基于扁拱突變理論的路基下伏溶洞頂板穩(wěn)定性分析

陳言章，謝子翰

（1.廣東省建筑設(shè)計(jì)研究院有限公司，廣東 廣州 510010；2.廣州市市政工程設(shè)計(jì)研究總院有限公司，廣東 廣州 510060）

0 引言

在我國(guó)巖溶發(fā)育地區(qū)，無(wú)論是高速公路還是市政道路在進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)都無(wú)法回避路基下伏溶洞這個(gè)工程難題，當(dāng)路基下伏溶洞時(shí)，會(huì)極大削弱路基的承載力，導(dǎo)致路基塌陷，具有很大的安全隱患[1，2]。目前，設(shè)計(jì)人員在判斷下伏溶洞穩(wěn)定定時(shí)，主要是參考現(xiàn)行《公路橋涵地基與基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范》（JTG3363—2019）[3]以及《巖土工程勘察規(guī)范》（GB 50021—2009）[4]，但是由于溶洞穩(wěn)定性問(wèn)題的復(fù)雜性，往往更多地取決于技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)性，工程上也更多的不經(jīng)過(guò)計(jì)算，便保守采用充填法、強(qiáng)夯法等對(duì)溶洞進(jìn)行處治，往往造成工程造價(jià)增加。

目前，在針對(duì)路基下伏溶洞頂板穩(wěn)定性問(wèn)題，學(xué)者、工程師們提出了眾多理論計(jì)算模型。韓紅艷等[5]將溶洞頂板簡(jiǎn)化為梁板體系，得到溶洞頂板的的跨度、厚度等參數(shù)對(duì)其穩(wěn)定性的影響；趙明華等[6]考慮荷載分布的非均布性和非對(duì)稱(chēng)性，基于Boussinesq解求得在任意荷載分布作用下的溶洞頂板穩(wěn)定性；趙明華等[7]借助復(fù)變函數(shù)，基于Schwarz 交替法分析了巖溶區(qū)存在雙孔土洞時(shí)路基的穩(wěn)定性問(wèn)題。以上研究均是假定巖層彈性均質(zhì)，但鑒于巖層破壞存在不規(guī)則、不連續(xù)等突發(fā)特點(diǎn)[8-10]。何忠明等[11]借助尖點(diǎn)突變理論模擬路基在逐層填筑過(guò)程中溶洞頂板的極限平衡狀態(tài)。張成良等[12]結(jié)合以塑性應(yīng)變能為準(zhǔn)則的尖點(diǎn)突變理論探究了頂板厚度、溶洞跨度、上覆土層厚度、巖石強(qiáng)度參數(shù)對(duì)巖溶頂板極限承載力的影響。

鑒于突變理論在分析系統(tǒng)狀態(tài)突變的非線(xiàn)性上具有一定的優(yōu)勢(shì)[13]，本文基于扁拱突變理論，建立了兩端固定鉸支的受力模型；然后，根據(jù)突變失穩(wěn)判定條件，給出了確定路基極限承載能力以及溶洞頂板安全厚度的方法；最后，對(duì)影響頂板穩(wěn)定的進(jìn)行參數(shù)分析。

1 計(jì)算模型及基本假定

由于拱結(jié)構(gòu)的受力合理性，在橋梁和隧道結(jié)構(gòu)中得到廣泛應(yīng)用[14]。根據(jù)大量工程實(shí)例表明，溶洞形狀大多呈拱形[15]，見(jiàn)圖1。因此，當(dāng)?shù)缆仿坊路芏磿r(shí)，本文將溶洞的受力簡(jiǎn)化為如圖2 所示的平面應(yīng)變模型，并做如下假定：

圖1 路基下伏溶洞受荷體系

圖2 簡(jiǎn)化計(jì)算模型

（1）頂板支座視為兩端固定鉸支，溶洞受荷前拱軸滿(mǎn)足正弦扁拱方程。

（2）溶洞頂板上覆土層自重、路基荷載、汽車(chē)荷載等效為均布荷載作在頂板上。

圖中：h 為溶洞頂板的厚度；l 為溶洞頂板的跨徑；q 為作用在溶洞頂板巖層上的均布荷載；f 為受荷載前拱的矢高；u 為均布荷載作用下扁拱形變過(guò)程中拱軸中點(diǎn)的高度。

3 扁拱突變分析模型的建立

3.1 勢(shì)函數(shù)

研究表明，圖2 所示的扁拱只要高跨比相同，則不論其什么形狀（如拋物線(xiàn)形、雙曲線(xiàn)形），其臨界荷載都極為接近[16]。因此，本文假設(shè)受荷前拱軸為正弦曲線(xiàn)[17]：

對(duì)于兩端固定鉸支扁拱，受荷載后的拱軸方程可表示為：

拱在荷載作用下，拱端受到推力H，故受荷后的拱軸方程應(yīng)為。

式中：kd、λd分別為彈性地基的剛度和柔度，當(dāng)兩端固定鉸支約束時(shí)，λd=0[18]。

對(duì)于扁拱，可假定沿拱軸壓力為常量，且等于水平推力，則可得到：

將式（1）、式（4）代入式（8）中可得水平推力為：

由于扁拱受荷后軸向變形不可忽略，故拱失穩(wěn)的形狀可由式（4）中的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)表示。

當(dāng)扁拱有準(zhǔn)靜態(tài)位移增量時(shí)，拱內(nèi)彎曲應(yīng)變能增量為：

式中：k（x）=（y-y0）＂為扁拱軸線(xiàn)相對(duì)于初始狀態(tài)的曲率M（x）=EI（y-y0）＂為扁拱在y（x）位置時(shí)拱內(nèi)彎矩。

扁拱與彈性地基的應(yīng)變能增量為：

拱上的荷載勢(shì)變化為：

根據(jù)能量守恒原理可知[15]：

聯(lián)立式（9）、式（10）、式（13）、式（14）、式（15）及式（16），整理得：

將式（17）左右兩邊除以f3，再利用拱軸向柔度，可得：

3.2 突變模型平衡曲面與分叉集方程

對(duì)式（18）作如下變量代換：

可將式（18）化成尖點(diǎn)突變模型平衡曲面M 的標(biāo)準(zhǔn)形式：

平衡曲面M 見(jiàn)圖3。在M 上有兩條垂直切線(xiàn)的點(diǎn)集S 上，存在：

聯(lián)立式（20）、式（21）消去t，即可得到突變模型的分叉集方程（S 集在控制平面上的投影為分叉集，見(jiàn)圖3）：

圖3 突變模型平衡曲線(xiàn)與分叉集

因此，基于扁拱突變理論的巖溶區(qū)路基下伏溶洞頂板突變失穩(wěn)與否可根據(jù)如下判據(jù)判定[19]：

（1）當(dāng)Δ＞0，巖溶頂板處于穩(wěn)定狀態(tài)。

（2）當(dāng)Δ＜0，巖溶頂板突變失穩(wěn)。

（3）當(dāng)Δ=0，巖溶頂板處于臨界狀態(tài)。

3.3 路基極限承載力及溶洞頂板安全厚度的確定

通過(guò)上述分析，要使得溶洞頂板處于穩(wěn)定狀態(tài)，需滿(mǎn)足Δ≥0，將式（19）代入式（22）中，并整理可得：

（1）溶洞頂板安全厚度的確定

（2）路基極限承載力的確定

根據(jù)式（23）可得，巖溶區(qū)路基極限承載力為：

3.4 影響因素分析

根據(jù)以上分析可知，與頂板突變失穩(wěn)有關(guān)的參數(shù)主要有：（1）溶洞頂板厚度h；（2）溶洞頂板跨徑l；（3）溶洞頂板失高f；（4）巖層的彈性模量E；（5）溶洞頂板上覆荷載q。因此本文將針對(duì)以上四個(gè)參數(shù)對(duì)溶洞頂板的穩(wěn)定性進(jìn)行影響分析。

為了更加直觀(guān)探究各參數(shù)對(duì)頂板穩(wěn)定性的影響，引入無(wú)量綱參量k，將式（24）化簡(jiǎn)為：

當(dāng)k 不小于1 時(shí)，表明溶洞頂板處于穩(wěn)定狀態(tài)，反之則易發(fā)生失穩(wěn)。

3.4.1 溶洞頂板厚度的影響分析

為探究溶洞頂板厚度對(duì)其穩(wěn)定性的影響，令q=100 MPa，E=19 GPa，f=4 m，l 為12 m、15 m、18 m，并使溶洞頂板厚度h 分別為0.5 m、1.0 m、2.0 m、3.0 m、4.0 m 時(shí)，代入式（25）可得，溶洞頂板厚度h 對(duì)k 的影響，見(jiàn)圖4。

圖4 溶洞頂板厚度影響分析

通過(guò)圖4 可知，隨著溶洞頂板厚度的減小，無(wú)量綱參量k 隨之減小，當(dāng)溶洞頂板厚度達(dá)到某一臨界厚度時(shí)，k 將由大于1 的值變化到小于1 的值，此時(shí)頂板也將發(fā)生失穩(wěn)。如當(dāng)溶洞頂板跨徑為15 m 時(shí)，此時(shí)溶洞頂板的失穩(wěn)的臨界厚度約為0.63 m。

3.4.2 溶洞頂板跨徑的影響分析

為探究溶洞頂板跨徑對(duì)其穩(wěn)定性的影響，令q=100 MPa，E=19GPa，f=4 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使溶洞頂板跨度l 分別為6 m、9 m、12 m、15 m、18 m時(shí)，代入式（25）可得，溶洞頂板跨度l 對(duì)k 的影響，見(jiàn)圖5。

圖5 溶洞頂板跨徑影響分析

通過(guò)圖5 可知，隨著溶洞頂板跨徑的增大，無(wú)量綱參量k 隨之減小，當(dāng)溶洞頂板跨徑達(dá)到某一臨界跨度時(shí)，k 將由大于1 的值變化到小于1 的值，此時(shí)頂板也將發(fā)生失穩(wěn)。如當(dāng)溶洞頂板厚度為1.0 m 時(shí)，此時(shí)溶洞頂板的失穩(wěn)的臨界跨徑約為17.1 m。

3.4.3 溶洞頂板失高的影響分析

為探究溶洞頂板失高對(duì)其穩(wěn)定性的影響，令q=100 MPa，E=19 GPa，l=15 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使溶洞頂板失高f 分別為2 m、3 m、4 m、5 m、6 m時(shí)，代入式（25）可得，溶洞頂板失高f 對(duì)k 的影響，見(jiàn)圖6。

通過(guò)圖6 可知，隨著溶洞頂板失高的增大，無(wú)量綱參量k 隨之增加。說(shuō)明當(dāng)溶洞頂板跨徑一定時(shí)，隨著溶洞失高與跨徑比值的增加，溶洞頂板的拱效應(yīng)越強(qiáng)，溶洞頂板的極限承載力也越高。

圖6 溶洞頂板失高影響分析

3.4.4 巖層的彈性模量的影響分析

為探究巖層彈性模量對(duì)溶洞頂板穩(wěn)定性的影響，令q=100 MPa，l=15 m，f=4 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使巖層的彈性模量E 分別為17 GPa、19 GPa、21 GPa、23 GPa、25 GPa 時(shí)，代入式（25）可得，巖層彈性模量E對(duì)k 的影響，見(jiàn)圖7。

圖7 巖層彈性模量影響分析

通過(guò)圖7 可知，隨著巖層彈性模量的增加，無(wú)量綱參量k 呈線(xiàn)性遞增，說(shuō)明溶洞頂板的極限承載力與巖層彈性模量正相關(guān)。

3.4.5 溶洞頂板上覆荷載的影響分析

為探究溶洞頂板上覆荷載對(duì)其穩(wěn)定性的影響，令E=19 GPa，l=15 m，f=4 m，h 為0.5 m、1.0 m、2.0 m，并使溶洞頂板上覆荷載q 分別為50 MPa、100 MPa、150 MPa、200 MPa、250 MPa 時(shí)，代入式（25）可得，溶洞頂板上覆荷載q 對(duì)k 的影響，見(jiàn)圖8。

通過(guò)圖8 可知，隨著溶洞頂板上覆荷載的增加，無(wú)量綱參量k 呈非線(xiàn)性遞增，說(shuō)明溶洞頂板的極限承載力與溶洞頂板上覆荷載負(fù)相關(guān)。

圖8 溶洞頂板上覆荷載影響分析

4 結(jié)論

（1）根據(jù)路基下伏溶洞受荷體系的力學(xué)特性，將結(jié)構(gòu)體系簡(jiǎn)化為兩端固定鉸支的扁拱模型，其受力特點(diǎn)更加符合工程實(shí)際。

（2）基于扁拱突變理論推導(dǎo)出路基下伏溶洞頂板的極限承載力及最小安全厚度，該方法可綜合分析溶洞自身各參數(shù)及其上覆荷載對(duì)頂板穩(wěn)定性的影響。

（3）溶洞頂板的極限承載力隨著溶洞頂板厚度h的增加，溶洞頂板失高f 的增加、巖層彈性模量E 的增加而增加，隨著溶洞頂板跨徑l、溶洞頂板上覆荷載q 的增加而減小。