華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631)曾培林 韓彥昌

1 引言

解題方法按照通用性可以大致劃分成“通性通法”和“特殊技巧”,其各自的支持者也形成了兩種對立的思想流派.“通派”傾向于解題為知識服務(wù),要求建立扎實的數(shù)學(xué)知識體系,使學(xué)生逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣[1],注重解題方法的推廣價值;而“巧派”認為解題應(yīng)為考試服務(wù),強化學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的編碼和表征能力,通過引入創(chuàng)造性、高觀點、高效率的解題技巧以實現(xiàn)有限時間內(nèi)得分最大化.

“通派”和“巧派”的理念碰撞引發(fā)了長期的學(xué)術(shù)爭鳴[2],近年來通派逐漸占據(jù)上風,以文[3]最具代表性,其主要觀點為“淡化特殊技巧,重視通性通法”,相反,鮮有學(xué)者為“特殊技巧”背書.個中原因,首先在于當今數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)精神是科學(xué)化、體系化,“通解”自然而然被視為解題的首選;其次,“巧派”有不顧學(xué)生發(fā)展水平,生搬硬套解題技巧的傾向,逐漸背離了創(chuàng)造性的宗旨.“通派”的優(yōu)勢一定程度反映出數(shù)學(xué)教育者開始對過往唯分數(shù)論的功利學(xué)風進行反思與批判,是我國數(shù)學(xué)教育事業(yè)在進步的體現(xiàn);但另一方面,解題教學(xué)中,“通性通法”與“特殊技巧”相比是否存在不足之處?二者互為補充是否更有助于學(xué)生能力的提升?本文援引一個經(jīng)典問題對它們進行比較研究.

2 “卡當旋輪問題”的通解與巧解

2.1 問題背景概述

文藝復(fù)興時期的意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家及醫(yī)生卡當(Girolamo Cardano,1501-1576,亦譯作卡爾達諾)被譽為“百科全書式學(xué)者”.卡當于1545年出版的《大術(shù)》(拉丁文Ars Magna,亦譯作《偉大的藝術(shù)》)是其最主要的數(shù)學(xué)論著,在數(shù)學(xué)史上具有重要地位,它開創(chuàng)了代數(shù)方程的理論研究,首次系統(tǒng)地給出了三、四次多項式方程的一般解法,并且最早討論了虛數(shù)及其運算[4].

除此之外,卡當曾提出過著名的“卡當旋輪問題”[5].如圖1,一個可動的小圓在一個固定的大圓的內(nèi)沿做無滑動滾動,且大圓的半徑為小圓的2 倍,試問當小圓回到最初位置時,小圓自身轉(zhuǎn)過多少圈?

圖1

解決該問題的關(guān)鍵在于如何將“無滑動滾動”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.小圓的“無滑動滾動”可以分解成“自轉(zhuǎn)”和“公轉(zhuǎn)”兩個過程,運動狀態(tài)比較復(fù)雜.部分人想當然地認為小圓公轉(zhuǎn)一周時,自轉(zhuǎn)圈數(shù)就等于大圓和小圓周長的比值,即小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)為而事實上,小圓只自轉(zhuǎn)了1 圈.為此本文分別用“通性通法”和“特殊技巧”對“卡當旋輪問題”進行解答,試圖比較二者在思路、效率和可推廣性上區(qū)別.

2.2 “卡當旋輪問題”的通解

“卡當旋輪問題”屬于動點軌跡問題,解析幾何中的參數(shù)方程法是解決這類問題的通用方法,解題思路概括為:問題理解?建立坐標系?選取參數(shù)?解決問題.

王俊超在文[6]中使用參數(shù)方程的方法將“卡當旋輪問題”一般化,對大圓與小圓半徑之比為的情況進行研究,證明了3 個結(jié)論,本文對其解法進行簡要介紹.

如圖2,設(shè)⊙O1和⊙O2半徑分別為R和r(R >r),以⊙O1的圓心點O1為原點建立平面直角坐標系,設(shè)O2的初始位置在x軸正半軸上,標定O2最右端的點為研究對象,記作點P.

圖2

當⊙O2滾動到位置,點P運動到P′處,記令P′相對所在直線轉(zhuǎn)過的角度為η,則令P′相對水平方向(x軸)轉(zhuǎn)過的角度為μ,由圖2 易知μ+θ=η.

其中“內(nèi)擺線”是指本問題中,點P的軌跡,此處僅給出內(nèi)擺線閉合性的條件,詳情請參見[6].

評述從參數(shù)方程的視角出發(fā)研究圓的滾動問題,不僅能求出點P的軌跡方程和小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù),而且給出了內(nèi)擺線閉合的充要條件,將原本“卡當旋輪問題”的研究范圍拓寬到新的領(lǐng)域.由此可見,“通性通法”解題,除了解決問題本身之外,還有助于知識遷移,拔高了問題本身的價值,使其中涉及到的數(shù)學(xué)思想方法具有可推廣性.但另一方面,該方法變量繁多,對學(xué)生的計算能力的要求較高.在筆者向?qū)W生講解的過程中發(fā)現(xiàn),他們?nèi)菀资芾в趯栴}直觀想象能力的不足,無法理解結(jié)論2——“為什么小圓自轉(zhuǎn)了圈,而不是圈?”.參數(shù)方程方法雖然可以證明結(jié)論2,但缺少對小圓滾動過程的直觀解釋,導(dǎo)致學(xué)生只知其然而不知其所以然.

2.3 “卡當旋輪問題”的巧解

在“卡當旋輪問題”中,小圓“公轉(zhuǎn)”以大圓圓心O1為參考系,而其“自轉(zhuǎn)”則以O(shè)1和O2所在的整個平面為參考系,恰是因為兩種轉(zhuǎn)動的參考系不一樣,使未能認清這一點的學(xué)生得出“大圓和小圓周長之比就是小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)”的錯誤結(jié)論.

小圓的滾動同時包含了“自轉(zhuǎn)”與“公轉(zhuǎn)”兩種運動,容易聯(lián)想到地球和太陽之間也存在類似的關(guān)系.筆者發(fā)現(xiàn),將“卡當旋輪問題”類比成地日關(guān)系,恰好可以解釋小圓自轉(zhuǎn)圈數(shù)為什么是圈.

如圖3,簡化模型,將大圓圓心O1視作太陽,將小圓視作地球,小圓圓心O2為地球球心,地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道視作一個圓周.

圖3

地球上除了南北兩極之外的地區(qū)都存在晝夜交替的現(xiàn)象,這是地球自轉(zhuǎn)的結(jié)果.如圖4,在地球上任取一地點Q,一天有24 小時,令其處于當?shù)貢r間正午12 點時,則此時Q恰好距離太陽最近,即地球上的“近日點”;與此相對的,Q關(guān)于O2的對稱點P恰好在當?shù)貢r間午夜0 點,即“遠日點”.24 小時后,地球球心從O2運動到處,Q運動到Q′處,Q(Q′)再次成為“近日點”.

圖4

評述此處的特殊技巧可以描述成:問題理解?聯(lián)想天體之間的關(guān)系?類比推理?解釋結(jié)論.和“通性通法”相比,計算難度更低,直觀性更強,易于被學(xué)生接受.但另一方面,“巧解”并不能如“通解”那般得出結(jié)論1 和結(jié)論3,即對問題的推廣性上不如通解,這也是巧解的局限性之所在.

3 “通性通法”與“特殊技巧”的哲學(xué)關(guān)系

數(shù)學(xué)解題中的“通性通法”與“特殊技巧”構(gòu)成一對矛盾體,矛盾雙方具有對立性與同一性.

“通解”和“巧解”的對立性始于對“解題究竟應(yīng)該為什么服務(wù)?”的大討論,從解題思路上看,通解偏向知識的體系性,巧解偏向解題的創(chuàng)造性;從解題效率上看,巧解有時候比通解更加迅捷;從可推廣性上看,通解對問題具有更廣闊的拓展空間.

“通解”和“巧解”的同一性則在于,二者能聯(lián)袂產(chǎn)生“1+1>2”的效果.當今數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)精神是科學(xué)化、體系化,通解自然被視為解題的首選,但要求學(xué)生只學(xué)習(xí)通性通法,一定程度限制了他們的創(chuàng)造力和個人表達的空間;而寄希望于向?qū)W生灌輸解題技巧,鋌而走險追求需要苛刻的天資才能支撐起來的創(chuàng)造性思維,則有?？煽啃缘脑瓌t.兼顧通解和巧解,學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以更好地發(fā)展.它們就像雕刻家的手中的兩中種工具,通解如同鑿子,用于揭示問題的大致輪廓,巧解如同刻刀,在細節(jié)的刻畫上更加精確,缺少鑿子和刻刀中任何一個,雕像終究是有缺憾的.總而言之,通解與特解雖然對立,但二者統(tǒng)一于數(shù)學(xué)的大體系中.