黃一凡 王向東

摘要 為了研究再生混凝土塑性階段的損傷演化和剛度劣化，從能量損失的角度基于廣義自洽模型對傳統(tǒng)的非均質(zhì)材料能量積分公式進行了重新推導，得到僅含位移的新能量公積分式用以重新定義損傷變量。通過公式計算可以得到損傷過程中的能量變化與劣化后的彈性模量。此外，模擬了再生混凝土單軸壓縮，對比了重新定義的損傷變量與傳統(tǒng)損傷本構(gòu)模型的D-x曲線，對比分析發(fā)現(xiàn)，重新定義的損傷變量更符合再生混凝土單軸受壓的一般破壞規(guī)律。

關(guān) 鍵 詞 再生混凝土;塑性損傷演化;能量損失;非均質(zhì)材料能量積分公式;單軸受壓

中圖分類號 TU528? ? ?文獻標志碼 A

Damage plasticity of recycled concrete based on energy loss theory

HUANG Yifan，WANG Xiangdong

（College of Mechanics and Materials， Hohai University， Nanjing， Jiangsu 211100， China）

Abstract In order to study the damage evolution and stiffness degradation of recycled concrete in the plastic stage， the traditional energy formula of heterogeneous materials is derived based on the generalized self consistent model. And a new energy increment formula with displacement only is obtained to redefine the damage variable. Through the formula calculation， the energy change in the damage process and the elastic modulus after degradation can be obtained. In addition， in order to compare the redefined damage variables with the traditional damage constitutive model， the numerical simulation of recycled concrete under uniaxial compression is carried out， and the damage variables in the process of compression are calculated. It is found that the redefined damage variable is more consistent with the general failure law of recycled concrete under uniaxial compression.

Key words recycled concrete; plastic damage evolution; energy loss; energy integration formula of heterogeneous materials; uniaxial compression

0 引言

再生混凝土作為回收利用廢棄混凝土最有效的措施之一，一直以來對再生混凝土（RAC）力學性能的研究多為試驗研究。Xiao等[1]對再生混凝土的試驗研究進行了綜述，發(fā)現(xiàn)不同研究者的結(jié)論不同甚至相悖。為了使研究更為節(jié)省時間、資源、資金，數(shù)值模擬已成為研究其力學性能的有效方法并廣泛應(yīng)用[2]。例如，Xiao等[3]對再生混凝土建立了晶格模型并模擬了單軸受壓下的應(yīng)力應(yīng)變曲線。Zhou等[4]基于隨機骨料模型提出了再生混凝土細觀力學分析的有限元方法。

損傷力學主要研究材料內(nèi)部微觀缺陷產(chǎn)生和發(fā)展所引起的宏觀力學效應(yīng)及其最終導致材料破壞的過程和規(guī)律。從細觀來看，與普通混凝土相比，再生混凝土結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，一般認為是由天然骨料、舊砂漿、舊界面區(qū)、新砂漿、新界面區(qū)組成的五相復(fù)合材料[5]，如圖1所示。國內(nèi)外學者利用損傷理論提出了針對普通混凝土的損傷模型，例如Loland模型和Mazars模型。對再生混凝土損傷模型的研究忽略了塑性損傷的影響，抑或簡化了部分再生混凝土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，因而精度受到了一定影響。Xi等[6]提出了混凝土體積模量的廣義n相復(fù)合模型，如圖2所示。該模型假定各組分的泊松比相同，而RAC各相泊松比基本相同[7]，因結(jié)構(gòu)與再生混凝土十分相似可用于推導再生混凝土損傷變量。Peng等[8]通過基于勢能原理的基力單元法（BFEM）分析了尺寸對RAC抗拉強度的影響。程卓群[9]基于Najar能量法研究了混凝土動態(tài)雙軸受壓損傷特性。

綜上，把再生混凝土當作彈塑性材料，再從能量損失的角度基于廣義自洽模型對單軸受壓下的再生混凝土損傷變量進行重新定義，數(shù)值重構(gòu)胡曉斌[10]的再生混凝土單軸塑性損傷實驗并計算損傷變量進行對比，從而分析再生混凝土的損傷機理。

1 基本公式與推導

將圖2中廣義自洽模型中Γ1、Γ2定義為RAC中的舊界面與新界面，Inclusion、Original matrix、Effective matrix分別對應(yīng)RAC的天然骨料、舊砂漿、新砂漿，EI、EM、EE分別為骨料、舊砂漿、新砂漿的彈性模量。qx、qy分別是沿著x、y方向的均勻分布荷載。

基于Dong[11]的工作，對于受遠場應(yīng)力作用的裂紋無限各向同性模型，在模型中源點P處的位移和應(yīng)力積分方程如下：

[uk（P）=u0k（P）+Γ1Uki（P，q）ti（q）dΓ（q）-Γ1Tki（P，q）ui（q）dΓ（q）+Γ2Tki（P，q）Di（q）dΓ]， （1）

[σkl（P）=σ0kl（P）+Γ1Ukli（P，q）ti（q）dΓ（q）-Γ1Tkli（P，q）ui（q）dΓ（q）+Γ2Tkli（P，q）Di（q）dΓ]， （2）

式中：q是作用在界面上場點;[u0k]和[σ0kl]是由遠場均勻分布荷載在p點引起的位移和應(yīng)力;[Di（q）=ui（q-）-ui（q+）]其中[q-]和[q+]是內(nèi)部微裂縫上下表面坐標相同的點;[Uki，Tki，Ukli，Tkli]是無限各向同性彈性力學平面問題的基本解[12]

[Uki=18πG（1-ν）（3-4ν）ln（1r）δki+?r?xk?r?xi]， （3a）

[Tki=-14π（1-ν）r?r?n（1-2ν）δki+2?r?xk?r?xi-（1-2ν）?r?xkni-?r?xink]， （3b）

[Ukli=14π（1-ν）r{（1-2v）[δkir，l+δlir，k-δklr，i]+2r，ir，lr，k}]， （3c）

[Tkli=G2π（1-ν）r22?r?n（1-2ν）δklr，i+ν（δkir，l+δlir，k）-4r，ir，lr，k+2ν（nkr，ir，l+nlr，ir，k）+]

[（1-2ν）（2nir，kr，l+nkδli+nlδki）-（1-4ν）niδkl]， （3d）

式中：[δki]是克羅內(nèi)克算子;[r，i=?r（P，q）?xi（q）]，其中r是源點P與場點q之間的距離;[?r?n=r，ini]，其中ni 是法線在場點q相對于xi的方向余弦;G和ν是剪切模量與泊松比。

當源點P接近位于舊界面區(qū)的邊界點p，公式（1）變?yōu)?/p>

[ckiui（P）=u0k（P）+Γ1Uki（P，q）ti（q）dΓ（q）-Γ1cTki（P，q）ui（q）dΓ（q）+Γ2Tki（P，q）Di（q）dΓ]， （4）

式中：[cki]由舊界面區(qū)的幾何形狀決定的常數(shù);符號[∫c]表示柯西主值積分。

當源點P接近位于裂縫表面上的點p，應(yīng)力積分方程變?yōu)?/p>

[σkl（p）=σ0kl（p）+Γ1Ukli（p，q）ti（q）dΓ（q）-Γ1Tkli（p，q）ui（q）dΓ（q）+Γ2sTkli（p，q）Di（q）dΓ（q）]， （5）

式中，符號[∫s]表示Hadamard有限部分積分。

由于再生混凝土各相泊松比相同符合廣義自洽模型的假定，據(jù)Leite[13]的工作，公式（3a）到（3d）可改寫為

[UIki=EEIUki]， （6a）

[TIki=Tki]， （6b）

[UIkli=Ukil]， （6c）

[TIkli=EIETkli]。 （6d）

將公式（6a）～（6d）代入公式（4），并考慮邊界條件：

[EIUI=EMUM? ? TI=-TM? ? ?uI=uM? ? ?tI=-tMfor? ? q? ? on? ? ?Γ1]， （7a）

[EEUE=EMUM? ? TM=-TE? ? ?uM=uE? ? ?tM=-tEfor? ? q? ? on? ? ?Γ2]。 （7b）

可以得到P在Γ1的位移邊界積分方程：

[cki（1+EIE）ui（p）=u0i（p）-Γ1c（1-EIE）Tki（p，q）ui（q）dΓ+Γ2Tki（p，q）Di（q）dΓ]。 （8）

因此，公式（8）可改寫為：

[（EIcI（p）+EMcM（p）EE）uM（p）=u0（p）-Γ1（EM-EIEE）TM（p，q）uM（q）dΓ-Γ2（1-EMEE）TE（p，q）uE（q）dΓ]。 （9a）

同理可得P在Γ2的位移邊界方程：

[（cE（p）+EMEEcM（p））=u0（p）-Γ1（EM-EIEE）TM（p，q）uM（q）dΓ-Γ2（1-EMEE）TE（p，q）uE（q）dΓ]， （9b）

式中：[uE（q）]和[TE（P，q）]是場點q在Γ2界面上的位移和牽引力;[uM（q）]和[TM（P，q）]是場點q在Γ1界面上的位移和牽引力。再生混凝土進入塑性階段產(chǎn)生損傷，同時剛度劣化即彈性模量發(fā)生劣化，由此對（9a）及（9b）中的彈性模量求導，結(jié)果如下：

[（cE（p）+EMEEcM（p））uE（p）-EME2EcM（p）uE（p）=u0（p）-Γ2（1-EMEE）TM（p，q）uE（q）dΓ-Γ2EME2ETE（p，q）uE（q）dΓ-]

[Γ1（EM-EIEE）TM（p，q）uM（q）dΓ+Γ1（EM-EIE2E）TM（p，q）uM（q）dΓ]， （10a）

和

[（EMcM（p）+EIcI（p）EE）uE（p）-（EMcM（p）+EIcI（p）E2E）uE（p）=u0（p）-Γ2（1-EMEE）TM（p，q）uE（q）dΓ-Γ2EME2ETE（p，q）uE（q）dΓ-]

[Γ1（EM-EIEE）TM（p，q）uM（q）dΓ+Γ1（EM-EIE2E）TM（p，q）uM（q）dΓ]， （10b）

式中，[u=?u?EE]。在數(shù)值計算中，對于二維建模的再生混凝土界面區(qū)的網(wǎng)格劃分一般為Plane82平面8節(jié)點單元，因此對公式（10a）及（10b）進行整理，得到如下矩陣方程：

[Hu=u0]， （11a）

[Hu=u0-Hu]， （11b）

式中：[u]和[u0]分別是未知的位移和已知的初始位移;[H]和[H]是（10a）和（10b）的系數(shù)矩陣?？捎桑?1a）得到界面區(qū)的位移[u]，然后可以用以下公式[14]推導再生混凝土損傷過程中的能量耗散：

[ΔW=W0-Wl=12EE（EM-EI）Γ1t0iuidΓ+（EE-EM）Γ2t0iuidΓ]， （12）

式中，[Wl]為受損狀態(tài)下的能量。又

[W0=1/2Ωσijε0ijdΩ]。 （13）

線彈性材料的一般本構(gòu)關(guān)系可以用張量表示為下列形式[15]：

[σij=Cijklεkl]， （14）

式中，[Cijkl]是四階彈性張量，對于各向同性材料可寫為：

[Cijkl=λδijδkl+G（δikδjl+δilδjk）]， （15）

式中：[λ=Ev（1+ν）（1-2ν）];[G=E2（1+ν）]。由廣義自洽模型假定ν一致可得

[CIijklEI=CMijklEM]。 （16）

將公式（15）代入公式（14）可得

[σIij=EIEMCMijklεkl]。 （17）

則公式（13）可寫為

[W0=1/2Ωσijε0ijdΩ=1/2ΩEIEMCMijklεklε0ijdΩ=1/2EIEMΩεklσ0kldΩ=1/2Γt0kukdΩ]。 （18）

將公式（18）代入公式（12），即得到再生混凝土塑性階段的能量損耗：

[ΔW=1/2I=1N（EM-EI+EEEE）Γ1t0iuidΓ]。 （19）

當[EM=EI]時，即舊砂漿與天然骨料彈性模量一樣，則[ΔW=W0]即無損狀態(tài)，由假設(shè)天然骨料不發(fā)生損傷，公式成立。

當塑性階段剛開始，[Wl=0]，即：

[12EE（EM-EI）Γ1t0iuidΓ+（EE-EM）Γ2t0iuidΓ=0]。 （20）

只要給定初始[E0E]，即可通過迭代式（11a）、式（11b）及式（20）即可計算得損傷過程中新砂漿受損后的彈性模量。

Najar損傷理論中將損傷定義為受損狀態(tài)中與無損狀態(tài)下的能量比，則據(jù)式（18）和（19）可定義損傷變量為

[D=WlW0=W0-ΔWW0=1-I=1N（EM-EIEE）Γ1t0iuidΓΓt0iuidΓ]。 （21）

由公式（19）計算結(jié)果可得損傷變量。

2 數(shù)值算例

為了驗證式（21）計算的損傷變量是否符合再生混凝土受壓的一般規(guī)律，與胡曉斌[10]試驗研究進行對比，文中再生混凝土損傷塑性本構(gòu)模型如下：

[d=A1xB1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ?01，] （22）

式中：[A1]、[B1]、[A2]、[B2]都是由邊界條件決定的常數(shù);[C2]、[D2]是由實驗數(shù)據(jù)擬合來的應(yīng)力應(yīng)變曲線的參數(shù)。

考慮邊界條件：

[yx=1=1]，[dydxx=1=0]， （23）

式中，[x=εεc]、[y=σfc]分別為歸一化的應(yīng)變和應(yīng)力?？梢源_定[A1]、[B1]、[A2]、[B2]的值：

[A1=1-11-mEsE0，B1=1-mn（1-m）[（（1-m）E0Es）-1]，A2=1-mn（1-m）2EsE0，B2=m（n-1）（1-m）2EsE0]， （24）

式中，[Es]是應(yīng)力應(yīng)變曲線峰值的割線斜率。

根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，擬合曲線可以得到應(yīng)力應(yīng)變曲線的參數(shù)：

[C2=1.46r2-1.16r+0.71，D2=1.72] 。 （25）

對其實驗進行數(shù)值模擬重構(gòu)，細觀再生混凝土由天然骨料、舊界面、舊砂漿、新界面新砂漿組成，各相的彈性模量、泊松比和抗拉強度如表1，模擬的試塊尺寸為100 mm×100 mm，再生混凝土試塊的骨料占比率分別為25%、50%、75%（如圖3），并對試塊進行單軸加載如圖4。

在模擬的過程中，由于再生混凝土抗拉強度比抗壓強度低很多，所以忽略了拉伸行為，簡化模擬過程。先將模擬的結(jié)果代入胡曉斌[10]推導的公式（22）中繪制出點集（22），同時將歸一化的[ui=x=εεc]代入公式（21）繪制出點集（21）并與試驗[10]擬合的曲線進行對比，如圖5。

圖5中，由于公式（21）推導的是細觀再生骨料的損傷值，而胡曉斌[10]的實驗中是宏觀再生混凝土試塊受壓的損傷過程，骨料還沒有完全損壞，裂縫已經(jīng)貫穿再生混凝土失去承載能力，所以損傷值的極限值不是1而是0.8。

本文基于能量損失理論，在廣義自洽模型的基礎(chǔ)上對非均質(zhì)材料能量公式進行重新推導，得到了僅含有界面位移的能量公式，由此重新定義了損傷變量，并計算了不同再生骨料替換率的試塊單軸受壓的損傷演化并與傳統(tǒng)損傷模型進行了對比。

1）在0

2）在x>1的區(qū)間內(nèi)，25%骨料替換率的試塊，式（22）在塑性階段損傷演化的較慢，且試塊受壓斷裂后依然沒有趨于穩(wěn)定。而式（21）在位移為4時損傷變量就發(fā)展完全趨于穩(wěn)定。50%骨料替換率的試塊，式（21）與式（22）D-x曲線幾乎重合。而在75%骨料替換率的試塊，式（22）在進入塑性階段后損傷值迅速上升，再生混凝土試塊的力學性能迅速劣化，并于位移為3處就發(fā)展完全，式（21）的損傷值繼續(xù)演化，于位移為5處發(fā)展完全并穩(wěn)定。

3 結(jié)論

1）新推導的能量公式只包含位移這一個未知參數(shù)，在計算損傷值時比傳統(tǒng)損傷本構(gòu)模型效率更高。

2）隨著骨料替換率的升高，傳統(tǒng)損傷本構(gòu)模型的損傷演化速率升高，預(yù)測的再生混凝土試塊的壽命縮短。但是再生混凝土試塊依然能繼續(xù)承載，因此低估了再生混凝土的承載力。而較低骨料替換率時，裂縫已經(jīng)貫穿試塊，損傷值依然沒有發(fā)展完全。由此，新推導的能量公式更能描述再生混凝土受壓過程的損傷演化。

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