胡杰

（1.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，四川 綿陽(yáng) 621999；2.工程材料與結(jié)構(gòu)沖擊振動(dòng)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 綿陽(yáng) 621999）

裝備結(jié)構(gòu)在定型并投入到實(shí)際工程應(yīng)用之前，往往都需要通過(guò)環(huán)境試驗(yàn)對(duì)其環(huán)境適應(yīng)性進(jìn)行考核，其目的是在試驗(yàn)室中通過(guò)模擬實(shí)際環(huán)境的載荷工況或者使得產(chǎn)品產(chǎn)生與其在實(shí)際工況下等效的響應(yīng)，以考察裝備結(jié)構(gòu)是否能夠滿足各項(xiàng)指標(biāo)要求。其中，振動(dòng)環(huán)境對(duì)大多數(shù)裝備結(jié)構(gòu)而言，都是在實(shí)際使用過(guò)程中不可避免的載荷工況，因此在環(huán)境試驗(yàn)中扮演著重要的角色。

振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)中，最常采用的加載設(shè)備為振動(dòng)臺(tái)，試驗(yàn)中一般是在臺(tái)面或者產(chǎn)品上設(shè)置響應(yīng)控制點(diǎn)，使得控制點(diǎn)產(chǎn)生預(yù)期的響應(yīng)。目前最常見(jiàn)的形式為單點(diǎn)激勵(lì)方式，即采用單個(gè)振動(dòng)臺(tái)加載。這種試驗(yàn)方式應(yīng)用比較成熟[1]，諸多試驗(yàn)規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)也制定了相關(guān)的規(guī)定[2]。但該試驗(yàn)方式只能對(duì)單個(gè)測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)進(jìn)行控制，產(chǎn)品上其他部位的響應(yīng)往往不受控，即只能保證單個(gè)測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)達(dá)到預(yù)期目的。當(dāng)前試驗(yàn)中常采用的多點(diǎn)平均響應(yīng)控制方式實(shí)質(zhì)上仍屬于單點(diǎn)控制，只不過(guò)是對(duì)某個(gè)虛擬點(diǎn)的控制而已，多個(gè)點(diǎn)的平均響應(yīng)滿足控制要求，但各個(gè)測(cè)點(diǎn)之間差異往往很大。

從上述分析來(lái)看，如果振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)中能夠在多個(gè)點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)響應(yīng)控制，那么產(chǎn)品的響應(yīng)將能更真實(shí)地與其在實(shí)際使用環(huán)境下等效[3-5]，尤其是針對(duì)尺寸較長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)[6]。此時(shí)就需要借助多點(diǎn)激勵(lì)方式，即搭建多個(gè)加載設(shè)備（如多個(gè)振動(dòng)臺(tái)）構(gòu)成的激勵(lì)系統(tǒng)。劉志華等[7]針對(duì)正弦激勵(lì)情況，提出了多點(diǎn)激勵(lì)正弦振動(dòng)實(shí)數(shù)域控制算法的控制流程。對(duì)于振動(dòng)環(huán)境中最為關(guān)注的隨機(jī)振動(dòng)工況，20世紀(jì)80年代由Small-wood等[8-9]初步建立了多點(diǎn)隨機(jī)振動(dòng)控制方法，建議根據(jù)重要性程度，對(duì)譜矩陣中的對(duì)角線元素進(jìn)行排列，靠前的元素優(yōu)先收斂，但無(wú)法實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)加權(quán)綜合控制。劉青林等[10]采用柔性懸掛-多點(diǎn)激勵(lì)試驗(yàn)方法對(duì)某彈體結(jié)構(gòu)飛行過(guò)程中的面載荷進(jìn)行了有效模擬。謝志勇等[11]研究了結(jié)構(gòu)在力型輸入和加速度型輸入條件下，多點(diǎn)激勵(lì)的振動(dòng)響應(yīng)求解方法，結(jié)果表明，采用力型輸入與實(shí)驗(yàn)吻合最好。韓偉等[12]應(yīng)用虛擬試驗(yàn)技術(shù)在試驗(yàn)前進(jìn)行試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)及優(yōu)化，驗(yàn)證了雙點(diǎn)激勵(lì)虛擬試驗(yàn)的準(zhǔn)確和可靠性。李永華等[13]則在數(shù)值模擬方法上，對(duì)多點(diǎn)激勵(lì)下的響應(yīng)求解開(kāi)展了研究，提出了多點(diǎn)激勵(lì)下絕對(duì)位移直接求解的虛擬激勵(lì)法，并進(jìn)一步對(duì)該算法開(kāi)展了誤差的頻域分析[14]。

多點(diǎn)激勵(lì)的難點(diǎn)主要是多點(diǎn)激勵(lì)之間相關(guān)性（體現(xiàn)為互譜）的控制，體現(xiàn)了多個(gè)激勵(lì)載荷之間的協(xié)調(diào)配合。賀旭東等[15-16]從試驗(yàn)控制的角度對(duì)互譜矩陣開(kāi)展了仿真研究，基于矩陣分解提出了獲得試驗(yàn)驅(qū)動(dòng)信號(hào)的控制算法，但對(duì)于互譜元素非零的情況還有待進(jìn)一步深入研究。葉建華[17]開(kāi)發(fā)了雙振動(dòng)臺(tái)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制系統(tǒng)樣機(jī)，對(duì)2個(gè)控制點(diǎn)的不同響應(yīng)功率譜密度分別進(jìn)行了控制。祝濟(jì)之等[18]將2個(gè)響應(yīng)控制點(diǎn)設(shè)置在夾具與試驗(yàn)件的連接處，較好地將2個(gè)振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)傳遞到試驗(yàn)件上。

從上述分析來(lái)看，在目前多點(diǎn)激勵(lì)的研究中，一般考慮的是激勵(lì)數(shù)量與響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量相同的情況，控制的響應(yīng)點(diǎn)越多，等效程度越高，試驗(yàn)效果越好，但要求的加載設(shè)備也越多。實(shí)際情況下，搭建由多個(gè)加載設(shè)備構(gòu)成的協(xié)調(diào)激勵(lì)系統(tǒng)往往較為困難。如四點(diǎn)響應(yīng)控制中，搭建4個(gè)振動(dòng)臺(tái)的激勵(lì)系統(tǒng)并非易事，且協(xié)調(diào)加載要求也很高，難度也更大。此時(shí)，若能夠通過(guò)少量的加載設(shè)備實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)響應(yīng)控制將具有重要的實(shí)際應(yīng)用意義。其相應(yīng)的控制載荷是否存在，本文針對(duì)該問(wèn)題，并結(jié)合實(shí)際試驗(yàn)情況，對(duì)控制載荷的存在性從理論上進(jìn)行分析。

1 目標(biāo)響應(yīng)與控制載荷間傳遞關(guān)系分析

經(jīng)過(guò)有限元離散化，頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為：

式（1）中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Xa(ω)、Xv(ω)、Xd(ω)分別為結(jié)構(gòu)的加速度、速度和位移響應(yīng)；F(ω)為結(jié)構(gòu)受到的外載荷。

振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)中，常關(guān)注正弦振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)兩種工況，且考慮到實(shí)際試驗(yàn)中常關(guān)注結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，正弦振動(dòng)下，結(jié)構(gòu)加速度的諧響應(yīng)為：

式（2）中：H(ω)為載荷與加速度響應(yīng)之間的傳遞函數(shù)矩陣。

記c為所關(guān)注的多點(diǎn)響應(yīng)集合，其維數(shù)為m；f為載荷施加的節(jié)點(diǎn)集合，其維數(shù)為n。則關(guān)注點(diǎn)c的加速度諧響應(yīng)為：

其中，Hc(ω)為H(ω)中與c所對(duì)應(yīng)的行和f對(duì)應(yīng)的列所構(gòu)成的矩陣，其維數(shù)為m×n。

對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)而言，關(guān)注點(diǎn)響應(yīng)的功率譜密度矩陣Pc(ω)為：

式中：dω為頻率分辨率[19]，為圓頻率。

由于諧響應(yīng)分析是隨機(jī)振動(dòng)的基礎(chǔ)，可由諧響應(yīng)推導(dǎo)出隨機(jī)振動(dòng)的響應(yīng)，因此在討論多點(diǎn)隨機(jī)振動(dòng)下的控制載荷存在性時(shí)，可通過(guò)多點(diǎn)諧波激勵(lì)分析開(kāi)展研究，具有等價(jià)性。

2 控制載荷存在性分析

將式（4）寫(xiě)成完備矩陣形式，如式（6）所示，其中元素的虛部反映了響應(yīng)的相位信息。

記傳遞函數(shù)矩陣Hc的增廣矩陣Hz為：

另記Hc和Hz的秩分別為Rc和Rz，以下基于矩陣論中增廣矩陣對(duì)解的判定研究，討論多點(diǎn)響應(yīng)等效時(shí)控制載荷的存在性問(wèn)題。

2.1 同時(shí)控制響應(yīng)幅值和相位

1）Rc=Rz=n，即傳遞函數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相等，且為滿秩。對(duì)實(shí)際工程結(jié)構(gòu)而言，一般意味著響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量與激勵(lì)數(shù)量相等，此時(shí)式（6）存在唯一解[20]，控制載荷可由式（8）計(jì)算獲得。

將式（6）的虛部進(jìn)一步改寫(xiě)為相位角的形式，則有：

式中：α和β分別為激勵(lì)與響應(yīng)的相位角。

2）Rc=Rz＜n，對(duì)于工程結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)矩陣而言，一般意味著響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量小于控制載荷數(shù)量，此時(shí)式（6）存在無(wú)窮解[20]。

將式（6）改寫(xiě)為：

式（10）中：Ha的維數(shù)為m×m，Hb的維數(shù)為m×(n?m)。將式（10）展開(kāi)為：

當(dāng)Ff,b=0時(shí)，式（11）就退化到m=n時(shí)的情況。需要指出的是，Ha可由H矩陣中任意m列元素構(gòu)成。這種組合方式很多，相比m=n時(shí)的情況，提供了更豐富的加載組合方式。因此，控制載荷也不唯一，有利于多點(diǎn)激勵(lì)時(shí)響應(yīng)控制的實(shí)現(xiàn)。

3）Rc＜Rz，對(duì)于工程結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)矩陣而言，一般意味著響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量大于控制載荷數(shù)量，即期望通過(guò)少量的加載設(shè)備實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)的控制，此時(shí)式（6）的解往往不存在[20]。

2.2 僅控制響應(yīng)幅值

以上討論都是從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，是嚴(yán)格意義上的響應(yīng)等效分析，要求響應(yīng)功率譜密度矩陣Pc(ω)中的所有元素都得到控制，每個(gè)元素實(shí)部和虛部都等效。從動(dòng)力學(xué)意義上來(lái)說(shuō)，則表現(xiàn)為多個(gè)測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)幅值以及多個(gè)測(cè)點(diǎn)之間的相位關(guān)系都是固定的，對(duì)控制精度要求較高，實(shí)現(xiàn)難度較大。目前在工程應(yīng)用中的實(shí)際情況是只控制測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的幅值。以隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)為例，即只控制式（5）中功率譜密度矩陣Pc(ω)的對(duì)角線元素，并不控制多個(gè)控制點(diǎn)之間響應(yīng)的相位，即Pc(ω)中的非對(duì)角線元素（互譜），多個(gè)控制點(diǎn)之間的相位可以是隨機(jī)的，因此等效程度有所放寬，此時(shí)控制載荷的存在性結(jié)論將發(fā)生變化：

1）Rc=Rz=n時(shí)，即在只控制響應(yīng)自譜的情況下，加載設(shè)備數(shù)量與響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量相同時(shí)，由于式（9）中的β具有任意性，因此控制載荷Ff并不唯一，這種特性便于多點(diǎn)激勵(lì)時(shí)響應(yīng)控制的實(shí)現(xiàn)。

2）Rc=R＜n時(shí)，即在只控制響應(yīng)自譜的情況下，加載設(shè)備數(shù)量大于響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量時(shí)，與上述分析類(lèi)似，控制載荷仍然不唯一。

3）Rc＜Rz時(shí)，即在只控制響應(yīng)自譜的情況下，加載設(shè)備數(shù)量小于響應(yīng)控制點(diǎn)數(shù)量的情況。實(shí)際試驗(yàn)中，往往也只能基于有限的加載設(shè)備搭建多維振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)，那么在不控制多點(diǎn)響應(yīng)之間相關(guān)性這種相對(duì)弱化的條件下，控制載荷與等效響應(yīng)幅值之間的傳遞關(guān)系如何？若能夠通過(guò)少量的加載設(shè)備實(shí)現(xiàn)對(duì)多個(gè)點(diǎn)響應(yīng)的控制，將具有重要的工程應(yīng)用意義。

以m=3、n=2，即兩點(diǎn)激勵(lì)、三點(diǎn)響應(yīng)控制為例，對(duì)控制載荷從數(shù)值求解的角度進(jìn)行分析。為便于分析，取頻率分辨率dω=2π，即1 Hz，得到3個(gè)目標(biāo)響應(yīng)點(diǎn)的響應(yīng)功率譜密度Pcm(m=1、2、3)的表達(dá)式為[21]：

其中，θ=α1?α2，為兩點(diǎn)激勵(lì)之間的相位差。式（12）表明，兩點(diǎn)激勵(lì)時(shí)，影響3個(gè)控制點(diǎn)響應(yīng)的載荷參數(shù)有3個(gè)，即2個(gè)振動(dòng)臺(tái)的臺(tái)面響應(yīng)功率譜和，以及它們之間的相位差θ。式（12）也表明了響應(yīng)功率譜與控制載荷之間的非線性關(guān)系，難以參考非齊次線性方程組解的存在性理論，說(shuō)明控制載荷不存在。

文[21]中采用優(yōu)化算法對(duì)梁結(jié)構(gòu)在兩點(diǎn)激勵(lì)、三點(diǎn)響應(yīng)控制的控制載荷進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明，控制載荷在某些頻段內(nèi)并不存在，而在某些頻段范圍內(nèi)控制載荷仍然可以獲得，能夠滿足控制要求，凸顯了問(wèn)題的復(fù)雜性。

上述分析是從數(shù)學(xué)意義上討論控制載荷的存在性，但對(duì)于實(shí)際工程而言，當(dāng)加載位置的選擇點(diǎn)不合理。如處于某階模態(tài)的振型節(jié)點(diǎn)附近，響應(yīng)控制點(diǎn)位于振型值較大的位置時(shí)，在該模態(tài)頻率附近要實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)響應(yīng)控制將十分困難，或者說(shuō)對(duì)推力的要求往往是非常大的，導(dǎo)致無(wú)法實(shí)現(xiàn)。以下通過(guò)某典型結(jié)構(gòu)的多種工況的數(shù)值仿真對(duì)該情況進(jìn)行分析說(shuō)明。

3 數(shù)值模擬

3.1 仿真模型

如圖1所示筒狀結(jié)構(gòu)，材料為鋼，長(zhǎng)度為2000 mm，小端內(nèi)徑為300 mm，大端內(nèi)徑為536.8 mm，筒壁厚8 mm，質(zhì)量約280 kg。試驗(yàn)中采用大小兩端柔索懸掛模擬自由邊界條件，響應(yīng)控制點(diǎn)為A1—A3，可根據(jù)不同的控制需求選擇控制點(diǎn)組合，多點(diǎn)激勵(lì)可供選擇的加載點(diǎn)為B1—B5。載荷類(lèi)型為力，坐標(biāo)方向如圖1所示，軸向?yàn)閤方向，橫向?yàn)閥方向，響應(yīng)控制和加載的方向均為y方向。

圖1 筒結(jié)構(gòu)多點(diǎn)激勵(lì)示意Fig.1 Multi-point excitation sketch of tube shape structure

研究中設(shè)置的多種仿真工況見(jiàn)表1。其中，諧波載荷和隨機(jī)振動(dòng)載荷下的目標(biāo)響應(yīng)控制曲線如圖2所示。諧波載荷激勵(lì)頻率范圍為5~1000 Hz；隨機(jī)振動(dòng)下，激勵(lì)頻率范圍為10~1000 Hz，頻率分辨率為0.5 Hz，且3個(gè)控制點(diǎn)的響應(yīng)功率譜密度曲線設(shè)置一致。

圖2 各控制點(diǎn)的目標(biāo)響應(yīng)曲線Fig.2 Target control point response: a) harmonic excitation;b) random vibration

表1 控制載荷數(shù)值模擬工況Tab.1 Numerical simulation working condition of control load

3.2 仿真結(jié)果

工況①、②下，控制載荷的幅值和相位角的頻譜曲線如圖3所示。為便于分析，考慮2個(gè)控制點(diǎn)響應(yīng)之間相位差為0，此時(shí)，控制載荷是唯一的，不同的加載點(diǎn)選擇，所需要的控制力譜也不同。另外也可以看出，工況②下所需的控制載荷幅值要比工況①下大得多，這說(shuō)明在試驗(yàn)中，合理地選擇加載點(diǎn)能夠充分利用設(shè)備推力加載能力，以達(dá)到試驗(yàn)?zāi)康摹?/p>

圖3 工況①、②的控制載荷Fig.3 Control load of working condition ①,②: a) amplitude;b) phase angle

工況③下，僅控制A1、A3兩點(diǎn)諧響應(yīng)幅值譜時(shí)的控制載荷曲線如圖4所示，圖中結(jié)果只是其中的一種解的情況。

圖4 工況③的控制載荷Fig.4 Control load of working condition ③: a) amplitude; b)phase angle

諧波激勵(lì)下，對(duì)A1、A2、A3的幅值和相位均控制時(shí)的控制載荷如圖5所示，3個(gè)響應(yīng)點(diǎn)之間的相位差設(shè)置為0。圖6則給出了僅控制幅值譜時(shí)的控制載荷，與工況③類(lèi)似，也只是多解中的一種情況。

圖5 工況④的控制載荷Fig.5 Control load of working condition ④: a) amplitude; b)phase angle

圖6 工況⑤的控制載荷Fig.6 Control load of working condition ⑤: a) amplitude; b)phase angle

隨機(jī)載荷下，兩點(diǎn)激勵(lì)、三點(diǎn)響應(yīng)控制的控制載荷如圖7所示。只控制三點(diǎn)響應(yīng)的幅值，數(shù)值模擬中采用遺傳優(yōu)化算法，對(duì)兩點(diǎn)激勵(lì)的幅值以及它們之間的相位差進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)，考慮了實(shí)際隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中控制容差為±3 dB。可以看出，在諸多頻段范圍內(nèi)，仍然能找到滿足控制容差的控制載荷。

圖7 工況⑥的控制載荷Fig.7 Control load of working condition ⑥: a) amplitude; b)phase angle

圖8 中，123 Hz附近的控制響應(yīng)的超差比較嚴(yán)重，主要表現(xiàn)為A1和A3點(diǎn)響應(yīng)較大，而A2點(diǎn)的響應(yīng)較小。通過(guò)模態(tài)分析，可以觀察到在該頻率點(diǎn)處存在第六階模態(tài)，頻率為121.6 Hz，其振型如圖9所示。A1、A2、A3各點(diǎn)的振型值分別為4.82×10?4、3.38×10?5、4.99×10?4，可見(jiàn)也正好表現(xiàn)為A1、A3點(diǎn)響應(yīng)大，A2的響應(yīng)小的特點(diǎn)，造成在模態(tài)頻率附近難以控制。

圖9 第六階模態(tài)振型Fig.9 The sixth mode shape

從圖8中也可以看出，在575 Hz左右，控制精度較高，而在123 Hz處，控制超差嚴(yán)重。將式（12）進(jìn)一步改寫(xiě)為：

圖8 工況⑥控制載荷產(chǎn)生的響應(yīng)與目標(biāo)響應(yīng)對(duì)比Fig.8 Comparison of control load caused response with target response in working condition⑥

其中：

進(jìn)一步得到：

式（14）中，m=1、2、3，根據(jù)式（15），給出了在123 Hz和400 Hz處式（12）數(shù)值解的分布曲面，如圖10所示。

圖10 不同頻率點(diǎn)上控制載荷解的分布Fig.10 Solution distribution of control load at different frequencies

由圖10可見(jiàn)，在123 Hz處，3個(gè)解的分布曲面無(wú)交點(diǎn)，即無(wú)精確控制解，優(yōu)化過(guò)程中超差也較為嚴(yán)重。在575 Hz處，3個(gè)解的分布曲面有交點(diǎn)，有精確控制解，優(yōu)化仿真過(guò)程中，偏差很小。

4 結(jié)語(yǔ)

從結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的載荷與響應(yīng)之間的傳遞關(guān)系出發(fā)，基于諧響應(yīng)分析，將傳遞函數(shù)矩陣及其增廣矩陣的秩的大小關(guān)系對(duì)比作為控制載荷存在性的判據(jù)。從廣義上給出了多點(diǎn)激勵(lì)下，同時(shí)控制響應(yīng)幅值和相位時(shí)控制載荷的存在性，并結(jié)合典型結(jié)構(gòu)進(jìn)行了控制載荷的數(shù)值模擬。結(jié)合實(shí)際振動(dòng)試驗(yàn)中只控制響應(yīng)幅值的情況，給出了僅控制幅值時(shí)控制載荷存在性結(jié)論，尤其是針對(duì)利用少量加載設(shè)備實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)響應(yīng)幅值控制的情況，其控制載荷在某些頻段上仍然存在。