趙躍新, 齊望東, 劉 鵬, 袁 恩, 徐 兵

(1.陸軍工程大學(xué)指揮控制工程學(xué)院, 江蘇 南京 210007; 2.東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇 南京 210096; 3.網(wǎng)絡(luò)通信與安全紫金山實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 211111)

0 引 言

目標(biāo)跟蹤在無線通信、物聯(lián)網(wǎng)、雷達(dá)聲吶等領(lǐng)域得到了廣泛的研究與應(yīng)用,主要包括導(dǎo)航定位[1-2]、偵察監(jiān)控[3-4]、精確制導(dǎo)[5-6]等方面,旨在利用觀測(cè)站采集的到達(dá)角(angle of arrival, AoA)、傳播時(shí)間、到達(dá)時(shí)間差等測(cè)量值來估計(jì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置和速度。隨著陣列天線及其信號(hào)處理的技術(shù)發(fā)展與大量應(yīng)用,比如5G的大規(guī)模天線陣列和波束成形,AoA測(cè)量已經(jīng)在許多低成本硬件平臺(tái)上得以實(shí)現(xiàn)[7-9],使得基于AoA的目標(biāo)跟蹤具有更廣的適用范圍。

AoA觀測(cè)方程和目標(biāo)狀態(tài)存在非線性關(guān)系,使得AoA目標(biāo)跟蹤具有很大的挑戰(zhàn)性。由于經(jīng)典卡爾曼濾波無法適用于非線性狀態(tài)空間模型,所以需要采用非線性濾波算法處理AoA觀測(cè)方程。擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)通過一階泰勒級(jí)數(shù)近似得到線性化的觀測(cè)方程,但是截?cái)嗾`差使得EKF在初始狀態(tài)誤差和觀測(cè)噪聲較大時(shí)容易發(fā)散[10]。容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter, CKF)、無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)等Sigma點(diǎn)卡爾曼濾波算法[11-12]并沒有近似非線性函數(shù),而是通過選擇一組Sigma點(diǎn)近似目標(biāo)狀態(tài)的高斯分布統(tǒng)計(jì)量,可獲得二階泰勒近似精度,其穩(wěn)定性更好,但是計(jì)算開銷大。粒子濾波[13]從后驗(yàn)概率中抽取隨機(jī)狀態(tài)粒子并以此表達(dá)其分布,可處理非線性模型和非高斯噪聲分布,然而計(jì)算復(fù)雜度很高,難以適用于實(shí)時(shí)目標(biāo)跟蹤。

與上述非線性濾波算法不同,偽線性卡爾曼濾波[14-15](pseudo linear Kalman filter, PLKF)利用等價(jià)運(yùn)算將AoA觀測(cè)方程轉(zhuǎn)換為偽線性形式,不需要近似處理非線性函數(shù),可以直接應(yīng)用線性卡爾曼濾波到偽線性觀測(cè)方程。PLKF不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算高效,可滿足實(shí)時(shí)跟蹤目標(biāo)的要求,而且對(duì)初始誤差十分魯棒,不容易受到初始狀態(tài)的影響[16]。然而,偽線性化會(huì)使得PLKF產(chǎn)生估計(jì)偏差,該偏差不能通過提高觀測(cè)總數(shù)來降低,在觀測(cè)噪聲嚴(yán)重的情況下更為明顯,導(dǎo)致跟蹤性能急劇退化[17]。

圍繞PLKF的偏差問題,改進(jìn)算法主要分為兩類:一類是偏差補(bǔ)償PLKF[18-19](bias-compensated PLKF, BC-PLKF),另一類是基于工具變量的卡爾曼濾波[17,20](instrumental variable Kalman filter, IVKF)。其中,BC-PLKF通過計(jì)算PLKF的估計(jì)偏差并進(jìn)行補(bǔ)償,以提高跟蹤精度;IVKF利用工具變量矩陣減小偽線性噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣的相關(guān)性,可以有效降低偏差。隨著觀測(cè)噪聲增加,偏差補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)確性降低,而工具變量矩陣和觀測(cè)系數(shù)矩陣的相關(guān)性減弱,這兩類方法都使性能顯著降低。對(duì)此,采用選擇性角度測(cè)量IVKF(selective-angle-measurement IVKF，SAM-IVKF)策略[21],當(dāng)符合SAM條件時(shí)使用BC-PLKF的狀態(tài)估計(jì)值構(gòu)造工具變量矩陣再執(zhí)行IVKF,否則只需運(yùn)行BC-PLKF。但是SAM-IVKF本質(zhì)上還是基于偏差補(bǔ)償和工具變量思想,并且SAM閾值并不是自適應(yīng)確定,所以在噪聲嚴(yán)重時(shí)跟蹤性能仍然會(huì)出現(xiàn)明顯的下降。

針對(duì)上述問題,本文將擴(kuò)展觀測(cè)矩陣思想[22-23]融入卡爾曼濾波框架,提出了用于三維AoA目標(biāo)跟蹤的二次約束卡爾曼濾波(quadratic constraint Kalman filter, QCKF)算法。該算法通過構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并附加二次約束以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)更新,再利用矩陣擾動(dòng)方法完成協(xié)方差矩陣更新。QCKF的核心思想是引入涉及所有觀測(cè)噪聲項(xiàng)的增廣矩陣,接著對(duì)等價(jià)于線性卡爾曼濾波的目標(biāo)函數(shù)添加二次約束,使其在待估計(jì)狀態(tài)為真實(shí)值時(shí)達(dá)到最小值,以此降低由偽線性噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣之間相關(guān)性所引起的估計(jì)偏差。仿真分析對(duì)比了PLKF、EKF、BC-PLKF、SAM-IVKF、UKF以及QCKF的跟蹤性能,充分表明了本文算法的優(yōu)越性,其均方根誤差(root mean squared error, RMSE)在低噪聲情況下可達(dá)到后驗(yàn)克拉美羅下界(Cramer-Rao lower bound, CRLB),當(dāng)噪聲嚴(yán)重時(shí)具有更高的跟蹤精度,并且計(jì)算復(fù)雜度不高。

1 三維AoA目標(biāo)跟蹤

圖1 三維AoA目標(biāo)跟蹤示意圖

xk=Fk-1xk-1+wk-1

(1)

假設(shè)目標(biāo)進(jìn)行勻速運(yùn)動(dòng),則Fk和Qk的表達(dá)式如下:

(2)

式中:Ts為相鄰時(shí)刻的采樣間隔;Qρ=diag(ρx,ρy,ρz),ρx、ρy和ρz分別為過程噪聲在x、y和z坐標(biāo)軸上的功率譜密度。目標(biāo)可以通過調(diào)整Fk將勻速運(yùn)動(dòng)模型替換為勻加速運(yùn)動(dòng)、勻速率轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)等其他動(dòng)態(tài)模型,同時(shí)Qk隨之進(jìn)行相應(yīng)變化。

在k時(shí)刻,目標(biāo)相對(duì)于第i個(gè)觀測(cè)站的AoA包括方位角θi,k和俯仰角φi,k,并且θi,k∈(-π,π)以及φi,k∈(-π/2,π/2),其觀測(cè)方程為

(3)

(4a)

(4b)

(5)

2 PLKF分析

針對(duì)AoA目標(biāo)跟蹤的非線性狀態(tài)估計(jì)問題,PLKF是一種簡(jiǎn)單有效的非線性濾波算法,利用等價(jià)運(yùn)算將非線性觀測(cè)方程轉(zhuǎn)換為偽線性形式,不采取近似的線性化處理。然而,偽線性化會(huì)導(dǎo)致PLKF出現(xiàn)有偏估計(jì),特別是在噪聲嚴(yán)重時(shí)性能快速下降。因此,本節(jié)在推導(dǎo)三維PLKF的基礎(chǔ)上,分析其偏差構(gòu)成及影響,給出引起估計(jì)偏差的主要原因。

2.1 PLKF

方位角θi,k的觀測(cè)方程(4a)通過等價(jià)代數(shù)運(yùn)算可轉(zhuǎn)換為

(6)

式中:uθ i,k=[sinθi,k,-cosθi,k,0]T;L=[I3×3,03×3]。在實(shí)際情況下,受觀測(cè)噪聲影響的式(6)變?yōu)?/p>

(7)

同理,俯仰角φi,k的觀測(cè)方程(4b)等價(jià)為

(8)

(9)

通過組合每個(gè)觀測(cè)站的式(7)和式(9),從而得到偽線性形式的觀測(cè)方程為

(10)

偽線性方程式(10)與非線性觀測(cè)方程式(5)相比已轉(zhuǎn)換為線性形式,然后將線性卡爾曼濾波應(yīng)用于式(1)和式(10)可得PLKF,具體步驟如下。

步驟 1時(shí)間更新:

(11a)

(11b)

步驟 2測(cè)量更新:

(11c)

(11d)

Pk|k=(I-KkHk)Pk|k-1

(11e)

2.2 偏差分析

(12)

式(12)減去真實(shí)狀態(tài)xk可得到瞬時(shí)估計(jì)偏差為

(13)

γk=E{σk}=E{σk1}+E{σk2}+E{σk3}

(14)

式中：

估計(jì)偏差γk由包括3部分:① 前一個(gè)時(shí)刻預(yù)測(cè)值所引入的偏差E{σk1};②Pk|k和wk-1相關(guān)性造成的偏差E{σk2};③ 觀測(cè)系數(shù)矩陣Hk和偽線性噪聲向量εk相關(guān)性引起的偏差E{σk3}。其中,E{σk1}在其余兩項(xiàng)偏差等于0時(shí)可忽略;Pk|k和系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān),所以與wk-1相關(guān),但對(duì)于速度接近恒定的目標(biāo),過程噪聲較小,使得Pk|k和wk-1相關(guān)性很弱,可得E{σk2}≈0。然而,Hk和εk均受到觀測(cè)噪聲影響,其相關(guān)性不可忽略,從而E{σk3}≠0。因此,觀測(cè)系數(shù)矩陣和偽線性噪聲向量的相關(guān)性是PLKF失去無偏性的主要原因,其偏差不會(huì)隨著觀測(cè)總數(shù)的增加而降低,并且在觀測(cè)噪聲嚴(yán)重時(shí)更顯著,造成估計(jì)性能明顯退化。

3 QCKF

為減小PLKF的狀態(tài)估計(jì)偏差,需要降低觀測(cè)噪聲相關(guān)性的影響。本文提出的QCKF算法仍使用與觀測(cè)噪聲無關(guān)的狀態(tài)預(yù)測(cè)方程(11a)及其協(xié)方差矩陣方程(11b),然后附加二次約束實(shí)現(xiàn)狀態(tài)更新,再利用矩陣擾動(dòng)方法完成協(xié)方差矩陣更新。

3.1 狀態(tài)更新

結(jié)合線性卡爾曼濾波的狀態(tài)估計(jì)協(xié)方差最小準(zhǔn)則,可構(gòu)造等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

其中，

ηi,k=[0,nθ i,k]T

Λ1,k和Λ2,k的第2i-1行和第2i行(i=1,2,…,N)分別為

Λ2,k(2i-1,:)=0T

其中，

將式(17)和式(18)代入式(16)可得

(20)

為分析噪聲擾動(dòng)矩陣ΔAk和ΔBk對(duì)狀態(tài)估計(jì)偏差的影響,對(duì)式(20)取期望可得

(21)

由于ΔAk和ΔBk的均值為零矩陣,所以式(20)的右側(cè)第3項(xiàng)在式(21)中也等于0。根據(jù)式(17)中ΔAk定義,可得

(22)

(23)

(24)

式中的約束值μk可取任意正數(shù),約束矩陣Ωk的表達(dá)式為

(25)

式中：

由于具有等式的二次約束優(yōu)化問題式(24)可通過拉格朗日乘子法進(jìn)行求解,所以需要最小化的輔助目標(biāo)函數(shù)為

(26)

式中：λ為拉格朗日乘子。通過式(26)對(duì)mk求偏導(dǎo),并令其等于0,可得

(27)

(28)

(29)

3.2 協(xié)方差矩陣更新

由于狀態(tài)更新采用廣義特征值分解進(jìn)行優(yōu)化問題的求解,所以無法直接利用解析表達(dá)式推導(dǎo)協(xié)方差矩陣。對(duì)此,本節(jié)結(jié)合約束條件,利用矩陣擾動(dòng)方法完成協(xié)方差矩陣更新。

(30)

(31)

式中：Φ1,k和Φ2,k的第2i-1行和第2i行(i=1,2,…,N)分別為

Φ2,k(2i-1,:)=0T

(32)

將式(32)代入式(24),然后約束優(yōu)化問題等價(jià)于

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

結(jié)合式(41)和式(42),可得

(43)

Tk((Φ2,kTkDk)⊙Θk)12N

(44)

式中：

Θk=blkdiag{Θ1,k,Θ2,k,…,ΘN,k}

(45)

(46)

結(jié)合觀測(cè)方程偽線性化、二次約束狀態(tài)更新及其協(xié)方差矩陣更新,QCKF算法的流程總結(jié)如下。

算法1 QCKF輸入: x^k-1|k-1,Pk-1|k-1,Fk-1,Qk-1,R-k,y^k,S=[s1,s2,…,sN]時(shí)間更新: x^k|k-1=Fk-1x^k-1|k-1 Pk|k-1=Fk-1Pk-1|k-1FTk-1+Qk-1觀測(cè)方程偽線性化: [z^k,Hk]=pesudo-linear(y^k,S) ∥式(7)和式(9)Dk=f(x^k|k-1,S) ∥Dk定義于式(10)之下Rk=DkR-kDTk測(cè)量更新: 構(gòu)造增廣矩陣:Ak=[-I,x^k|k-1],Bk=[-Hk,z^k] 計(jì)算約束矩陣:Ωk ∥式(25) ^mk=min{eig(ATkP-1k|k-1Ak+BTkR-1kBk,Ωk)} x^k|k=^mk(1∶6)^mk(7) 更新觀測(cè)矩陣Hk|k∥x^k|k反推觀測(cè)值代入Hk Pk|k=(P-1k|k-1+HTk|kR-1kHk|k)-1輸出:x^k|k,Pk|k

4 性能指標(biāo)

4.1 偏差和RMSE

(47a)

(47b)

式中:M為蒙特卡羅仿真次數(shù)。進(jìn)一步可得目標(biāo)跟蹤的時(shí)間平均偏差和RMSE:

(48a)

(48b)

式中：U=Nt-Lt+1,Nt為整個(gè)跟蹤階段的觀測(cè)次數(shù)；Lt表示時(shí)刻偏移量,是為了降低跟蹤初始階段的誤差對(duì)客觀比較性能影響。

4.2 CRLB

參數(shù)估計(jì)的RMSE下界通過CRLB表示,該指標(biāo)可作為評(píng)估性能的參考值。由于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移還受到過程噪聲的影響,所以使用后驗(yàn)CRLB(posterior CRLB, PCRLB)[26]作為狀態(tài)估計(jì)性能的參考值,從而可以給出不等式：

(49)

式中：Jk為Fisher信息矩陣,可通過遞推公式計(jì)算得到

(50)

(51)

式中:

所以,目標(biāo)跟蹤的時(shí)間平均PCRLB為

(52)

5 仿真分析

為評(píng)估本文所提QCKF算法的跟蹤性能,通過蒙特卡羅仿真對(duì)比該算法與PLKF、EKF、BC-PLKF、SAM-IVKF以及UKF的三維AoA目標(biāo)跟蹤精度,以狀態(tài)估計(jì)的偏差和RMSE作為性能指標(biāo),并用PCRLB的平方根(PCRLB1/2)作為RMSE的參考下界。仿真不僅分析各算法在不同觀測(cè)噪聲水平下的性能,而且對(duì)比跟蹤誤差在指定噪聲水平下隨時(shí)刻的變化情況,同時(shí)給出各算法的相對(duì)運(yùn)行時(shí)間。

5.1 仿真參數(shù)

圖2 目標(biāo)跟蹤仿真場(chǎng)景

為降低初始跟蹤階段的誤差影響,時(shí)間平均偏差和RMSE的偏移參數(shù)Lt=20。SAM-IVKF在時(shí)刻k≤30時(shí)執(zhí)行BC-PLKF算法,并且SAM策略的閾值為4σ。UKF算法需要計(jì)算尺度因子,相關(guān)參數(shù)取值為α=0.5、β=2以及κ=0。

本文QCKF以及PLKF、BC-PLKF和SAM-IVKF算法均建立在觀測(cè)噪聲較小的條件下,但觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ的取值區(qū)間并沒有參考指標(biāo),這主要源自兩方面原因:一方面噪聲近似誤差與狀態(tài)估計(jì)誤差的關(guān)系難以構(gòu)建,另一方面噪聲近似誤差對(duì)狀態(tài)估計(jì)誤差的影響能否忽略是與具體的應(yīng)用需求相關(guān)。對(duì)此,結(jié)合基站進(jìn)行三維跟蹤無人機(jī)的仿真場(chǎng)景,以sinnθ,k≈nθ,k和sinnφ,k≈nφ,k的1σ近似誤差小于1%作為觀測(cè)噪聲較小的適用條件,所以其標(biāo)準(zhǔn)差σ取值為{1°,2°,…,12°}。此外,所有算法的蒙特卡羅仿真次數(shù)M=10 000。

5.2 仿真結(jié)果

圖3和圖4分別為狀態(tài)估計(jì)的位置誤差和速度誤差隨著觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差的變化情況。

圖3 位置誤差隨觀測(cè)噪聲變化

圖4 速度誤差隨觀測(cè)噪聲變化

從圖3(a)可看出,PLKF的位置偏差最大,并且隨著噪聲增大而快速增加;EKF在低噪聲條件情況下位置偏差較小,但是當(dāng)σ≥7°時(shí)其偏差也開始較快增加;BC-PLKF的偏差補(bǔ)償方法能有效降低PLKF的偏差影響,但位置偏差也依然逐步變大,其原因在于偏差補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)確性隨著噪聲增大而降低;SAM-IVKF、UKF和QCKF的位置偏差性能比較接近,均維持在較低水平,尤其當(dāng)噪聲大時(shí)QCKF的位置偏差比其他算法更低。

由圖3(b)可知,PLKF的位置RMSE仍然最大,這主要由位置偏差影響所造成;EKF在σ≤4°時(shí)可以達(dá)到后驗(yàn)克拉美羅界,但隨著噪聲增加,其跟蹤誤差迅速增大,因?yàn)橐浑A近似引起的初值敏感和發(fā)散問題顯現(xiàn);BC-PLKF相較于PLKF的位置RMSE顯著降低,但跟蹤性能差于SAM-IVKF、UKF和QCKF;當(dāng)σ≥9°時(shí),SAM-IVKF的位置RMSE明顯增加,此時(shí)SAM策略逐步以偏差補(bǔ)償濾波為主導(dǎo),所以其誤差與BC-PLKF不斷接近;QCKF在噪聲大(σ≥7°)的情況下,位置RMSE始終低于其他算法,尤其當(dāng)σ=12°時(shí)具有更明顯的優(yōu)勢(shì),表明其目標(biāo)跟蹤的抗噪聲能力更強(qiáng)。

圖4展示的速度偏差和RMSE情況與圖3的分析類似,但是各算法的速度估計(jì)相較于位置估計(jì)而言性能差異更小。QCKF的速度估計(jì)性能遠(yuǎn)優(yōu)于PLKF和EKF,略優(yōu)于BC-PLKF、SAM-IVKF以及UKF。因此,圖3和圖4表明即使在速度估計(jì)誤差接近的情況下,QCKF可以實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的目標(biāo)位置跟蹤,特別是在噪聲很大時(shí)優(yōu)勢(shì)更加突出。表1給出了σ=12°時(shí)的95%置信區(qū)間寬度,其中EKF的寬度最大,其他算法的差異較小。由于置信區(qū)間寬度遠(yuǎn)低于位置和速度誤差,所以圖3和圖4的結(jié)果及分析是可靠有效的。

表1 σ=12°時(shí)95%置信區(qū)間寬度

圖5～圖7給出了不同觀測(cè)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)跟蹤誤差隨時(shí)刻k的變化情況。由于目標(biāo)跟蹤旨在獲得目標(biāo)位置,并且位置和速度的跟蹤誤差變化情況類似,所以圖5～圖7僅展示位置偏差和RMSE的變化趨勢(shì)。為便于直觀區(qū)分不同算法的數(shù)據(jù)曲線,圖中每隔5個(gè)時(shí)刻進(jìn)行符號(hào)標(biāo)記,但實(shí)際數(shù)據(jù)時(shí)刻間隔仍為1。從圖5(σ=3°)可看出,PLKF受到不斷增大的偏差影響,位置誤差隨時(shí)刻快速增加,而其他算法偏差較低,并且可以一直逼近PCRLB。由圖6(σ=8°)可知,PLKF和EKF在初始階段誤差明顯增加,進(jìn)而出現(xiàn)發(fā)散趨勢(shì);BC-PLKF從時(shí)刻k=35開始逐步偏離真實(shí)軌跡,濾波跟蹤誤差不斷增加;SAM-IVKF、UKF和QCKF的偏差保持在較小范圍,RMSE維持在PCRLB附近,其中QCKF的偏離誤差更小。從圖7(σ=12°)可看出,PLKF和EKF很快出現(xiàn)發(fā)散,位置誤差迅速增加;SAM-IVKF和BC-PLKF的跟蹤性能較為接近,原因在于噪聲嚴(yán)重時(shí)SAM策略以偏差補(bǔ)償作為主要濾波方法;QCKF在位置偏差和RMSE性能指標(biāo)上均比其他算法更優(yōu)。值得注意的是,運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置不斷遠(yuǎn)離觀測(cè)站,使得AoA目標(biāo)跟蹤的距離放大誤差問題顯現(xiàn),所以PCRLB在圖5～圖7中均呈現(xiàn)上升趨勢(shì)。

圖5 σ=3°時(shí)位置誤差隨時(shí)刻變化

圖6 σ=8°時(shí)位置誤差隨時(shí)刻變化

圖7 σ=12°時(shí)位置誤差隨時(shí)刻變化

各算法的相對(duì)運(yùn)行時(shí)間如表2所示,其中以EKF運(yùn)行時(shí)間作為基準(zhǔn)進(jìn)行歸一化。BC-PLKF的偏差補(bǔ)償過程使得計(jì)算開銷高于PLKF;SAM-IVKF結(jié)合偏差補(bǔ)償和工具變量方法,所以比BC-PLKF的運(yùn)算時(shí)間更長(zhǎng);QCKF需要構(gòu)造約束矩陣以及特征值分解,其計(jì)算開銷比SAM-IVKF略高,但是相較于UKF可以大幅降低運(yùn)行時(shí)間。因此,表2、圖3和圖4表明QCKF以相對(duì)較低的計(jì)算開銷實(shí)現(xiàn)了更優(yōu)的估計(jì)性能。

表2 不同算法相對(duì)運(yùn)行時(shí)間比較

6 結(jié) 論

本文針對(duì)PLKF在三維AoA目標(biāo)跟蹤中存在嚴(yán)重偏差的問題,提出一種有效降低估計(jì)偏差的QCKF算法。通過附加二次約束條件到所建立的目標(biāo)函數(shù),使其在狀態(tài)為真值時(shí)取得最小值,以此克服由偽線性噪聲和觀測(cè)系數(shù)矩陣的相關(guān)性所引起的偏差影響。仿真對(duì)比分析了PLKF及其改進(jìn)算法BC-PLKF、SAM-IVKF,非線性濾波算法EKF、UKF以及本文QCKF算法,結(jié)果充分證實(shí)了QCKF的濾波跟蹤性能更優(yōu),尤其是當(dāng)噪聲嚴(yán)重時(shí)具有更顯著的優(yōu)勢(shì),并且計(jì)算開銷相對(duì)較低。

本文在分析偏差時(shí)假設(shè)過程噪聲較小,這適用于勻速運(yùn)動(dòng)、勻加速運(yùn)動(dòng)、勻速率轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)等平穩(wěn)變化的動(dòng)態(tài)模型。當(dāng)目標(biāo)狀態(tài)劇烈變化時(shí),系統(tǒng)過程噪聲較大,也會(huì)引起偏差,可通過多模型方法降低其影響。針對(duì)觀測(cè)噪聲服從高斯分布的假設(shè),可以結(jié)合高斯混合模型處理非高斯觀測(cè)噪聲。