黃 健

（華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 上海 200062）

隨著時代的發(fā)展與科技的進(jìn)步，數(shù)學(xué)正在以空前的廣度與深度向不同領(lǐng)域滲透，數(shù)學(xué)建模也成為各領(lǐng)域研究與實踐必不可少的工具。如今，數(shù)學(xué)建模教學(xué)受到了越來越多的關(guān)注與重視，各國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)紛紛將其列為關(guān)鍵的培養(yǎng)目標(biāo)，由經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）開展的國際學(xué)生評估項目（PISA）也一直把數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評框架中的關(guān)鍵能力。我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)同樣與時俱進(jìn)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》把數(shù)學(xué)建模列為六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，并且首次將其歸為必修課程，可見高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)勢在必行。

然而，許多實證研究與實踐經(jīng)驗都表明，數(shù)學(xué)建模很難進(jìn)行教學(xué)評價。Frejd[1]分析了瑞典國家課程考試（Swedish National Course Tests）中的測試項目，并得出結(jié)論：已有的數(shù)學(xué)建模測評在不同方面（環(huán)節(jié)）存在不平衡現(xiàn)象，如較關(guān)注能否使用已有數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算并得到結(jié)果，而對模型建立的前提與模型的檢驗卻有所遺漏或輕視。根據(jù)Blomh?j與Kjeldsen的觀點[2]，“我們將數(shù)學(xué)建模定義為一種具體能力的教學(xué)理念”正是希望突出數(shù)學(xué)建模的整體性，即應(yīng)該完整地看待數(shù)學(xué)建模過程，而非聚焦在其中的某個環(huán)節(jié)上。因此，若將數(shù)學(xué)建模能力的評價等同于求解應(yīng)用題能力的評價，數(shù)學(xué)建模教學(xué)便失去了其原有的教學(xué)理念。那么，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的評價要如何開展呢？如何更好地評價高中生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)呢？本研究將在總結(jié)已有數(shù)學(xué)建模評價策略的基礎(chǔ)上，提出一種完整數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評價模式，并結(jié)合案例進(jìn)行分析。

一、 數(shù)學(xué)建模能力與測評

要對數(shù)學(xué)建模進(jìn)行測評，首先要回答數(shù)學(xué)建模是什么、可以從哪些方面進(jìn)行評價。目前，數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教育研究界還沒有一個單一的明確定義，不同研究中所使用的定義或給出的描述均取決于所采用的理論觀點[3]。不過，數(shù)學(xué)建模所包含的大致環(huán)節(jié)與特征都是相似的。數(shù)學(xué)教育研究文獻(xiàn)中一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是周期形式的循環(huán)過程。而這個周期必然是在現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界之間不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)換以求利用數(shù)學(xué)解決實際問題的。

2007年Blum等提出的七階段建模流程框架[4]（見圖1），被相關(guān)數(shù)學(xué)建模研究廣泛引用。該框架中，建模過程包含六種狀態(tài)（states）和七個環(huán)節(jié)（stages）。

圖1 七階段建模循環(huán)模型

我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定，“數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)”，即數(shù)學(xué)建模過程主要包括“在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實際問題”，并給出數(shù)學(xué)建模框架圖（見圖2）。最新版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)學(xué)建模的定義與國際數(shù)學(xué)教育研究中對數(shù)學(xué)建模的相關(guān)定義高度一致，建模周期同樣符合Blum提出的七階段建模循環(huán)模型[5]。

圖2 課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)建?？蚣軋D

基于數(shù)學(xué)建模的定義，國際上已有許多數(shù)學(xué)建模的評價策略，大致可以分為兩大類。一是將數(shù)學(xué)建模能力劃分為多項子能力，再分別測評各子能力以評價數(shù)學(xué)建模能力。目前國際上大部分的紙筆測試都選擇用子能力維度去測評數(shù)學(xué)建模能力，因為這部分研究者認(rèn)為在有限的時間內(nèi)完成完整的數(shù)學(xué)建模任務(wù)是困難的。如Haines等人[6]便開發(fā)了一套完整的數(shù)學(xué)建模子能力評價量表，Hankeln團(tuán)隊[7]也通過測試數(shù)學(xué)建模各子能力去綜合評估學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。但正如定義所示，數(shù)學(xué)建模雖然分為多個環(huán)節(jié)，卻是一項完整的能力，因此，能否僅通過各子能力測評學(xué)生建模能力還需進(jìn)一步的實證研究。二是把數(shù)學(xué)建模作為一個完整的能力進(jìn)行測評，換而言之，學(xué)生完整地解決某個數(shù)學(xué)建模問題后，教師才能對其進(jìn)行系統(tǒng)的評價[8]。

完整數(shù)學(xué)建模能力的評價也有許多不同的分析框架，不同研究與教學(xué)的關(guān)注點是不同的。如Henning和Keune[9]在PISA評價框架的基礎(chǔ)上進(jìn)行修改，將數(shù)學(xué)建模能力分為三個水平等級，其中水平1為識別和理解建模（描述建模過程），水平2為獨立建模（解決建模過程并解釋結(jié)果），水平3為建模中進(jìn)行元反思（批判性地分析和反思建模過程）。邵光華與蔣周渠[10]在我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提供的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)三水平劃分的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了三個水平四個方面（情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)、交流與反思）的二維數(shù)學(xué)建模評價框架。徐斌艷[11]則根據(jù)Blum的數(shù)學(xué)七階段建模循環(huán)模型，將數(shù)學(xué)建模能力劃分為六個水平：水平0的學(xué)生無法理解具體的情境或不能識別出任何問題；水平1的學(xué)生能認(rèn)清給出的現(xiàn)實情境，嘗試將情境結(jié)構(gòu)化，以便找出數(shù)學(xué)模型，但是無法找到與數(shù)學(xué)相關(guān)的線索；水平2的學(xué)生能提出一個合理的假設(shè)，并且能夠找出一個數(shù)學(xué)模型，但是不知道如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；水平3的學(xué)生不僅能找到某個現(xiàn)實模型，而且能夠?qū)⑵滢D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并嘗試解決那個數(shù)學(xué)問題，但是最終不能找到滿意的答案，或者不能準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題；水平4的學(xué)生能夠從現(xiàn)實情境中找出數(shù)學(xué)模型，并且在數(shù)學(xué)世界中解決問題，但是忽略了與現(xiàn)實情境的聯(lián)系；水平5的學(xué)生能夠經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，并且結(jié)合現(xiàn)實情境，檢驗數(shù)學(xué)問題解答的合理性。

綜上所述，數(shù)學(xué)建模評價策略復(fù)雜且多樣，各國研究團(tuán)隊都在嘗試構(gòu)建更加全面且有效的評價模式。然而，國外經(jīng)驗雖有助于本土研究的借鑒與參考，但由于國情與基礎(chǔ)的差異，我國高中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價仍然需要更多的實踐與探索。

二、 完整建模問題的設(shè)計

對于我國高中數(shù)學(xué)建模的評價，必不可少的便是完整數(shù)學(xué)建模問題的紙筆測試。那么，設(shè)計合適的數(shù)學(xué)建模問題便是數(shù)學(xué)建模評價的第一步。我國的數(shù)學(xué)教學(xué)長期強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，復(fù)雜多變的應(yīng)用題教學(xué)也是我們的一大教學(xué)特色，這便是如今數(shù)學(xué)建模教學(xué)的有力基石。但數(shù)學(xué)建模問題不等同于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，我們在選取與設(shè)計建模任務(wù)時必然要有所調(diào)整。

數(shù)學(xué)建模問題與數(shù)學(xué)應(yīng)用題相似之處在于，都是以現(xiàn)實背景為載體的數(shù)學(xué)問題，都需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，但兩者的差異也是明顯的。首先，數(shù)學(xué)應(yīng)用題是在學(xué)生學(xué)習(xí)完相關(guān)數(shù)學(xué)知識后用于練習(xí)鞏固的，目的在于提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運用能力，即從數(shù)學(xué)知識指向數(shù)學(xué)問題；而數(shù)學(xué)建模問題一般是沒有明確的知識導(dǎo)向的，一個數(shù)學(xué)建模問題往往有多種解決途徑或數(shù)學(xué)模型，因此數(shù)學(xué)知識的運用并不唯一，學(xué)生可以根據(jù)需求選擇任意數(shù)學(xué)知識，即從數(shù)學(xué)問題指向數(shù)學(xué)知識[12]。其次，數(shù)學(xué)建模問題的背景更加真實，所使用的數(shù)據(jù)往往都是未修飾的，如數(shù)學(xué)應(yīng)用題中可能會出現(xiàn)某人以5米/秒的速度快速奔跑的條件，而建模問題中更有可能出現(xiàn)的是某人跑100米花了19.2秒，至于奔跑速度是多少，需要學(xué)生先自行假設(shè)這個人勻速直線運動再用“路程=速度×?xí)r間”的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。另外，數(shù)學(xué)建模問題一般更加開放，包括條件開放（信息冗余或缺失）、思路開放（可用多種數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)知識）、結(jié)論開放（一般沒有絕對的標(biāo)準(zhǔn)答案，與提出的問題與假設(shè)有關(guān)），而數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般是較為封閉的。因此，在設(shè)計數(shù)學(xué)建模問題時，應(yīng)該把握其關(guān)鍵特征，綜合考慮學(xué)生的知識儲備與題目難度，設(shè)計出合適的測試題。

基于以上要求，研究團(tuán)隊設(shè)計了多個符合我國高中生水平的數(shù)學(xué)建模問題，并形成測試卷。下面以“汽車加油問題”為例進(jìn)行分析，該題改編自德國數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)中的一道例題[13]：

三、 建模測評的案例分析

（一） 分析框架

有了合適的數(shù)學(xué)建模問題后，還需要有與之匹配的評價框架。在各學(xué)段的數(shù)學(xué)建模競賽上，我們對學(xué)生的數(shù)學(xué)建模評價會更多地考慮數(shù)學(xué)模型的嚴(yán)謹(jǐn)性、適用性、創(chuàng)新性等，但對于普通高中生而言，我們勢必要適當(dāng)降低數(shù)學(xué)難度要求，評價上也應(yīng)該更加關(guān)注學(xué)生是否掌握了數(shù)學(xué)建模的過程與思維方式，即如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言描述世界。因此，結(jié)合Henning和Keune提出的三維度框架和徐斌艷的六水平框架，我們可以從過程維度、能力維度、創(chuàng)新維度三方面結(jié)合定量與定性的方法評價學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平。

過程維度主要評價學(xué)生能否識別和理解數(shù)學(xué)建模，即關(guān)注學(xué)生是否知道數(shù)學(xué)建模的主要環(huán)節(jié)，能否進(jìn)行到相應(yīng)的步驟。如對于汽車加油問題，該維度評價學(xué)生是否提出了數(shù)學(xué)問題，建立了數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行求解和檢驗等，但該過程不涉及正確性評價，即“學(xué)生所建模型不合理，依舊進(jìn)行到了后續(xù)階段，便可以認(rèn)定學(xué)生在過程維度上表現(xiàn)良好”。當(dāng)然，過程維度也可以細(xì)分為六個水平，定量地進(jìn)行評價[14]。能力維度則參考徐斌艷的六水平框架，考慮學(xué)生建模過程中的正確性，以此評價學(xué)生處于哪一水平。如某個學(xué)生完整地構(gòu)建、求解并檢驗了數(shù)學(xué)模型，但在求解模型的過程中出錯，那么可以評價該生在過程維度上優(yōu)秀，但能力維度上處于水平3。最后的創(chuàng)新維度是一個加分項，希望教師更多地進(jìn)行定性評價，學(xué)生在問題提出、模型構(gòu)建、模型檢驗等環(huán)節(jié)均有可能出現(xiàn)創(chuàng)新點，教師應(yīng)該給予高度肯定。

（二） 案例分析

基于已設(shè)計的高中數(shù)學(xué)建模測試卷，我們對12名職前數(shù)學(xué)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測評，并結(jié)合評價框架分析其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的表現(xiàn)。這一方面檢驗了數(shù)學(xué)建模測試題的合理性和信效度；另一方面也為分析數(shù)學(xué)建模問題提供了評價案例參考。

以汽車加油問題為例，我們發(fā)現(xiàn)12名職前教師皆有良好的過程維度表現(xiàn)，有66.7%的職前教師能進(jìn)行完整的一輪數(shù)學(xué)建模過程，其中有2名被試甚至進(jìn)行了兩輪完整的數(shù)學(xué)建模過程，即模型檢驗后發(fā)現(xiàn)模型的不足，對其進(jìn)行優(yōu)化并重新建模。而剩下33.3%的職前教師缺少檢驗環(huán)節(jié)，可見，數(shù)學(xué)建模過程中的模型檢驗環(huán)節(jié)即使在教師層面也經(jīng)常會被忽略。能力維度上，被試中有25.0%達(dá)到最高的水平5，58.7%達(dá)到水平4，一名達(dá)到水平3，另一名由于所建模型不夠合理僅停留在水平2。

最后創(chuàng)新維度上的評價需要更加全面地審視各建模方法的特征?；诖耍覀兏鶕?jù)完整進(jìn)行了一輪建模的8名被試所構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的不同，把所有的建模求解過程分為四大類進(jìn)行討論。

模型一：直接計算加一定量油（如加滿或40L等）時兩個加油站所花費用之差，再計算兩個地點耗油量所產(chǎn)生的費用之差，由此比較花費與節(jié)省的金額大小判斷是否前往加油。

模型一是一個較為簡單的模型，直接利用假設(shè)的加油量計算結(jié)果進(jìn)行比較得到結(jié)論，較為符合高中生的思維習(xí)慣。A、B、C三名職前教師所構(gòu)建的模型皆為模型一，雖然構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型相同，但數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的表現(xiàn)卻有所不同。首先，三位職前教師在模型求解上都出現(xiàn)了一些問題，如職前教師A在模型求解過程中出現(xiàn)計算錯誤（把算出的耗油量當(dāng)作耗油費用），導(dǎo)致模型求解出錯；而職前教師B與職前教師C在計算耗油費用時都只計算了單程的費用。另外，三種解法最大的差異在于模型檢驗環(huán)節(jié)。職前教師B僅比較了花費之差便得出結(jié)論，雖然對數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行了解釋（應(yīng)用到實際問題中），但缺少驗證環(huán)節(jié)；職前教師A則進(jìn)行了一定的檢驗討論，考慮到實際背景下到黃浦區(qū)加油所得到的優(yōu)惠金額較小且存在其他方面的消耗，因此給出與數(shù)學(xué)結(jié)果相反的現(xiàn)實結(jié)論；職前教師C進(jìn)一步分析了時間成本對該模型的影響，借此改進(jìn)模型，構(gòu)建了綜合考慮費用與時間的評價模型解決問題。綜上所述，對相同數(shù)學(xué)模型的不同求解過程進(jìn)行比較，很快可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的差異。雖然職前教師C優(yōu)化后得到的模型較為粗糙，但考慮到紙筆測試時間有限，該模型相對而言已有一定的參考價值，創(chuàng)新維度上應(yīng)該給予充分的肯定。

模型二：通過建立兩個加油站加油總費用與汽車所剩油量之間的函數(shù)關(guān)系，比較函數(shù)值大小判斷是否前往加油。

* 結(jié)果保留兩位小數(shù)

模型二較為合理，能夠通過函數(shù)之間的關(guān)系回答數(shù)學(xué)建模問題，而最終的結(jié)果與汽車剩余油量有關(guān)。但該模型在實際構(gòu)建過程中也有容易被忽視的部分。如職前教師D雖然試圖構(gòu)建模型二，但僅僅用加油費用進(jìn)行比較，未考慮因路上的耗油量而產(chǎn)生的費用差異問題，導(dǎo)致所構(gòu)建的模型在合理性上存在問題。職前教師E所構(gòu)建的模型二相對完整，以實際加油費用與來回路上耗油費用之和作為因變量進(jìn)行比較，所得結(jié)果較為準(zhǔn)確。不過，職前教師E的建模過程中模型檢驗環(huán)節(jié)可以進(jìn)一步優(yōu)化，如考慮優(yōu)惠幅度大小。

模型三：通過建立兩個加油站加油總費用與加油量之間的函數(shù)關(guān)系，比較函數(shù)值大小判斷是否前往加油。

* 結(jié)果保留兩位小數(shù)

模型三與模型二的構(gòu)建方式是類似的，但自變量選擇不同，關(guān)注點有一定差異。被試在建模過程中也存在一些問題，如職前教師F僅考慮單程油量，因此得到的結(jié)果合理性一般，模型有待進(jìn)一步優(yōu)化；而職前教師G考慮較為周全，構(gòu)建的模型良好，且過程完整，過程維度與能力維度上皆為優(yōu)秀，若在模型檢驗上更加細(xì)致一些將更上一層樓。

模型四：通過建立兩個加油站加滿油后回到家時所剩油量的單位價值與原剩余油量之間的函數(shù)關(guān)系，比較函數(shù)值大小判斷是否前往加油。

模型四較有新意，職前教師H考慮到在不同加油點加滿油后回到家時所剩油量是不同的，因此針對最終的油量構(gòu)建一個單位價值模型，由此比較更劃算的方案。不過該建模過程中最大的問題依舊是缺少模型檢驗環(huán)節(jié)。

通過對以上四類模型的分析可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)學(xué)建模問題符合開放性原則，被試可以有多種不同的建模方式。對于各種模型的構(gòu)建與解答過程，我們自然不能一概而論地進(jìn)行評價，過程維度只能反映被試解答的完整性與對數(shù)學(xué)建模的基本認(rèn)知水平，能力維度僅能反映被試在該問題上求解的合理性、嚴(yán)謹(jǐn)性與問題解決程度，但這兩個維度并不能完整地描述被試的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平。如職前教師C的解答過程，從過程維度上看必然是優(yōu)秀的；不過，其在初建模型時沒有考慮到來回加油站的雙程耗油費用，導(dǎo)致模型構(gòu)建不合理，能力維度上僅達(dá)到中等水平；數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)還應(yīng)該考慮到被試的完整建模表現(xiàn)，從模型優(yōu)化方面看，職前教師C的過程是具有明顯創(chuàng)新性的，是需要鼓勵和肯定的，因此，該維度上的表現(xiàn)亦是不容忽視的。

四、 數(shù)學(xué)建模評價策略反思與建議

基于已有研究的發(fā)現(xiàn)與本案例的分析，可見數(shù)學(xué)建模測評依舊是研究與實踐的一大難點，雖然數(shù)學(xué)教育界并沒有較為公認(rèn)與統(tǒng)一的評價標(biāo)準(zhǔn)，但在不同的研究中我們總能找到一些可取長補(bǔ)短的借鑒點。

（一） 關(guān)注完整問題的解決

數(shù)學(xué)建模的測評應(yīng)該更多地關(guān)注完整的數(shù)學(xué)建模能力，在學(xué)生完整解決某建模問題的基礎(chǔ)上對其進(jìn)行評價才能更加全面地評測其數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平?？紤]到測評時間有限，每次進(jìn)行紙筆測試的題量不宜超過3道，因此，設(shè)計出合適的建模問題是數(shù)學(xué)建模測評的關(guān)鍵。但教師并不是從零開始的，教材中有著豐富的數(shù)學(xué)應(yīng)用題，這些都是數(shù)學(xué)建模問題改編的有效資源。如何把數(shù)學(xué)應(yīng)用題改編為合格的數(shù)學(xué)建模問題便是每位數(shù)學(xué)教師都需要提升的教學(xué)能力之一。

（二） 注重定量與定性相結(jié)合

數(shù)學(xué)建模問題不同于經(jīng)典的數(shù)學(xué)測試題，很難從純定量的角度對其進(jìn)行評價，因為學(xué)生對某一建模問題的解答途徑是開放的，教師很難預(yù)設(shè)學(xué)生的所有建模策略，而且不同建模問題的過程與難點也是截然不同的，因此現(xiàn)階段難以構(gòu)建出一套適用于所有問題的評價體系。這方面的探索依舊是目前數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的焦點，而在一線教學(xué)中，教師應(yīng)該更多地結(jié)合定量與定性方法去評價學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。以上的案例分析已為我們提供了一種有效的途徑，即先以不同數(shù)學(xué)模型對解答過程進(jìn)行分類，再在同一模型下評價學(xué)生建模過程的優(yōu)劣，進(jìn)而在不同模型間評價其創(chuàng)新性等。

（三） 重視多個維度并行評價

數(shù)學(xué)建模測評所關(guān)注的維度必然不是唯一或單一的，本研究中所呈現(xiàn)的三個維度便是不同測評點的整合。正如前文所言，課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)全體學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，并不是要求把所有學(xué)生都培養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模專家，而是希望學(xué)生都能擁有用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力與意識。因此，在數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評價過程中，我們應(yīng)該適當(dāng)降低建模過程中的數(shù)學(xué)維度要求，更多地關(guān)注數(shù)學(xué)建模中過程維度與創(chuàng)新維度的評價。能夠用復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識解決實際問題固然是最理想的教學(xué)目標(biāo)，但我們也要承認(rèn)大部分的中學(xué)生僅能使用較為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識分析和一定程度上去解決現(xiàn)實問題。在此前提下，我們的目標(biāo)不是讓學(xué)生用更加高級的數(shù)學(xué)去解決問題，而是讓學(xué)生能夠順利地把現(xiàn)實問題簡化為數(shù)學(xué)問題，能夠合理地用數(shù)學(xué)知識分析問題，能夠多角度地反思數(shù)學(xué)結(jié)果與現(xiàn)實結(jié)果之間的差距并嘗試優(yōu)化模型，并且能夠大膽且有創(chuàng)造性地去解決問題。因此，在教學(xué)實踐中，我們應(yīng)該更加全面地評價學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程，多維度評價更有利于學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模的價值與自身的不足，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的提升。

數(shù)學(xué)建模測評的研究與實踐沒有終點，研究者與教育者都在不斷探索更加有效的評價策略與途徑。但難測評并不是無法測評，本研究為數(shù)學(xué)建模測評提供了一種有效的評價策略。教師應(yīng)該克服唯分?jǐn)?shù)論的教學(xué)評價思維，更多地從形成性評價的角度去認(rèn)識數(shù)學(xué)建模測評，因為評價的目的不僅僅是為學(xué)生的能力水平定一個具體的分?jǐn)?shù)，而是為了更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的教學(xué)。一個數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價策略的有效性，一方面取決于其能否全面準(zhǔn)確地評估學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；另一方面取決于其能否為下一步的數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供有力的證據(jù)與明確的方向。

本研究也能從另一個側(cè)面反映出職前教師數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的水平，該群體具有較好的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，但依舊可以看到不少問題。如過程維度上，仍有少量被試忽視了模型檢驗環(huán)節(jié)，這也是實際教學(xué)中需要強(qiáng)調(diào)的。而在能力維度上，往往容易出現(xiàn)計算錯誤或變量缺失的情況，這是由于實際問題背景下的信息較為復(fù)雜，解決問題過程中容易造成遺漏，這也是教學(xué)過程中需要特別關(guān)注的?？傊?，只有在教師群體都具有較高數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的前提下，我們才能進(jìn)一步探討對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)，而教師群體中出現(xiàn)的問題與不足也往往都是實際教學(xué)中容易被忽視的難點，值得我們進(jìn)一步重視與研究。