矩陣的零化多項式與其對角化

劉慧娟

摘 ?要：該文研究了適合一定條件的方陣n×n的對角化問題，應(yīng)用矩陣的零化多項式、特征值、特征向量、矩陣的秩及其不等式等概念和理論，謹(jǐn)慎使用同一矩陣A的多項式，適合交換律的特殊性和非零冪零矩陣不可對角化的性質(zhì)，給出了當(dāng)矩陣A零化多項式的次數(shù)分別為2和3時，方陣A是否可以對角化的判別方法。這些方法對于矩陣論的教學(xué)與研究是十分有益的。

關(guān)鍵詞：矩陣 ?特征值 ?特征向量 ?矩陣的秩 ?零化多項式 ?對角化

中圖分類號：0221.4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-3791（2021）03（a）-0109-03

The Annihilator Polynomial of a Matrix and Its Diagonalization

LIU Huijuan

（ Center of General Education， Zhengzhou Business College， Gongyi， Henan Province， 451200 ?China）

Abstract：The diagonalization of a matrixn×nis found and proved. Two results on diagonalization of matrices which annihilator polynomials with degree of 2，3 are obtained by the theories of annihilator polynomial， eigenvalue and eigenvector， the rank and their inequality， the same matrix A is suitable for the particularity of the commutative law and the property that non-zero nilpotent matrices cannot be diagonalized. These are beneficial for the teaching and research of matrix theory.

Key Words：Matrix; Eigenvalue; Eigenvector; Rank of a matrix; Annihilator polynomial; Diagonalization

形式最簡單的矩陣是對角矩陣，如果矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形是對角矩陣，那樣，一個矩陣的秘密就暴露無遺了。人們立即可以知道它的行列式，它是否可逆，它的譜每一個的代數(shù)重數(shù)及幾何重數(shù)、它的最小多項式和初等因子等情況。關(guān)于矩陣對角化的研究，人們已經(jīng)給出了一些充分必要條件，最為人們熟悉的有“n階矩陣A與n階對角矩陣相似的充分必要條件為矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量”[1]和“設(shè)n×n，則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A相似于一個對角矩陣D[2]”。該文利用矩陣的零化多項式，給出n階方陣A可以對角化的兩個基本結(jié)果。

定義：給定矩陣n×n，如果多項式：

滿足，稱是A的一個零化多項式。

討論中會用到下面兩個關(guān)于矩陣秩的不等式[3]：

（1）不等式：

（2）若n×n，且，則

1 ?基本結(jié)果

引理1：設(shè)n×n，是一個常數(shù)，則A可以對角化當(dāng)且僅當(dāng)可以對角化。

定理2：設(shè)是A的一個零化多項式，則：

（1）當(dāng)時A可以對角化;（2）當(dāng)時，A可以對角化的充要條件是。

證明 （1）略（詳見文獻(xiàn)[4]）。

（2）由條件知，，從而， 是冪零矩陣。這樣，一方面，若，，A是一個數(shù)量矩陣，本身就是對角形;另一方面，若矩陣

，是一個非零的冪零矩陣，而非零冪零矩陣不能對角化。再由引理1，不能對角化等價于A不能對角化。

定理3：設(shè)是n階方陣 A的一個零化多項式，滿足

式中，，，則A可以對角化。

證明：因為是一個零化多項式，便有。

考慮到矩陣兩兩可交換，于是有：

（1）

由不等式，可得：

即：

（2）

類似的，由（1）式中的第二式及第三式，可得

（4）

將（2）（3）（4）三個不等式的左邊相加，右邊相加，再應(yīng)用第（1）式以及（A-λ1E）（A-λ2E）（A-λ3E），可得：

所以：

（6）

另一方面，考慮到矩陣的和的秩不超過矩陣的秩的和以及便有：

（7）

從而，綜合（6）（7）兩式得：

（8）

再由（1）式中的3個式子，并注意到乘積的可交換性可知：矩陣的每個非零列向量都是矩陣A的屬于特征值λ3的特征向量，記矩陣B的列向量;組的極大無關(guān)組為，這里。

類似的，乘積矩陣和的列向量組的極大無關(guān)組分別為A的屬于特征值的特征向量，記它們的列向量組的極大無關(guān)組分別是β1，β2，…，βs，和γ1，γ2，…，γt，（8）式表明r+s+t=n。由于這三組特征向量分別屬于A的不同的特征值，因而α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs，γ1，γ2，…，γt，仍然線性無關(guān)，故n階方陣A有N個線性無關(guān)的特征向量，它可以對角化。

2 ?結(jié)語

該文針對矩陣A的二次零化多項式有重根的情況，給出了A可對角化的充要條件為;給出了已知矩陣A的三次零化多項式時，A可以對角化的條件。

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