劉慧 王素玲

[摘 要]對(duì)浙教版、蘇教版、西師大版教材中估計(jì)圓的面積的編排內(nèi)容做比較和分析，指出了存在意圖不明、前后環(huán)節(jié)不銜接、思路斷層及顛倒等問(wèn)題，提出了完善教材、探究并獲得圓的面積猜想過(guò)程的具體建議。

[關(guān)鍵詞]圓;面積;教材;估計(jì)

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0011-03

在探究圓的面積公式時(shí)，有的教材除了用“畫(huà)—分—剪—拼”方法之外，還在此前做了估計(jì)圓的面積的設(shè)計(jì)。由于只涉及幾個(gè)版本的教材，故在此單獨(dú)進(jìn)行比較分析。

一、教材比較分析

1.浙教版教材與青島版教材

浙教版教材在第68頁(yè)（如圖1）給出了圓內(nèi)接和外切正方形，以及邊長(zhǎng)為圓的半徑的正方形，通過(guò)讓學(xué)生比較圓的面積和這些正方形面積之間的關(guān)系進(jìn)行了初步估計(jì)，得到圓的面積在以半徑為邊長(zhǎng)的小正方形的面積（半徑×半徑）的2倍與4倍之間。

青島版教材在第65頁(yè)（如圖2）設(shè)計(jì)了圓的內(nèi)接和外切正多邊形，有正四邊形、正八邊形、正十六邊形。但從引導(dǎo)語(yǔ)看，僅得到了圓的面積比圓內(nèi)接正方形的面積大一些，比圓外切正方形的面積小一些的結(jié)果，沒(méi)有進(jìn)一步量化，應(yīng)該不是為了讓學(xué)生估計(jì)或猜出圓的面積。

這兩個(gè)版本教材的內(nèi)容只能讓學(xué)生感受圓的面積的大體范圍，不足以引導(dǎo)學(xué)生猜想圓的面積，教材也沒(méi)引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，而是進(jìn)入利用“畫(huà)—分—剪—拼”方法探究圓的面積公式環(huán)節(jié)，但設(shè)計(jì)思路缺乏連貫性，難道是為了滲透化曲為直、化圓為方的化歸思想？還是為圓的分割做思想與方法的準(zhǔn)備和鋪墊，滲透古人求圓周率和圓的面積的方法及極限思想？

2.蘇教版教材與西師大版教材

蘇教版教材（第96頁(yè);如圖3）和西師大版教材（第19頁(yè);如圖4）估測(cè)圓的面積都是采用數(shù)方格這種最基本的方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓的面積比“半徑×半徑”的3倍多一些。由圖可見(jiàn)，蘇教版教材的內(nèi)容更詳細(xì)一些，給出了邊長(zhǎng)為4、5、6個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，并列成表格形成對(duì)比;而西師大版教材只給出邊長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形。但它們都存在以下問(wèn)題：

首先，這兩個(gè)版本教材應(yīng)該是想通過(guò)“3倍多一些”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到圓周率，從而提出“圓的面積是半徑×半徑的[π]倍”之猜想，繼而再驗(yàn)證猜想，推導(dǎo)圓的面積公式。這樣，既滲透了“提出問(wèn)題—猜想—驗(yàn)證（證明）猜想—獲得結(jié)論”的科學(xué)發(fā)現(xiàn)方法與模式，又培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力?？蛇z憾的是，教材沒(méi)有提出猜想，也沒(méi)引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，而是直接進(jìn)入利用“畫(huà)—分—剪—拼”方法推導(dǎo)圓的面積公式的環(huán)節(jié)，讓人感到該設(shè)計(jì)思路斷層。

其次，有機(jī)械操作計(jì)算的問(wèn)題。因設(shè)計(jì)都是在方格紙上直接數(shù)出四分之一圓的面積，進(jìn)而得出圓的面積后再進(jìn)行計(jì)算。這種直接數(shù)出面積的方法不但不精確，而且是學(xué)生一開(kāi)始學(xué)習(xí)面積不得已而采用的方法，在已經(jīng)學(xué)習(xí)了不少圖形的面積后再采用這種原始方法能促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的提高嗎？

最后，存在思路顛倒的問(wèn)題。由圖3和圖4可知，兩個(gè)版本教材都是先給出正方形，然后以它的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓。這里是探討圓的面積問(wèn)題，應(yīng)該是先畫(huà)圓。有的人可能會(huì)說(shuō)：“先畫(huà)誰(shuí)不行，目的不都是數(shù)出面積并進(jìn)行計(jì)算嗎？”其實(shí)不然，這關(guān)系到知識(shí)之間的相互聯(lián)系、應(yīng)用和拓展。

綜上，兩個(gè)版本教材關(guān)于圓的面積估計(jì)的內(nèi)容，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，與下一環(huán)節(jié)用“畫(huà)—分—剪—拼”方法推導(dǎo)圓的面積公式有些脫節(jié)。

二、圓的面積估計(jì)與猜想編寫(xiě)的必要性分析

眾多教材編寫(xiě)該內(nèi)容的目的，可能一是為了體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)在第二學(xué)段的“二、圖形與幾何”中，“（二）測(cè)量”之“5.會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積”;二是貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)中，發(fā)展合情推理能力”的要求。當(dāng)然，可能還體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)要求滲透數(shù)學(xué)思想的目的，但前后環(huán)節(jié)缺乏聯(lián)系，又體現(xiàn)不出過(guò)程。其實(shí)，課程標(biāo)準(zhǔn)并未明確要求上述兩點(diǎn)非得在圓的面積部分體現(xiàn)，這也是其他教材都沒(méi)有此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，而是直接用“畫(huà)—分—剪—拼”方法推導(dǎo)圓的面積公式的原因。

三、教材完善建議

下面以蘇教版、西師大版教材為藍(lán)本，提出以下建議，目的是將估計(jì)猜想環(huán)節(jié)與驗(yàn)證推導(dǎo)圓的面積公式環(huán)節(jié)聯(lián)系起來(lái)，形成一個(gè)完整的科學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程。

首先，讓學(xué)生畫(huà)幾個(gè)半徑為單位長(zhǎng)度整數(shù)倍的圓，并提出考察其面積的問(wèn)題。比如，可畫(huà)半徑為4、5、6個(gè)單位長(zhǎng)度的圓。

其次，引導(dǎo)學(xué)生想到圓的面積的大小是由半徑確定的，而度量面積的大小是用正方形做面積單位的，啟發(fā)學(xué)生考察圓的面積是邊長(zhǎng)為圓的半徑的正方形面積的幾倍。這樣，學(xué)生會(huì)作相互垂直的直徑，然后作出邊長(zhǎng)為圓的半徑的正方形，進(jìn)而比較。這樣的設(shè)計(jì)，不僅促進(jìn)了學(xué)生思考，建立了知識(shí)間的聯(lián)系，更有利于學(xué)生思維與知識(shí)的拓展。如，學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的面積是以半徑為邊長(zhǎng)的正方形的面積的[π]倍后，教師再給出相互垂直的長(zhǎng)、短軸分別為2a、2b的橢圓，學(xué)生可以借助類比猜想出橢圓的面積是以a、b為邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形面積的[π]倍，即[π]ab。這樣，既開(kāi)闊了學(xué)生的思維，又體現(xiàn)了知識(shí)的活學(xué)活用。

第三，用方格紙數(shù)出四分之一圓的面積的盈虧范圍（而不是直接數(shù)出多少），再取平均值，進(jìn)而求得圓的面積，再計(jì)算出圓的面積是邊長(zhǎng)為圓的半徑的正方形的面積的幾倍。這樣，不僅滲透了兩邊夾逼的原則和極限思想，也體現(xiàn)了平均數(shù)的應(yīng)用，更重要的是能得到較為精確的數(shù)值。例如，在圖3和圖4的半徑為4個(gè)單位長(zhǎng)度的圖形中，學(xué)生通過(guò)拼湊可數(shù)出四分之一圓的面積在12與13之間，平均值為12.5，計(jì)算出圓的面積約為正方形面積的3.125倍。而若按西師大版教材的（如圖2）“四分之一圓的面積是13”計(jì)算，得到的是3.25倍，誤差較大。又如，半徑為5個(gè)單位長(zhǎng)度的圖形中，可數(shù)出四分之一圓的面積在19.5與20之間，平均值為19.75，計(jì)算出圓的面積約為正方形面積的3.16倍。

第四，引導(dǎo)學(xué)生比較所計(jì)算出的倍數(shù)，并與圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系或圓周率進(jìn)行比較，學(xué)生便可猜出圓的面積是邊長(zhǎng)為圓的半徑的正方形面積的[π]倍。

總之，這樣的編排，能使估計(jì)猜測(cè)環(huán)節(jié)與驗(yàn)證證明環(huán)節(jié)形成一個(gè)完整的科學(xué)發(fā)現(xiàn)過(guò)程，同時(shí)還滲透數(shù)學(xué)思想方法，有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，及知識(shí)的融合與靈活運(yùn)用。

【本文系“青藍(lán)項(xiàng)目：青島市教育學(xué)會(huì) 2018 年度教育研究項(xiàng)目——關(guān)于空間與圖形領(lǐng)域課堂探索活動(dòng)編寫(xiě)的比較研究（QES18E152）”研究成果之一?！?/p>

（責(zé)編 金 鈴）