朱建良

初中數學建模學習是指在理解的基礎上建立數學模型，類比遷移，運用數學模型批判地學習新思想、分析事實，并將新知識融入原有的認知結構中，進而提升學習層次和探究能力。

初中數學建模教學的一般思路是“提出問題——分析問題——選擇模型——建立模型——得出結論”，以問題的探究為主要目標，引導學生學會大膽質疑、思想碰撞，產生火花，從而讓學生思考得更深刻，有效提升學生思維的廣度和深度。筆者以“二次函數圖像中線段和差最值的存在性問題”教學設計為例進行了實踐性的思考與總結，談談教學設計中的深度學習應呈現(xiàn)出什么樣的狀態(tài)，教學設計在建模學習的過程中能夠發(fā)揮什么樣的作用，建模學習是如何幫助學生進行深度學習的，請同行指正。

學習目標要求 本課內容為九年級數學復習課“二次函數圖像中線段和差最值的存在性問題”，要求學生能通過對具體問題的分析，體會函數變量之間的變化關系，探究發(fā)現(xiàn)幾何中線段和差最值的轉化與建模途徑，培養(yǎng)學生綜合運用知識解決二次函數的相關問題的能力。

一、提出問題

提出要探究的問題，引導學生尋找解決問題的數學模型，設計具有挑戰(zhàn)性的問題，培養(yǎng)幾何直觀、運算與推理能力，建構知識，生成能力，遷移方法。

教學活動1 探究下列問題，畫出對應的幾何模型

問題1 拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D。點P是該拋物線對稱軸上的一個動點，要使得△PAC的周長最小，求點P坐標。

解析：如圖1，連接BC，交直線x=3于點P，根據對稱性有PA=PB，求出直線BC的表達式為y=-4x+16，∴點P（3，4）。

【設計意圖】找出點A關于直線x=3的對稱點B，連接CB，依據“兩點之間線段最短”揭示此類求線段和最小值題目的本質特征，為學生解決后續(xù)問題鋪設臺階，有效提升學生識圖建模能力。

二、變式探究

在不改變知識本質特征的前提下，變換其非本質特征，引導學生在動態(tài)變化的情境中強化對本質特征的理解，將已有的知識遷移到動態(tài)的情境中，理解數學模型的價值，探究真問題，拓展數學思維的深度和廣度。

教學活動2 梳理數學模型，尋求問題1和變式問題的內在聯(lián)系

變式1 拋物線y=2x2-12x+16與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D。拋物線上有一點E，E的橫坐標為5，點F（m，0）是x軸上的一個動點，當FC+EF的值最小時，求m的值。

解析：如圖2，作點[E]關于[x]軸的對稱點[E]，連接[CE]交[x]軸于點[F]，求得直線[CE]的表達式為y=[-225x+16]，∴[F（4011，0）]。根據兩點間線段最短，[FC+EF=FC+EF=CE]，此時[FC+EF]的值最小，[m=4011]。

變式2 拋物線y=2x2-12x+16與[x]軸交于[A]、[B]兩點，與[y]軸交于點[C]，頂點為[D]，點[G（0，n）]是[y]軸上的一個動點，求線段[GD]與[GA]中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的[n]的值。

解析：如圖3，當[A]、[G]、[D]三點共線時，[GD-GA=AD]，求得直線[AD]的表達式為[y=-2x+4]，此時[G（0， 4）]，∴[n=4]。當[GD][-GA=0]，即[GD=GA]時，[GD-GA]有最小值為[0]。此時[AD]的垂直平分線[GE]的表達式為[y=12x-94]，[G（0，-94）]，∴[n=-94]。

變式3 拋物線y=2x2-12x+16與[x]軸交于[A]、[B]兩點，與[y]軸交于點[C]，頂點為[D]，[K]是[OC]中點。一個動點[Q]從[K]點出發(fā)，先經過[x]軸上的[M]點，再經過拋物線對稱軸上的點[N]，然后返回到[C]，如果動點[Q]走過的路程最短，請找出點[M]、[N]位置，并求出最短路程。

解析：如圖4， 根據對稱性分別找出點[K]、點[C]的對稱點[K]、[C]，再連接[KC]，分別交[x]軸于點[M]，交直線[x=3]于點[N]，動點[Q]的最短路程為[S=KM+MN+CN=KM+MN+CN]，∴[S=KC]?？汕蟪鯷C（6， 16）]，[K（0， -8）]，∴最短路程[S=617]。

【設計意圖】以上問題及變式，強化了學生對數學模型的認識、積累。學生通過尋找對稱點，求解線段和、差最值問題，掌握方法與策略，再通過變式訓練，便真正能知其然，更能知其所以然。學生經歷化繁為簡、轉難為易的深度思考，學會在新情境中運用新結論解決問題，深度學習的雛形初現(xiàn)。

三、拓展提升

設計思維清晰的系列問題，引導學生感知求解方法是建立在數學模型基礎上的。通過對比上述建模解題的方法，積累經驗，引發(fā)學生深入思考，真正將其內化，實現(xiàn)由低階思維走向高階思維。

教學活動3 體驗建構過程，挑戰(zhàn)新問題

問題2 如圖5，已知一條直線與拋物線[y=14x2]相交于[A]、[B]兩點，其中點[A]、[B]的橫坐標分別是[-2]、[8]。

（1）求這條直線的函數表達式;

（2）如圖6，設直線[AB]分別與[x]軸、[y]軸交于點[D]、[E]，[F]為[OD]的中點，將線段[OF]順時針旋轉得到[OF]，旋轉角[α（0°<α<90°）]，連接[DF]，[EF]，求[DF+13EF]的最小值。

解析：（1）求出點A、B的坐標為點[A（-2，1）]，[B（8，16）]，直線[AB]的表達式為[y=32x+4]。

（2）取[G（0，49）]，連接[FG]。由（1）易得出[D（-83，0）]，[E（0，4）]，[F（-43，0）]，∴[OFOG=OEOF]。又[∠FOG=∠EOF]，∴△[OFG]∽[ΔOEF]，有[FG=13EF]，當[D]、[F]、[G]三點共線時，[DF+13EF]的值最小，[DG=（83）2+（49）2=4937]。

【設計意圖】拓展深化一類數學問題，引導學生明晰數學方法的多樣性，體驗利用構造相似三角形的手段，巧妙轉化線段[13EF]的長度，類比遷移，優(yōu)化求解線段和最小值的方法。學生經歷建模轉化的過程，體會其中的數學思想方法，形成數學的思維方式。

四、延伸升華

真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，得到必要的數學思維訓練，獲得廣泛的數學活動經驗， 深入思考問題本質，讓深層次思考成為建模探究的必然之需。

教學活動4 理解模型，感悟思想

問題3 如圖7，已知一次函數[y=x+3]的圖像與[x]軸、[y]軸分別交于[A]、[B]兩點，拋物線[y=-x2+bx+c]過[A]、[B]兩點，且與[x]軸交于另一點[C]。

（1）求[b]、[c]的值;

（2）如圖7，點[D]為[AC]的中點，點[E]在線段[BD]上，且[BE=2ED]，連接[CE]并延長交拋物線于點[M]，求點[M]的坐標;

（3）將直線[AB]繞著點[A]按逆時針方向旋轉[15°]后交[y]軸于點[G]，連接[CG]，如圖8，[P]為△[AOG]內一點，連接[PA]、[PC]、[PG]，分別以[AP]、[AG]為邊在它們的左側作等邊三角形[APR]、等邊三角形[AGQ]，連接[QR]。

① 求證：[PG=RQ];

② 求[PA+PC+PG]最小值。

解析：（1）[b=-2]，[c=3];（2）直線[CE]的表達式為[y=-35x+35]，∴[M（-125， 5125）];（3）連接[CQ]，[PA+PC+PG=PC+PR+QR≥CQ]，∴當[C]、[P]、[R]、[Q]四點共線時，[PA+PC+PG]有最小值。求得[Q（-6，32）]，[CQ=PA+PC+PG=219]。

【設計意圖】問題3為學生提供多角度、多層次的探究空間，從繞旋的角度發(fā)現(xiàn)△PAG≌[△RAQ]，將問題2的解法自然遷移至此，類比探究方法，教學設計環(huán)環(huán)相扣，層次分明，思維訓練指向核心問題。

五、教后反思

1.建模構造，積累策略。

合作式建模學習方式，能促使學生集思廣益，找到解決問題的最優(yōu)策略。本課例以一個二次函數最值問題為中心，讓學生在教師設置的變式問題的引導下，建構基本幾何模型，依靠已有的知識經驗和思維實踐活動主動地解決問題，以達到培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、養(yǎng)成探究的習慣與態(tài)度的目的。

2.分解模型，正向遷移。

將要解決的問題抽象分解出基本模型，從而得到解決問題的方法。如何破題，如何分享解題思路，有幾種解題方法，其中蘊含的數學思想方法是什么，題目的易錯點在哪里等。在分解模型的過程中，引導學生學會對重點問題、難點問題深入思考，充分打開思維，對問題進行深度剖析。通過一題多解、多題一解，學生的思維充分碰撞，閃現(xiàn)出創(chuàng)造的火花，創(chuàng)新意識、歸納總結能力得到有效提升，知識網絡得到有效建構，學會思考、表達、耐心傾聽，處理信息和反思評價的能力得到提高，思考也向縱深發(fā)展。

3.強化意識，提升素養(yǎng)。

倡導獨立思考后的小組合作，采用“完整經歷數學模型的抽象過程”，積累二次函數背景下線段和差最值問題的學習經驗，能強化學生的模型意識。在建?；顒油瓿珊?，教師要引導學生進行總結，將數學模型內化，成為自己解決問題的一種方法。了解和經歷解決實際問題的全過程，促進模型思想的滲透。

“學的真諦在于悟”，通過變式拓展問題，解析數學模型，深度學習，解決真問題，揭示線段和差的最值求法的內在規(guī)律。問題情境變化了，但幾何圖形的基本性質和解決問題的方法沒有變化。學生在發(fā)現(xiàn)、辨析、反思中領悟數學模型的認知策略，提升學習數學的能力。

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學）