季 策, 王金芝, 李伯群

(1.東北大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110169; 2.東北大學(xué)醫(yī)學(xué)影像智能計(jì)算教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 遼寧 沈陽(yáng) 110169; 3.遼寧科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院, 遼寧 鞍山 114051)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)技術(shù)是無(wú)線通信系統(tǒng)中普遍應(yīng)用的重要技術(shù)之一,對(duì)于OFDM系統(tǒng)而言,相關(guān)檢測(cè)、解調(diào)、均衡等技術(shù)都需要精準(zhǔn)的信道狀態(tài)信息[1](channel state information, CSI)。而對(duì)于CSI的獲取,信道估計(jì)技術(shù)尤為關(guān)鍵。因此,信道估計(jì)是無(wú)線通信系統(tǒng)中主要研究方向之一,信道估計(jì)的結(jié)果可直接影響整個(gè)通信系統(tǒng)性能。傳統(tǒng)的用于解決信道估計(jì)問(wèn)題的方法如最小二乘估計(jì)方法和最小均方誤差估計(jì)方法[2-3]是事先假定無(wú)線信道為密集型而提出的估計(jì)方法,沒(méi)有考慮到無(wú)線信道原有稀疏性,因此信道估計(jì)需要借助大量的導(dǎo)頻信號(hào)完成。而且,傳統(tǒng)的信道估計(jì)方法的性能并不理想。

壓縮感知(compressed sensing, CS)[4-6]的出現(xiàn),帶來(lái)了一項(xiàng)獲取和處理信號(hào)的新技術(shù),可以實(shí)現(xiàn)對(duì)可壓縮的信號(hào)以遠(yuǎn)小于奈奎斯特速率的方式采樣,最終以較少的采樣值高概率準(zhǔn)確地重構(gòu)出原始信號(hào)。目前無(wú)線通信系統(tǒng)逐漸寬帶化,大量研究表明無(wú)線信道展現(xiàn)出較強(qiáng)的稀疏特性[7],加之CS理論的成熟和完善,其在無(wú)線通信領(lǐng)域的應(yīng)用越發(fā)廣泛。通過(guò)對(duì)比傳統(tǒng)的和基于CS的信道估計(jì)方法發(fā)現(xiàn),后者能夠以較少的導(dǎo)頻獲得較好的估計(jì)性能。目前應(yīng)用較廣泛的基于CS的信道估計(jì)方法有正交匹配追蹤(orthogonal match pursuit, OMP)算法[8-9]、子空間(subspace pursuit, SP)算法[10-11]、分段正交匹配追蹤(stagewise orthogonal match pursuit, StOMP)算法[12-13]和廣義正交匹配追蹤(generalized orthogonal match pursuit, GOMP)算法[14-15]。上述算法的重構(gòu)精度較高且易于實(shí)現(xiàn),但是要想利用其進(jìn)行信道估計(jì)必須提前知道信道的稀疏度,然而現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中信道的稀疏度均是不可知的,所以上述算法在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的信道估計(jì)問(wèn)題中并不適用。關(guān)于稀疏度不可知的問(wèn)題,在稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(sparsity adaptive match pursuit, SAMP)算法[16]提出后得到了解決,其不需要提前獲知稀疏度,而是通過(guò)步長(zhǎng)的方式逐步擴(kuò)大支撐集來(lái)接近真實(shí)稀疏度,自適應(yīng)地完成信號(hào)的重構(gòu)。2018年,文獻(xiàn)[17]提出了一種稀疏度自適應(yīng)貪婪迭代(sparsity adaptive greedy iterative, SAGI)算法,該算法設(shè)計(jì)了一種新的稀疏度估計(jì)方法,避免了稀疏度的欠估計(jì)問(wèn)題。改進(jìn)之后的算法不需要提前獲知稀疏度,且相比于SAMP算法提高了重構(gòu)效果,降低了運(yùn)行時(shí)間。但是由于預(yù)測(cè)稀疏度和確定迭代方向時(shí)步長(zhǎng)取值過(guò)小,導(dǎo)致運(yùn)行時(shí)間降低的幅度比較小。

針對(duì)OFDM系統(tǒng)信道稀疏度未知的情況以及SAGI算法存在的缺點(diǎn),本文提出了一種基于有限等距性質(zhì)(restricted isometry property, RIP)的稀疏度預(yù)測(cè)自適應(yīng)匹配追蹤(RIP based prediction-sparsity adaptive matching pursuit, RSAMP)算法。首先利用提出的稀疏度過(guò)估計(jì)判據(jù),降低了稀疏度預(yù)測(cè)的運(yùn)行時(shí)間、提高了稀疏度預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性;其次對(duì)算法觀測(cè)矩陣進(jìn)行了優(yōu)化處理,通過(guò)降低觀測(cè)矩陣的相干性提高了算法的重構(gòu)性能。仿真結(jié)果顯示,對(duì)于OFDM系統(tǒng)信道估計(jì),本文的RSAMP算法相比于SAMP、SAGI算法有更好的估計(jì)性能,且運(yùn)行速度更快。

1 OFDM系統(tǒng)模型

本文考慮具有N個(gè)子載波和P個(gè)導(dǎo)頻子載波的OFDM系統(tǒng),用X表示發(fā)送端發(fā)送信號(hào),用Y表示接收端接收信號(hào),則Y可以表示為

Y=XH+n=XWh+n

(1)

式中:X=diag(X1,X2,…,XN)是N×N維矩陣;H=[H(1),H(2),…,H(N)]是N×1維向量,為信道頻域的響應(yīng)值;n=[n(1),n(2),…,n(N)]是N×1維向量,為高斯白噪聲;W是N×L維矩陣,為DFT矩陣的子矩陣,其中L是信道長(zhǎng)度。

設(shè)S為P×N維的選擇矩陣,利用S從接收信號(hào)Y中選擇導(dǎo)頻信號(hào),則導(dǎo)頻信號(hào)為

YP=XPWPh+nP

(2)

式中:Yp=SY是P×1維向量;XP=SXST是P×P維矩陣;WP=SW是P×L維矩陣;nP=Sn是P×1維向量。對(duì)于接收端而言,Yp,XP,WP均為已知信號(hào),因此向量h的估計(jì)等價(jià)于稀疏信號(hào)的重構(gòu),可以利用CS重構(gòu)算法重構(gòu)向量h,然后通過(guò)式(1)求解出信號(hào)頻域響應(yīng)值H。向量h的估計(jì)[18]具體描述為

y=Φh

(3)

式中:y=YP是觀測(cè)向量;Φ=XPWP為觀測(cè)矩陣。

2 SAGI算法

傳統(tǒng)的SAMP算法通過(guò)步長(zhǎng)s逐步接近信號(hào)稀疏度以完成信號(hào)的重構(gòu),雖然無(wú)須稀疏度先驗(yàn)消息,但是步長(zhǎng)s的選擇會(huì)對(duì)算法的重構(gòu)精度和時(shí)間帶來(lái)較大的影響,若s取值較小,則算法需要進(jìn)行大量的迭代,進(jìn)而增加了重構(gòu)時(shí)間;若s取值較大,則導(dǎo)致稀疏度的估計(jì)值與真實(shí)值之間的差異過(guò)大,進(jìn)而降低了重構(gòu)精度[19-20]。SAMP算法的主要實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟 1輸入觀測(cè)矩陣Φ,測(cè)量向量y,步長(zhǎng)s。

步驟 2初始化稀疏度r0=y,步長(zhǎng)L=s,支撐集T0=?,迭代索引n=1。

步驟 3通過(guò)式u=|〈Φ,r〉|計(jì)算相關(guān)系數(shù),并從u中取出最大的L個(gè)值對(duì)應(yīng)的索引存入索引集Fn,并更新候選集Cn=Tn-1∪Fn。

2018年,針對(duì)SAMP算法存在的不足,文獻(xiàn)[17]提出了SAGI算法,通過(guò)新的稀疏度估計(jì)方法可以獲取較精確的初始支撐集和殘差,提高了算法重構(gòu)的成功率,并適當(dāng)減少了算法的運(yùn)行時(shí)間,SAGI算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟 1輸入觀測(cè)矩陣Φ,測(cè)量向量y。

步驟 2初始化稀疏度K0=1,索引集F0=?。

步驟 3通過(guò)式u=|〈Φ,r〉|計(jì)算相關(guān)系數(shù),并從u中取出最大的K0個(gè)值對(duì)應(yīng)的索引存入索引集F0。

步驟 5在K0-和K0+方向分別迭代,并計(jì)算對(duì)應(yīng)的殘差rK0-和rK0+,迭代方向?yàn)闅埐顪p小的較快的方向,如果rK0-減小的較快,則s=-1,否則s=1。

步驟 7從u中取出最大的L個(gè)值對(duì)應(yīng)的索引存入索引集Fn中,并更新候選集Cn=Tn-1∪Fn。

SAGI算法雖然較SAMP算法在重構(gòu)效果方面有明顯提升,但由于在預(yù)測(cè)稀疏度和確定迭代方向時(shí)步長(zhǎng)取值均為1,導(dǎo)致算法迭代次數(shù)并沒(méi)有明顯的減少,所以算法運(yùn)行時(shí)間只是小幅度減少。針對(duì)該問(wèn)題,本文提出了一種基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法,該方法可以快速精確地逼近信號(hào)的真實(shí)稀疏度,同時(shí)為了在SAGI算法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提升算法的重構(gòu)性能,本文算法對(duì)觀測(cè)矩陣采取了優(yōu)化。

3 RSAMP算法

3.1 基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)

由于文獻(xiàn)[17]中提出的SAGI算法預(yù)測(cè)的稀疏度存在欠估計(jì)問(wèn)題,因此在完成稀疏度預(yù)測(cè)后需要確定迭代方向,再利用自適應(yīng)的方式完成信號(hào)的估計(jì)。為了更快更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)稀疏度,本文給出了稀疏度過(guò)估計(jì)的判據(jù)。

假定觀測(cè)矩陣Φ滿足RIP準(zhǔn)則[21],即如果存在一個(gè)常數(shù)δk∈(0,1),使得對(duì)于任意信號(hào)x(稀疏度為K),都滿足:

取相關(guān)系數(shù)u中前K個(gè)最大元素的索引得到集合F0。

由于

(4)

則根據(jù)RIP準(zhǔn)則,有

(5)

(6)

式(5)和式(6)相乘得

(7)

根據(jù)矩陣范數(shù)的不等式關(guān)系可知

(8)

進(jìn)一步整理得

(9)

由此可得

F0?F

(10)

這與K0≤K是矛盾的,因此判據(jù)成立。

證畢

3.2 觀測(cè)矩陣的優(yōu)化處理

SAMP算法和SAGI算法均采用高斯矩陣、伯努利矩陣等隨機(jī)矩陣作為觀測(cè)矩陣,其中觀測(cè)矩陣原子間的相干性會(huì)影響其與殘差的匹配,而觀測(cè)矩陣與殘差的匹配是否精確會(huì)影響算法整體重構(gòu)性能。由CS理論可知,觀測(cè)矩陣原子間的相干性越低,觀測(cè)矩陣與殘差的匹配越準(zhǔn)確[23]。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)主成分分析方法可以通過(guò)線性變換的方式將一組相干變量轉(zhuǎn)化成一組不相干變量。因此,本文利用主成分分析的思想對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化,減弱其原子之間的相干性,以進(jìn)一步提高算法的重構(gòu)性能。其中相干性表示為

在滿足RIP性質(zhì)的前提下對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行如下處理:

設(shè)矩陣P為正交矩陣,通過(guò)觀測(cè)矩陣Φ的正交變換獲得矩陣C,即

C=PΦ

(11)

假設(shè)矩陣C滿足μ(C)<μ(Φ),用C觀測(cè)原始信號(hào)x,得

w=Cx

(12)

即w=Cx等價(jià)于y=Φx。

整理得

x=CTw=(PΦ)Tw=

(PΦ)TPy=(ΦTPTP)y=(PTPΦ)Ty

(13)

進(jìn)一步整理得

y=(PTPΦ)x

(14)

令Z=PTPΦ,當(dāng)PTP=(ΦΦT)-1時(shí),

Z=(ΦΦT)-1Φ

(15)

綜上,通過(guò)上述線性變換將矩陣Φ轉(zhuǎn)換為低相干性矩陣Z。

3.3 算法實(shí)現(xiàn)

本文提出的RSAMP算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下。

步驟 1輸入觀測(cè)矩陣Φ,測(cè)量向量y,觀測(cè)數(shù)M。

步驟 3i=i+1,Ki=round[(Kmin+Kmax)/2]。

步驟 4對(duì)觀測(cè)矩陣Φ做優(yōu)化處理,得觀測(cè)矩陣Z。

步驟 5通過(guò)公式u=|〈Z,r〉|計(jì)算相關(guān)系數(shù),并從u中取出最大的Ki個(gè)值對(duì)應(yīng)的索引加入索引集F0。

步驟 7在K-和K+方向分別迭代,并計(jì)算對(duì)應(yīng)的殘差rK-和rK+,迭代方向?yàn)闅埐顪p小的更快的方向,如果rK-減小的更快,則s=-1,否則s=1。

步驟 9從u中取出最大的K個(gè)值對(duì)應(yīng)的索引加入索引集Fn中,并更新候選集Cn=Tn-1∪Fn。

4 仿真實(shí)驗(yàn)和分析

為了驗(yàn)證RSAMP算法的重構(gòu)性能,本文在Matlab R2016仿真環(huán)境下進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。主要驗(yàn)證基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法的有效性、觀測(cè)矩陣優(yōu)化后的低相干性和RSAMP算法信道估計(jì)性能的優(yōu)越性。其中SAMP算法的運(yùn)行時(shí)間和重構(gòu)精度會(huì)因步長(zhǎng)s取值的不同而產(chǎn)生差異,本文考慮到時(shí)間和精度的折中問(wèn)題,通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析將SAMP算法的步長(zhǎng)s取值為5。

4.1 基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法的驗(yàn)證

仿真1主要驗(yàn)證本文提出的基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法的可行性,并對(duì)比RSAMP與SAMP、SAGI算法的單次運(yùn)行時(shí)間。仿真選取的實(shí)驗(yàn)信號(hào)為一維隨機(jī)信號(hào),其中信號(hào)長(zhǎng)度N=256,觀測(cè)數(shù)M=128,信號(hào)稀疏度K的預(yù)測(cè)范圍為[5,32],在其他參數(shù)不變的情況下,令稀疏度K從5變化至32,比較預(yù)測(cè)稀疏度與真實(shí)稀疏度。為避免隨機(jī)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響,仿真1涉及的數(shù)據(jù)均是運(yùn)行100次后求得的平均。

通過(guò)圖1可以明顯看出,RSAMP算法預(yù)測(cè)的稀疏度與真實(shí)的稀疏度之間的差異非常小,由此可證明基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法是有效的。SAGI算法在稀疏度預(yù)測(cè)階段由于步長(zhǎng)取值為1,所以需要進(jìn)行多次迭代,加之其預(yù)測(cè)的稀疏度與真實(shí)稀疏度之間的差值較大,在確定迭代方向之后同樣需要迭代多次。而基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法由于動(dòng)態(tài)的增大了步長(zhǎng),所以在信號(hào)觀測(cè)數(shù)M=128時(shí),最多迭代5次即可完成預(yù)測(cè)。此外RSAMP算法預(yù)測(cè)的稀疏度與真實(shí)的稀疏度之間的差值僅為1,所以在確定迭代方向之后僅需迭代一次即可,進(jìn)一步減少了算法運(yùn)行的時(shí)間。

圖1 算法預(yù)測(cè)稀疏度與真實(shí)稀疏度間的對(duì)比

表1 不同算法的單次運(yùn)行時(shí)間

4.2 觀測(cè)矩陣低相干性的驗(yàn)證

仿真2主要驗(yàn)證本文優(yōu)化處理得到的觀測(cè)矩陣Z的低相干性,并對(duì)比了不同觀測(cè)數(shù)下相干性比值的改變。仿真選取的實(shí)驗(yàn)信號(hào)為一維隨機(jī)信號(hào),其中信號(hào)長(zhǎng)度N=256,稀疏度K=10,信號(hào)觀測(cè)數(shù)M的取值范圍為[40,210],在其他參數(shù)不變的情況下,令觀測(cè)數(shù)M從40變化至210,觀察相干性比值的變化。為避免隨機(jī)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響,仿真2涉及的數(shù)據(jù)均是運(yùn)行100次后求得的平均值。

仿真2采用相干性比值來(lái)衡量矩陣Z的低相干性。本文相干性比值的定義為

(16)

通過(guò)圖2可得知相干性比值μ>1,即μ(Z)<μ(Φ),由此可以說(shuō)明優(yōu)化處理后獲得的矩陣Z的相干性低于矩陣Φ的相干性,而且隨著觀測(cè)數(shù)M的增大,矩陣Z的低相干性更加明顯。

圖2 不同觀測(cè)數(shù)下相干比值的變化

4.3 基于RSAMP算法信道估計(jì)性能驗(yàn)證

仿真3主要驗(yàn)證本文提出的RSAMP算法的信道估計(jì)性能,將其與SAMP、SAGI算法進(jìn)行對(duì)比,同時(shí)為了檢驗(yàn)優(yōu)化觀測(cè)矩陣的有效性,在仿真3中也對(duì)比了未優(yōu)化觀測(cè)矩陣的RSAMP算法(簡(jiǎn)稱為URSAMP)。在OFDM系統(tǒng)中,采用16QAM映射方式,信道長(zhǎng)度L=100,子載波數(shù)N=512,非零抽頭個(gè)數(shù)為6,系統(tǒng)參數(shù)在一個(gè)OFDM符號(hào)周期內(nèi)不發(fā)生改變。為避免隨機(jī)因素對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成影響,仿真3涉及的數(shù)據(jù)均是運(yùn)行1 000次后求得的平均值。具體系統(tǒng)仿真設(shè)置參數(shù)如表2所示。

表2 系統(tǒng)仿真參數(shù)

仿真3采用均方誤差(mean square error, MSE)、誤碼率(bit error rate, BER)和運(yùn)行時(shí)間來(lái)衡量算法信道估計(jì)的性能[24]。

(1)MSE性能分析

本文MSE的定義為

(17)

對(duì)于OFDM系統(tǒng)而言, MSE值越小,信道估計(jì)誤差就越小。信噪比越小表示信號(hào)受到的干擾越大,當(dāng)信噪比相同時(shí),算法的MSE值越小表示算法的抗干擾能力越好。通過(guò)圖3可以明顯看到,隨著信噪比的增大,SAMP、SAGI、RSAMP算法的MSE值均開(kāi)始減小,但本文提出的RSAMP算法相比其他兩種算法具有更小的MSE值,而且隨著信噪比的增大優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖3 不同信噪比下MSE性能對(duì)比

(2)BER性能分析

對(duì)于OFDM系統(tǒng)而言,BER值越低,信道估計(jì)就越準(zhǔn)確。在信噪比較小時(shí),信道受到噪聲的影響較大,導(dǎo)致各算法BER值間的差異較小。通過(guò)圖4可以明顯看到,隨著信噪比的增大,噪聲的影響逐步減弱,SAMP、SAGI、RSAMP算法的BER值均開(kāi)始減小,但本文提出的RSAMP算法相比其他兩種算法具有更小的BER值,而且隨著信噪比的增大優(yōu)勢(shì)更加明顯。

圖4 不同信噪比下BER性能對(duì)比

通過(guò)圖3和圖4可以看出RSAMP算法的MSE值、BER值均低于URSAMP算法,即優(yōu)化觀測(cè)矩陣提高了算法的信道估計(jì)性能,驗(yàn)證了優(yōu)化處理的有效性。URSAMP算法相較于SAGI算法而言,因具有更精確的支撐集和初始?xì)埐?所以信道估計(jì)性能略優(yōu)于SAGI算法。

(3)運(yùn)行時(shí)間分析

對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用而言,算法信道估計(jì)的運(yùn)行時(shí)間也是需要重點(diǎn)考慮的因素。在同等條件下, SAMP、SAGI、RSAMP算法信道估計(jì)的運(yùn)行時(shí)間如圖5所示。

圖5 算法信道估計(jì)的運(yùn)行時(shí)間

通過(guò)圖5可以看出,SAMP、SAGI、RSAMP信道估計(jì)的運(yùn)行時(shí)間分別為11.771 5 s、9.515 2 s、4.550 9 s。本文提出的RSAMP算法由于改進(jìn)了稀疏度預(yù)測(cè)方法,因此在時(shí)間方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié) 論

本文研究了OFDM系統(tǒng)稀疏信道估計(jì)問(wèn)題,針對(duì)SAGI算法在時(shí)間和性能方面存在的不足,提出了RSAMP算法,該算法通過(guò)提出一種基于RIP的稀疏度預(yù)測(cè)方法以及觀測(cè)矩陣的優(yōu)化處理,不僅縮短了算法的運(yùn)行時(shí)間,還提高了算法的重構(gòu)性能。此外,本文從MSE、BER和時(shí)間方面對(duì)比了RSAMP算法與SAMP、SAGI算法信道估計(jì)的性能,仿真結(jié)果顯示,在相同條件下,RSAMP算法較SAMP、SAGI算法具有更低的MSE值、BER值和運(yùn)行時(shí)間。