隨機(jī)勢場對(duì)氫原子能量本征問題的影響

劉星燦,哈斯花

(1內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院新能源科學(xué)與工程系,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051;2內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院物理學(xué)系,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051)

0 引言

眾所周知,波函數(shù)可以完全描述某微觀系統(tǒng)中一個(gè)微觀粒子的量子態(tài),而量子態(tài)的演化符合薛定諤方程給出的規(guī)律,即量子力學(xué)中的基本假定。對(duì)于與時(shí)間無關(guān)的勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子,可通過求解定態(tài)薛定諤方程得到體系的能量本征值及其對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù),進(jìn)而了解該系統(tǒng)中粒子的能量狀態(tài)。但是大部分定態(tài)薛定諤方程無法精確求解,例如考慮外部干擾情形下的氫原子系統(tǒng)中電子的能量本征問題,數(shù)值解法的運(yùn)用就顯得十分重要。近年來,研究人員采用數(shù)值解法已求解了若干種外界影響下氫原子中電子的能級(jí)。其中,具有局部控制能力的B樣條插值方法,通過調(diào)節(jié)其節(jié)點(diǎn)分布不但可以減少B樣條基組數(shù)量,減少計(jì)算量,還可以設(shè)置重節(jié)點(diǎn)解決原子計(jì)算中遇到的奇點(diǎn)問題。作為一種強(qiáng)有力的數(shù)值解法,B樣條插值方法一直是被廣泛采用的[1-4]。

在一些微觀系統(tǒng)中遇到外部隨機(jī)干擾的情況很常見,因此外部隨機(jī)干擾是討論微觀粒子的量子態(tài)時(shí)不可忽略的重要因素之一。為求解隨機(jī)干擾下的能量本征問題,需要將隨機(jī)擾動(dòng)(如噪聲干擾、熱運(yùn)動(dòng)、外加隨機(jī)電場等)看作外加勢場,將定態(tài)薛定諤方程推廣為一個(gè)包含隨機(jī)勢函數(shù)的微分方程,進(jìn)而求得其隨機(jī)干擾情形下的本征能量及其對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)。部分文獻(xiàn)中用隨機(jī)擾動(dòng)理論求解了氫原子的能級(jí)[5-7],取得了顯著成果。Yang等[5]在對(duì)氫原子在外電場中的一級(jí)斯塔克效應(yīng)的研究中,基于量子力學(xué)的微擾理論,得到了氫原子激發(fā)態(tài)的能級(jí)分裂情況。Zhang[6]在對(duì)氫原子核的熱運(yùn)動(dòng)研究中,導(dǎo)入隨機(jī)勢,將本征方程轉(zhuǎn)化為隨機(jī)微分方程,得到了量子化實(shí)質(zhì)上是一系列波函數(shù)分布的結(jié)論。Huang等[7]基于光子波粒二象性這一概念,在一維長程跳躍這一隨機(jī)勢模型中求解了相應(yīng)的本征值和本征函數(shù)。

本文基于隨機(jī)擾動(dòng)理論,以氫原子為研究對(duì)象,用B樣條函數(shù)研究其在等若干較低能級(jí)的能量本征值和本征波函數(shù)受擾動(dòng)情況。并引入幅值不同的隨機(jī)勢,求解對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù),進(jìn)行比較和討論。研究結(jié)果表明:當(dāng)隨機(jī)勢強(qiáng)度范圍在0～0.01u0(u0=27.2114 eV,為原子單位)時(shí),電子分布幾率與中心力場下的電子分布幾率相似;當(dāng)隨機(jī)勢場的強(qiáng)度范圍逐漸加大至0.1u0時(shí),電子分布幾率變化更為頻繁;隨機(jī)勢范圍繼續(xù)增大到5u0時(shí),中心力場作用完全弱化。且電子分布和幾率還與主量子數(shù)n與角量子數(shù)l密切相關(guān),量子數(shù)越高的體系越不穩(wěn)定。

1 隨機(jī)勢場影響下氫原子的能量本征方程

2 B樣條函數(shù)的定義與性質(zhì)

2.1 B樣條基函數(shù)

B樣條函數(shù)是貝塞爾曲線的一般化,最早于1946年由Schoenberg創(chuàng)造[8]。B樣條基函數(shù)的遞歸公式定義為[9]

其通稱為Cox-de Boor遞歸公式,其中Ni,p(u)代表第i個(gè)p次B樣條基函數(shù),基函數(shù)的次數(shù)為p,ui為節(jié)點(diǎn),也就是分隔點(diǎn)。

2.2 樣條函數(shù)基函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

B樣條基函數(shù)具有可微性[10]

其基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。

圖1 七階B樣條的基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)Fig.1 Basis function and derivative of the seventh order B-spline function

3 B樣條函數(shù)求解氫原子定態(tài)本征方程

將氫原子中電子的徑向波函數(shù)用B樣條函數(shù)展開得

式中:Pi是控制點(diǎn),是第i個(gè)k階B樣條函數(shù)的展開系數(shù);k為B樣條函數(shù)的數(shù)目。將(8)式代入(4)式可將定態(tài)薛定諤方程化為HP=ESP的形式。對(duì)全空間積分可得重疊矩陣的矩陣元為

哈密頓矩陣的矩陣元為

由此,便將含隨機(jī)勢的微分方程推廣為廣義本征值問題。通過使用lapack庫中的dsbgv算法對(duì)上述矩陣進(jìn)行對(duì)角化處理,可以得到氫原子中電子的能量本征值矩陣E。

對(duì)于上述矩陣元的數(shù)值積分,采用梯形法則求解。通過對(duì)積分區(qū)間的分割,分別計(jì)算每個(gè)分割區(qū)間的梯形面積,將其求和,最后得出區(qū)間內(nèi)積分的近似值。

4 結(jié)果與討論

首先討論不考慮隨機(jī)擾動(dòng)時(shí)的計(jì)算結(jié)果,求出氫原子中電子僅在中心力場作用下的本征能級(jí)及其本征波函數(shù),尋找B樣條函數(shù)求解氫原子能量的規(guī)律,并以此驗(yàn)證該方法的可行性;其次討論氫原子中的電子在隨機(jī)勢場與中心力場共同作用下的計(jì)算結(jié)果。重點(diǎn)關(guān)注本征波函數(shù)趨勢的變化,分析其變化規(guī)律,并將其與僅在中心力場作用下的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

4.1 僅在中心力場作用下的計(jì)算結(jié)果與討論

氫原子中的電子僅在中心力場作用下,各能級(jí)在不同積分上限下對(duì)應(yīng)的B樣條函數(shù)計(jì)算結(jié)果如表1所示(R代表積分上限,表中能量單位均為u0)。

表1 氫原子中電子本征能級(jí)的計(jì)算結(jié)果Table 1 Calculation results of electron intrinsic energy levels in hydrogen atom

由計(jì)算過程可知,B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)分布會(huì)大大影響基函數(shù)的擬合效果。并且本征波函數(shù)在趨近于第一個(gè)奇點(diǎn)即r→0時(shí)分布較為密集,而當(dāng)r→∞波函數(shù)則逐漸趨近于0。考慮到上述因素,采用指數(shù)型節(jié)點(diǎn)分布能更好地?cái)M合其波函數(shù)。考慮到本征方程在r=0、r=∞存在奇點(diǎn),故在積分下限和積分上限附近加入重節(jié)點(diǎn),以此加大擬合的波函數(shù)在奇點(diǎn)附近的本征波函數(shù)為0的權(quán)重,從而解決奇點(diǎn)問題。

表1的求解結(jié)果采用6階B樣條函數(shù),以0.01作為梯形積分的步長,30個(gè)指數(shù)型節(jié)點(diǎn)、8個(gè)重節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)分布,按照積分上限R對(duì)氫原子中電子的三個(gè)低能級(jí)進(jìn)行求解。從結(jié)果中可以看出,當(dāng)積分區(qū)間比較小時(shí),由于節(jié)點(diǎn)在靠近0的地方較為密集,且第一能級(jí)的波函數(shù)主要在靠近0處分布,所以第一能級(jí)的計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。當(dāng)節(jié)點(diǎn)區(qū)間不斷擴(kuò)大,節(jié)點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)變得相對(duì)均勻,第一能級(jí)計(jì)算結(jié)果精度下降,但是第二、三能級(jí)的計(jì)算精度上升。所以,在編程計(jì)算過程中需注意,節(jié)點(diǎn)分布對(duì)能級(jí)的求解是非常重要的因素。

在求解出精確的本征能級(jí)后,將能量E代入(5)式求解常微分方程[此時(shí)VN(r)取為0],即可解得未受隨機(jī)勢干擾情形下本征能量對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)。圖2為不同角量子數(shù)對(duì)應(yīng)的電子的徑向分布概率(波函數(shù)采用R=40的計(jì)算結(jié)果繪制,其中長度以r0=0.529×10-10m為單位)。從圖中可以看出,本征能級(jí)計(jì)算準(zhǔn)確,本征波函數(shù)擬合情況良好。

圖2 角量子數(shù)l=0,1,2時(shí)電子的徑向分布概率Fig.2 Radial distribution probability of electrons with angular quantum numbers l=0,1,2

4.2 考慮隨機(jī)勢場作用下的計(jì)算結(jié)果與討論

加入隨機(jī)勢VN(r)后,電子本征波函數(shù)受到不同程度的干擾。由于每次生成的隨機(jī)勢場強(qiáng)弱不同對(duì)于電子本征態(tài)的影響顯著不同,經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)后,在n=1與n=2能級(jí)中選出四種不同強(qiáng)弱的隨機(jī)勢進(jìn)行繪圖并討論,其中隨機(jī)勢的分布采用條形圖進(jìn)行繪制。

4.2.1 n=1,l=0時(shí)波函數(shù)在隨機(jī)勢場下的情況

圖3為施加不同大小的隨機(jī)勢能對(duì)系統(tǒng)電子徑向分布概率的影響。由圖可見,當(dāng)主量子數(shù)n=1、角量子數(shù)l=0時(shí),系統(tǒng)的本征波函數(shù)在隨機(jī)勢場的影響下較為穩(wěn)定,相較于其余高能級(jí)本征波函數(shù),該本征態(tài)是最穩(wěn)定的。當(dāng)隨機(jī)勢范圍取為0～0.1u0,系統(tǒng)依然主要受到中心力場的作用。當(dāng)隨機(jī)勢場范圍增加到0～1u0,電子的分布幾率便開始發(fā)生較為明顯的波動(dòng),隨機(jī)勢場的干擾出現(xiàn)了可觀察到的影響。隨機(jī)勢場范圍增加到0～5u0時(shí),電子分布幾率出現(xiàn)更多波峰,波函數(shù)變化趨勢更加多樣化。但是接近中心的區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生了較大的變化,遠(yuǎn)離中心的區(qū)域受到隨機(jī)勢場的影響較小,電子的幾率依然主要分布在靠近中心的區(qū)域,說明中心力場的影響還未完全消失,此時(shí)體系受到中心力場與隨機(jī)勢場的共同影響。

圖3 施加不同大小的隨機(jī)勢能對(duì)n=1,l=0時(shí)系統(tǒng)電子徑向分布概率的影響。隨機(jī)勢能范圍分別為(a)0～0.01u0,(b)0～0.1u0,(c)0～1u0,(d)0～5u0Fig.3 Effect of different sizes of random potential energy on the radial distribution probability of electrons in the system during n=1,l=0.Random potential range are(a)0～0.01u0,(b)0～0.1u0,(c)0～1u0,(d)0～5u0,respectively

4.2.2 n=2,l=0時(shí)波函數(shù)在隨機(jī)勢場下的情況

由圖4施加不同大小的隨機(jī)勢能對(duì)n=2、l=0時(shí)系統(tǒng)電子徑向分布概率的影響可知,與χ10態(tài)不同,當(dāng)隨機(jī)勢范圍增加到0.1u0時(shí),對(duì)波函數(shù)的干擾已經(jīng)出現(xiàn)可觀測的變化,如圖4(d)所示,波函數(shù)在r=20處甚至出現(xiàn)了一個(gè)波峰。但總體而言,考慮隨機(jī)勢的波函數(shù)整體圖形與只有中心力場的情況相當(dāng),說明此時(shí)中心力場影響較強(qiáng)于隨機(jī)勢影響,電子的分布幾率受中心力場影響更大。當(dāng)隨機(jī)勢繼續(xù)增大時(shí),波函數(shù)的變化更為顯著。對(duì)比χ10態(tài)的情況,電子的分布幾率更加雜亂無章,說明隨著主量子數(shù)的增加體系受到隨機(jī)勢場的影響將更加顯著。

圖4 施加不同大小的隨機(jī)勢能對(duì)n=2,l=0時(shí)系統(tǒng)電子徑向分布概率的影響。隨機(jī)勢能范圍分別為(a)0～0.01u0,(b)0～0.1u0,(c)0～1u0,(d)0～5u0Fig.4 Effect of different sizes of random potential energy on the radial distribution probability of electrons in the system during n=2,l=0.Random potential range are(a)0～0.01u0,(b)0～0.1u0,(c)0～1u0,(d)0～5u0,respectively

4.2.3n=3能級(jí)對(duì)應(yīng)的各波函數(shù)在0～0.1u0隨機(jī)勢場下的情況

由圖5觀察同一隨機(jī)勢場中對(duì)應(yīng)不同能級(jí)的情況可知,隨機(jī)勢強(qiáng)度范圍增加到0.1u0時(shí),l=0、l=1及l(fā)=2的圖形總體規(guī)律均不變,但會(huì)出現(xiàn)某些區(qū)域受到干擾而產(chǎn)生額外波峰的情況。當(dāng)波函數(shù)范圍繼續(xù)增加時(shí),波函數(shù)將在整個(gè)積分區(qū)間都展示出雜亂無章的狀態(tài),與χ10及χ20主要分布在靠近中心的區(qū)間內(nèi)的情況呈現(xiàn)鮮明對(duì)比。

另外,由圖5(c)可以看出,χ32的情況與以上幾種相比,其主量子數(shù)和角量子數(shù)都是最多的,分布幾率最不穩(wěn)定,最易被隨機(jī)勢場影響。

圖5 同一隨機(jī)勢場中對(duì)應(yīng)不同能級(jí)的情況。(a)l=0;(b)l=1;(c)l=2Fig.5 Different energy levels in the same random potential field.(a)l=0;(b)l=1;(c)l=2

5 結(jié)論

通過B樣條函數(shù)詳細(xì)計(jì)算了氫原子n=1,2,3時(shí)的能級(jí),并給出對(duì)應(yīng)的本征波函數(shù)。進(jìn)而考慮隨機(jī)勢場的影響,對(duì)外加勢場下的氫原子波函數(shù)圖形進(jìn)行了對(duì)比分析。得出的總體結(jié)論為:當(dāng)隨機(jī)勢強(qiáng)度范圍在0～0.01u0時(shí),隨機(jī)勢場的影響幾乎可以忽略不記,電子分布幾率與中心力場下的電子分布幾率相似。當(dāng)隨機(jī)勢場的強(qiáng)度范圍逐漸加大至0.1u0時(shí),將對(duì)波函數(shù)的圖形結(jié)果產(chǎn)生較顯著的影響,且電子分布幾率變化更為頻繁。隨機(jī)勢范圍繼續(xù)增大到5u0時(shí),中心力場作用完全弱化,電子的分布幾率幾乎完全由隨機(jī)勢場決定。此外,當(dāng)確定隨機(jī)勢的范圍不變,隨著主量子數(shù)n與角量子數(shù)l不斷增大,電子幾率分布受隨機(jī)勢影響越大,電子分布隨機(jī)性越強(qiáng)。可見,較高量子數(shù)的體系更加不穩(wěn)定,其中心力場的作用更容易被外加勢場破壞。