(jìn)行了研究，比如，Harris[5]由結(jié)構(gòu)在脈動風(fēng)荷載作用下的總均方響應(yīng)與準(zhǔn)靜力響應(yīng)的比值定義了脈動風(fēng)振響應(yīng)特性參數(shù)R，根據(jù)R值將結(jié)構(gòu)劃分為小型靜力結(jié)構(gòu)、中型靜力結(jié)構(gòu)、大型靜力結(jié)構(gòu)和動力結(jié)構(gòu)四類，并針對不同類型結(jié)構(gòu)采用與之對應(yīng)的風(fēng)振響應(yīng)計算方法。在Harris研究基礎(chǔ)上，Cook[6]又將其中的動力結(jié)構(gòu)細(xì)分為一般動力結(jié)構(gòu)和氣動彈性結(jié)構(gòu)兩類。Solari[7]將結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)致共振響應(yīng)占總響應(yīng)的比例大小作為判定結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性的指標(biāo)參數(shù)，據(jù)此將結(jié)構(gòu)劃分為三類，并建議分別采用所提出的簡單方法、詳細(xì)方法和嚴(yán)格方法計算相應(yīng)的陣風(fēng)荷載因子。周晅毅[8]對大跨屋蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)分析時，根據(jù)結(jié)構(gòu)剛度大小將其分為剛性屋蓋結(jié)構(gòu)、非大變形柔性屋蓋結(jié)構(gòu)和大變形柔性屋蓋結(jié)構(gòu)三類，據(jù)此決定風(fēng)振響應(yīng)計算中是否忽略脈動風(fēng)的動力放大效應(yīng)以及結(jié)構(gòu)與來流的耦合效應(yīng)。張建勝等[9]以結(jié)構(gòu)真實脈動風(fēng)振響應(yīng)與假定的點狀剛性結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)比值作為指標(biāo)，對大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性進(jìn)行分類。在張建勝研究基礎(chǔ)上，武岳和常虹[10]研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)自振頻率、矢跨比和約束形式三個參數(shù)對單層柱面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性影響顯著。

1967年Davenport[11]提出將結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振總響應(yīng)分為背景響應(yīng)和共振響應(yīng)分別計算，該思路由于具有明確的物理意義而得到了廣泛應(yīng)用和發(fā)展[12?15]。基于此，有學(xué)者提出根據(jù)脈動風(fēng)致背景響應(yīng)和共振響應(yīng)的比例關(guān)系對大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)特性進(jìn)行分類，據(jù)此分類結(jié)果實現(xiàn)大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)分析的簡化[16?17]。上述研究為合理判定現(xiàn)代復(fù)雜大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性并準(zhǔn)確高效計算其脈動風(fēng)振響應(yīng)提供了清晰思路，但在實際操作過程中仍有一些關(guān)鍵問題需要進(jìn)一步深入研究，主要包括：1)大跨屋蓋結(jié)構(gòu)的脈動風(fēng)振響應(yīng)除了背景分量、共振分量外，二者的耦合效應(yīng)有時也不能忽略，因此按照響應(yīng)分量比例關(guān)系對結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性進(jìn)行分類時，如何兼顧背景、共振耦合項分量的貢獻(xiàn)，對于完善分類結(jié)果非常關(guān)鍵；2)根據(jù)背景、共振及其耦合項分量比例關(guān)系判定大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性之前，需要首先計算得到各響應(yīng)分量的具體數(shù)值，這就使得目前方法只能實現(xiàn)大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)效應(yīng)分析中等效靜力風(fēng)荷載的高效精準(zhǔn)計算，如何在避免對各響應(yīng)分量具體值計算基礎(chǔ)上，全面實現(xiàn)包括風(fēng)振響應(yīng)在內(nèi)的大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)效應(yīng)高效精準(zhǔn)分析還需要深入研究。

本文將針對上述需要深入研究的關(guān)鍵問題，基于大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振背景、共振響應(yīng)及其耦合項完全組合法(下文稱為三分量完全組合法)求解思路，提出一種大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性簡便預(yù)測方法，其目標(biāo)就是在進(jìn)行脈動風(fēng)振響應(yīng)三分量完全組合求解之前，不再需要計算各響應(yīng)分量具體數(shù)值，只借助幾個簡單的風(fēng)荷載參數(shù)與結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)，就可以完成大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)特性的合理判定，從而精準(zhǔn)選定相應(yīng)的分量進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)組合計算。

1 脈動風(fēng)振響應(yīng)三分量完全組合

大跨屋蓋結(jié)構(gòu)在脈動風(fēng)荷載作用下的運動方程為：

綜合考慮結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率大小以及模態(tài)空間分布與脈動風(fēng)荷載空間分布的相關(guān)性強弱，選取m階主要參振模態(tài)進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)計算[18]，根據(jù)模態(tài)疊加原理，則式(1)中的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)可以表示為：

式中： φj和qj(t) 分別為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)向量和模態(tài)坐標(biāo)；qj,b(t) 和qj,r(t) 分別為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)坐標(biāo)背景分量和共振分量。

根據(jù)隨機振動理論，由式(2)可以得到結(jié)構(gòu)某一自由度i上的總響應(yīng)方差：

式(3)為脈動風(fēng)振響應(yīng)三分量完全組合結(jié)果，由于 ρx,br,i的計算需要涉及繁瑣的雙重求和與積分運算，因此在工程實踐中常常將背景、共振響應(yīng)耦合項省略。

已有研究表明[19 ? 20]，對于大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)計算，省略背景、共振響應(yīng)耦合項有時不能得到理想的結(jié)果。更進(jìn)一步地，若在風(fēng)振響應(yīng)計算之前，能夠同時對背景、共振響應(yīng)及其耦合項對總脈動風(fēng)振響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度分別進(jìn)行預(yù)測，即進(jìn)行結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)特性類型判定，就可以實現(xiàn)各分量合理取舍基礎(chǔ)上的風(fēng)振響應(yīng)高效精準(zhǔn)組合計算。

2 脈動風(fēng)振響應(yīng)各分量應(yīng)變能貢獻(xiàn)

為綜合考慮結(jié)構(gòu)所有自由度上脈動風(fēng)振背景、共振響應(yīng)及其耦合項對總響應(yīng)的貢獻(xiàn)，引入應(yīng)變能的概念。

脈動風(fēng)荷載在結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)上做功表示為：

式中：Xd,b(t)為結(jié)構(gòu)所有自由度上瞬時位移響應(yīng)背景分量組成的列向量；ωj為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)頻率；“T”表示向量轉(zhuǎn)置。

對Wb(t)取數(shù)學(xué)期望，得到具有統(tǒng)計意義的背景響應(yīng)應(yīng)變能：

脈動風(fēng)荷載在結(jié)構(gòu)共振響應(yīng)上做功表示為：

式中：Xd,r(t)為結(jié)構(gòu)所有自由度上瞬時位移響應(yīng)共振分量組成的列向量；“·”表示取一階導(dǎo)數(shù)。

對Wr(t)取數(shù)學(xué)期望，得到具有統(tǒng)計意義的共振響應(yīng)應(yīng)變能：

脈動風(fēng)荷載在結(jié)構(gòu)背景、共振響應(yīng)耦合項上做功表示為：

式中：Xd,br(t)為結(jié)構(gòu)所有自由度上瞬時位移響應(yīng)背景、共振耦合項分量組成的列向量；qj,br(t)為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)坐標(biāo)的背景、共振耦合項分量。

對Wbr(t)取數(shù)學(xué)期望，得到具有統(tǒng)計意義的背景、共振響應(yīng)耦合項應(yīng)變能：

將各響應(yīng)分量應(yīng)變能對結(jié)構(gòu)總響應(yīng)應(yīng)變能的貢獻(xiàn)定義為分量預(yù)測系數(shù)，作為風(fēng)振響應(yīng)計算中能否省略該響應(yīng)分量的判定依據(jù)。

由式(6)～式(10)可得背景、共振響應(yīng)及其耦合項分量預(yù)測系數(shù)：

如前所述，要確定式(11)表示的預(yù)測系數(shù)，需要首先計算得到各響應(yīng)分量具體值，而在進(jìn)行脈動風(fēng)振響應(yīng)三分量組合計算之前，各響應(yīng)分量值是未知的，此時也就無法根據(jù)式(11)表示的預(yù)測系數(shù)對各響應(yīng)分量直接做出取舍，因此還需要對上述脈動風(fēng)振響應(yīng)各分量應(yīng)變能進(jìn)行簡化處理。

3 脈動風(fēng)振響應(yīng)各分量應(yīng)變能簡化處理

3.1 背景分量應(yīng)變能

根據(jù)隨機響應(yīng)譜分析方法，結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)譜背景分量為：

根據(jù)式(12)，由方差與譜密度的關(guān)系可得結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)方差背景分量：

將式(13)代入式(6)，可得由結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)和風(fēng)荷載參數(shù)表示的背景響應(yīng)分量應(yīng)變能：

3.2 共振分量應(yīng)變能

同樣，根據(jù)隨機響應(yīng)譜分析方法，結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)譜共振分量為：

根據(jù)式(15)，由方差與譜密度的關(guān)系可得結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)方差共振分量：

圖 1 模態(tài)響應(yīng)共振分量傳遞函數(shù)示意圖Fig.1 Frequency response function of resonant response

根據(jù)圖1模態(tài)響應(yīng)共振分量傳遞函數(shù)的分布形式，可以將式(17)近似分段表示為：

此時，式(16)可以近似表示為：

將式(20)代入式(8)，可得由結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)和風(fēng)荷載參數(shù)表示的共振響應(yīng)分量應(yīng)變能：

圖 2 頻域分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of

3.3 背景、共振耦合項分量應(yīng)變能

同樣，根據(jù)隨機響應(yīng)譜分析方法，結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)譜背景、共振耦合項分量為：

根據(jù)式(22)，由方差與譜密度的關(guān)系可得結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)方差背景、共振耦合項分量：

式中，Hj,br(ω) 為結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)響應(yīng)背景、共振耦合項分量傳遞函數(shù)，其在頻域內(nèi)分布如圖3所示，表達(dá)式為：

根據(jù)圖3模態(tài)響應(yīng)背景、共振耦合項分量傳遞函數(shù)的分布形式，可以將式(24)近似分段表示為：

圖 3 Hj,br(ω)頻域分布示意圖Fig.3 Schematic diagram of Hj,br(ω)

此時，式(23)可以近似表示為：

將式(27)代入式(10)，可得由結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)和風(fēng)荷載參數(shù)表示的背景、共振響應(yīng)耦合項分量應(yīng)變能：

4 脈動風(fēng)振響應(yīng)特性類型預(yù)測判定標(biāo)準(zhǔn)及實施步驟

4.1 預(yù)測判定標(biāo)準(zhǔn)

表 1 大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性預(yù)測表Table 1 Criterion of fluctuating wind-induced response characteristic for large-span roofs

4.2 實施步驟

本文所提大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性預(yù)測法的基本思路為：以應(yīng)變能評價各響應(yīng)分量對總響應(yīng)的貢獻(xiàn)程度，并結(jié)合各響應(yīng)分量的簡化處理，得到只需要結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)和風(fēng)荷載參數(shù)表示的各響應(yīng)分量預(yù)測系數(shù)，借此系數(shù)對結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性進(jìn)行預(yù)測并判定類型，從而有效兼顧大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)的計算效率和計算精度。具體步驟為：

1)首先對大跨屋蓋結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力特性分析，得到各階模態(tài)的自振頻率、模態(tài)分布，同時由經(jīng)驗確定模態(tài)阻尼比；根據(jù)結(jié)構(gòu)模型風(fēng)洞試驗獲取的屋蓋表面風(fēng)荷載信息得到模態(tài)荷載方差和模態(tài)荷載功率譜。

3)由式(11)分別計算各響應(yīng)分量預(yù)測系數(shù)ηb、 ηr和 ηbr，并與按照工程精度要求由工程經(jīng)驗綜合確定的誤差限 εb、 εr和 εbr進(jìn)行比較，由比較結(jié)果依據(jù)表1綜合預(yù)測判定結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性類型，在此基礎(chǔ)上，舍去對結(jié)構(gòu)總響應(yīng)貢獻(xiàn)較小的分量，組合貢獻(xiàn)較大的分量得到脈動風(fēng)振總響應(yīng)。

5 算例分析

按照本文所提大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性預(yù)測方法，以國家網(wǎng)球中心蓮花球場屋蓋結(jié)構(gòu)為例，對其脈動風(fēng)振響應(yīng)特性進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)預(yù)測結(jié)果計算結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)，并與三分量完全組合法計算結(jié)果(精確值)進(jìn)行對比，驗證所提方法的有效性。

5.1 工程概況

國家網(wǎng)球中心蓮花球場屋蓋結(jié)構(gòu)整體形如“蓮花”，由12個“z”形花瓣單元組成，單元之間開有較大洞口，結(jié)構(gòu)新穎，造型獨特，如圖4所示?！皕”形花瓣單元挑蓬屋蓋最高點標(biāo)高23.0 m，懸挑長度21.6 m，并設(shè)置約3°的傾角以方便排水，該屋蓋體型特殊，表面鈍體繞流特性明顯，屬于重要且復(fù)雜的風(fēng)敏感結(jié)構(gòu)，其風(fēng)效應(yīng)分析所需的結(jié)構(gòu)表面風(fēng)荷載需要借助風(fēng)洞試驗獲取。

圖 4 “蓮花”球場Fig.4 Lotus court

5.2 風(fēng)荷載確定及自振特性分析

屋蓋模型風(fēng)洞試驗在某低速風(fēng)洞中進(jìn)行，試驗?zāi)Ｐ桶凑?∶120進(jìn)行縮尺設(shè)計，采用有機玻璃和ABS板制作而成，滿足剛性模型測壓試驗所需的剛度和強度要求?？紤]到結(jié)構(gòu)的對稱性，僅在模型第3和第4單元布置測壓點，每個單元上、下表面共布置78個測點(模型單元編號及測點布置如圖5所示)，采樣頻率為400 Hz，每個測點采集3900個數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理時將上、下表面測點風(fēng)荷載值進(jìn)行疊加，試驗名義風(fēng)速為15 m/s，地面粗糙度類別為B類。試驗過程中，在0°～360°范圍內(nèi)每隔7.5°風(fēng)向角測試并采集數(shù)據(jù)1次，其中以正北方向定義為0°風(fēng)向角，順時針增大，如圖5所示。

圖 5 試驗?zāi)Ｐ蛦卧幪?、測壓點布置及風(fēng)向角定義Fig.5 Element number, pressure taps arrangement and definition of wind angle of experimental model

如4.2節(jié)所述，若對結(jié)構(gòu)進(jìn)行脈動風(fēng)振響應(yīng)特性預(yù)測及風(fēng)振響應(yīng)計算，需要結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)，為此建立了屋蓋結(jié)構(gòu)有限元模型，進(jìn)行動力特性分析，提取了前100階模態(tài)的自振頻率、模態(tài)分布等信息，其中前100階模態(tài)自振頻率分布如圖6所示。由圖6可見，該屋蓋結(jié)構(gòu)頻率分布較密集，風(fēng)振響應(yīng)計算需要考慮多模態(tài)參振。

圖 6 前100階自振頻率分布Fig.6 Natural frequency distribution of the first 100 modes

5.3 風(fēng)振響應(yīng)特性預(yù)測及風(fēng)振響應(yīng)分析

如前所述，該屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)計算需要考慮多模態(tài)參振，因此，綜合考慮結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率大小以及模態(tài)空間分布與脈動風(fēng)荷載空間分布的相關(guān)性強弱[18]，從5.2節(jié)結(jié)構(gòu)動力特性分析提取的屋蓋結(jié)構(gòu)前100階模態(tài)中選取第1階、第2階、第4階、第3階、第6階等共17階為主要參振模態(tài)。

根據(jù)本文方法預(yù)測得到的屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性類型，基于隨機振動理論，計算了結(jié)構(gòu)背景響應(yīng)和共振響應(yīng)，并對其組合得到結(jié)構(gòu)總脈動風(fēng)振位移響應(yīng)極值，其中峰值因子按照極值超越理論得到[21]，同時與傳統(tǒng)的三分量完全組合法計算結(jié)果(精確值)進(jìn)行比較，選取內(nèi)環(huán)屋蓋上12個典型節(jié)點(該位置處于屋蓋迎風(fēng)前緣，為風(fēng)荷載敏感區(qū)域)的計算結(jié)果示于表2，其中所選12個典型節(jié)點位置及編號如圖7所示。

表 2 典型節(jié)點脈動風(fēng)振位移響應(yīng)極值Table 2 Fluctuating wind-induced extreme displacement response of key nodes

圖 7 試驗?zāi)Ｐ偷湫凸?jié)點位置及編號Fig.7 Key nodes locations and numbers of experimental model

由表2可見，根據(jù)本文對該屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性類型預(yù)測結(jié)果，省略背景、共振耦合項分量，只組合背景和共振分量得到的脈動風(fēng)振位移響應(yīng)極值，與三分量完全組合結(jié)果(精確值)相比，除11號節(jié)點誤差為6.433%外，其余所選典型節(jié)點的誤差基本在2%～5%，說明本文方法能夠有效預(yù)測結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性，據(jù)此組合得到的結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振總響應(yīng)具有較好的精度。

6 結(jié)論

針對大跨屋蓋結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)特性的多樣性以及傳統(tǒng)三分量完全組合法求解風(fēng)振響應(yīng)的復(fù)雜性，提出了一種大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性預(yù)測方法，為合理取舍風(fēng)振響應(yīng)三分量，并對其高效精準(zhǔn)組合得到總響應(yīng)提供依據(jù)。主要結(jié)論有：

(1)引入應(yīng)變能的概念，基于風(fēng)振響應(yīng)各分量應(yīng)變能比例關(guān)系，綜合考慮了結(jié)構(gòu)所有節(jié)點上響應(yīng)分量對總響應(yīng)的貢獻(xiàn)，據(jù)此可以實現(xiàn)對大跨屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性類型的判定。

(2)根據(jù)各響應(yīng)分量傳遞函數(shù)和風(fēng)荷載譜特性，通過對各響應(yīng)分量表達(dá)式的簡化處理，能夠避免直接計算各響應(yīng)分量具體值，只需借助風(fēng)荷載參數(shù)和結(jié)構(gòu)動力特性參數(shù)，就可以方便預(yù)測各響應(yīng)分量對總響應(yīng)的貢獻(xiàn)。

(3)采用所提方法，對國家網(wǎng)球中心蓮花球場屋蓋結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性進(jìn)行預(yù)測，根據(jù)預(yù)測結(jié)果，對相應(yīng)的響應(yīng)分量進(jìn)行組合計算。結(jié)果表明，所提方法能夠有效預(yù)測結(jié)構(gòu)脈動風(fēng)振響應(yīng)特性，據(jù)此組合計算的脈動風(fēng)振總響應(yīng)具有較好的精度。