轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

崔亞瀾

(云南省大理大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院 671003)

在解答某一數(shù)學(xué)題時(shí)，應(yīng)將原題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)比較熟悉、比較容易解決的問(wèn)題上，下面以2019年貴陽(yáng)市中考題第18題第(2)題為例.通過(guò)利用轉(zhuǎn)化思想(三角函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、角與角之間的轉(zhuǎn)化、邊與邊之間的轉(zhuǎn)化)來(lái)進(jìn)行解題.

一、試題及解法分析

題目如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD,連接BD.

(1)求證：四邊形BCED是平行四邊形；

這是一道中考數(shù)學(xué)題中經(jīng)典且常規(guī)的幾何題，考察學(xué)生對(duì)幾何圖形性質(zhì)的理解與運(yùn)用.

解法一利用三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化

點(diǎn)評(píng)本解法的切入點(diǎn)是利用好cosA，關(guān)鍵是利用(同角的)正、余弦的平方關(guān)系sin2A+cos2A=1，從而實(shí)現(xiàn)sinA和cosA之間的轉(zhuǎn)換，這種方法只需作BE一條輔助線即可求解.在平面幾何題中，當(dāng)一個(gè)角一定，又有三角函數(shù)值為定值時(shí)，通?？煽紤]利用三角函數(shù)之間的關(guān)系(平方關(guān)系、商的關(guān)系等)來(lái)解題，會(huì)有意料之外的收獲.

解法二利用角的轉(zhuǎn)化

思路1∠A轉(zhuǎn)化為∠CDE

證明如圖3，連接BE，交DC于H.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，故AB∥DC，所以∠A=∠CDE.

又AD∥BC，AD=BC，而AD=DE，所以DE∥BC，DE=BC，故四邊形BCED是平行四邊形.

思路2∠A轉(zhuǎn)化為∠HMB

證明如圖4，連接BE，交DC于H；過(guò)點(diǎn)H作HM∥BC.

因四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD∥BC∥HM,∠A=∠HMB.

點(diǎn)評(píng)利用三角形的中位線平行于底邊的關(guān)系，達(dá)到了邊和角的轉(zhuǎn)化，既能提供線段的位置關(guān)系(平行)，又能提供線段的數(shù)量關(guān)系(相等).

解法三邊的轉(zhuǎn)化

證明如圖5，連接BE，交DC于H；過(guò)點(diǎn)D作DM∥BE，交AB于M.因?yàn)锳D=DE，即D是AE中點(diǎn)，故DM是△ABE的中位線，所以M是AB的中點(diǎn)，即AM=MB.

又AD=DB,故△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”,可得MD⊥AB,而MD是△ABE的中位線，所以BE=2MD.

點(diǎn)評(píng)由題目的已知條件AD=DB,可以得到等腰三角形，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)，作輔助線MD，通過(guò)利用“三線合一”來(lái)建立線段之間的等量關(guān)系以及位置關(guān)系(垂直)，達(dá)到邊與邊之間的轉(zhuǎn)化，借助直角三角形尋求線段之間的關(guān)系解題.

二、賞析

以上這三種解題方法，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的途徑，即“添線”.添加輔助線在幾何題中常常起著過(guò)河搭橋的作用，通過(guò)輔助線造成基本圖形，從而促使分散條件集中化、隱含條件明顯化，將已知元素聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化還有“換元”等途徑.總的來(lái)說(shuō)，本題目突出了“轉(zhuǎn)化”在中考數(shù)學(xué)中的重要性，在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們要以不變應(yīng)萬(wàn)變，不變的是知識(shí)，萬(wàn)變的是問(wèn)法.我們說(shuō)轉(zhuǎn)化是客觀存在的，而轉(zhuǎn)化思想是主觀對(duì)客觀的反映，所以數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是一個(gè)通過(guò)轉(zhuǎn)化獲得問(wèn)題解決的過(guò)程.其實(shí)，轉(zhuǎn)化思想還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中常用的思想方法，如司馬光砸缸、曹沖稱象等故事，都成功地運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的策略，是一切數(shù)學(xué)思想方法的核心.從這道題中我們可以看出，從多角度、多方位來(lái)看同一個(gè)問(wèn)題，能培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，遇到幾何試題都可從“數(shù)”、“角”、“邊”三方面思考，嘗試求解.本題中值得注意的是，不論如何轉(zhuǎn)化，都保證了形變、量變而質(zhì)不變，所以在運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想時(shí)，重要的是保持轉(zhuǎn)化的原則，即轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵不管如何豐富，等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化、已知與未知、數(shù)量與圖形、圖形與圖形之間，都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化來(lái)獲得解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)機(jī)，但是不可以改變其本質(zhì).