分光計調(diào)整對三棱鏡頂角和最小偏向角測量的影響

李心婧，宋新兵

(北京理工大學 物理學院，北京 100081 )

分光計是常見的光學儀器，可以用于測量介質(zhì)的折射率、光柵常量、光譜線波長等[1-6].分光計測量三棱鏡的折射率是大學物理實驗中光學部分的重要實驗[7,8].在分光計的調(diào)整過程中，需要保證載物臺主軸和望遠鏡、平行光管主軸垂直，以得到精確的測量結(jié)果[9,10].在測量三棱鏡折射率實驗中，若載物臺主軸和望遠鏡、平行光管主軸不是嚴格垂直，將對三棱鏡頂角和最小偏向角的測量產(chǎn)生影響，這個影響的大小是值得探討的.

本文將從理論和實驗兩方面，探討三棱鏡頂棱“抬頭”或“低頭”時，三棱鏡頂角和最小偏向角的測量值隨三棱鏡傾斜程度的變化.理論上，我們利用幾何光學反射折射定律[11]，對測量過程進行分析和計算，從而得到頂角和最小偏向角隨三棱鏡傾斜程度的變化.實驗上，我們利用兩種方法對載物臺的傾斜程度進行了標定，對頂角和最小偏向角隨三棱鏡傾斜程度的變化進行實際測量.

1 準直光路

分光計的望遠鏡一般采用自準望遠鏡，由物鏡、分劃板和目鏡等組成.準直光路如圖1(a)所示，分劃板上的綠色十字光源發(fā)出光束，經(jīng)物鏡聚焦的光束在平面鏡上發(fā)生反射，反射后再經(jīng)物鏡和目鏡，形成綠十字像.當平面鏡與望遠鏡主軸垂直時，綠十字像的橫線與分劃板的上方水平刻線重合.圖1(b)顯示了此時(標準狀況)視場中分劃板上十字光源和反射的綠十字像的位置.

(a) 標準情況下的光路 (b) 綠十字像圖1 標準情況下的光路和綠十字像

當望遠鏡與平面鏡平面不垂直時，反射光路會偏離標準準直光路，綠十字像的位置也會發(fā)生移動，離開分劃板的上方水平刻線.比如，平面鏡向望遠鏡“低頭”，如圖2(a)所示.光束經(jīng)平面鏡反射后低于標準準直光路的反射光束，因而反射像的位置低于分劃板上方的水平刻線.圖2(b)展示了分劃板上十字光源的位置和平面鏡“低頭”時綠十字像的位置.若平面鏡不斷“低頭”，幅度超過一定限度，以至于反射光線未透過物鏡，此時我們將無法在視野中觀察到綠十字像.

(a) 平面鏡“低頭”時的光路 (b) 綠十字像圖2 平面鏡向望遠鏡“低頭”時的光路和綠十字像

同樣的，當平面鏡向望遠鏡“抬頭”時，如圖3(a)所示，光束經(jīng)平面鏡反射后高于標準情況的反射光束，反射綠十字像的位置高于分劃板上方的水平刻線.圖3(b)展示了分劃板上十字光源的位置和平面鏡“抬頭”時綠十字像的位置.若平面鏡不斷“抬頭”，幅度超過一定限度，以至于反射光線高于望遠鏡筒，此時我們在視野中將無法觀測到綠十字像.

(a) 平面鏡“抬頭”時的光路 (b) 綠十字像圖3 平面鏡向望遠鏡“抬頭”時的光路和綠十字像

實驗中用于準直的平面鏡是雙面的，當平面鏡平面嚴格垂直于光路所在平面時，若其一面向望遠鏡“低頭”，另一面必定向望遠鏡“抬頭”.此時可能觀測到的情況有：平面鏡的正反兩面反射的綠十字像都能通過望遠鏡被觀察到；只有一面反射的綠十字像能被觀察到；兩面都觀察不到綠十字像.實驗上，我們在望遠鏡能觀察到至少一面反射來的綠十字像的情況下，以綠十字像在分劃板上的位置來描述平面鏡的傾斜程度.

2 對頂角測量的影響

2.1 理論分析

首先討論平面鏡和光路嚴格垂直的情況，采用反射法對頂角進行測量.圖4(a)是測量原理的俯視圖.從三棱鏡頂角方向入射一束平行光線，經(jīng)三棱鏡兩側(cè)面反射后的兩束反射光線夾角設(shè)為θ，由幾何關(guān)系得θ=2α，α是三棱鏡頂角的大小.

(a) 頂角測量的載物臺俯視圖 (b) 頂角測量光路圖圖4 頂角測量原理圖

考慮更一般的情況，三棱鏡頂點向平行光管“抬頭”或“低頭”，如圖4(b)所示.置三棱鏡于xyz坐標系中，使yOz平面是三棱鏡頂角平分面.令三棱鏡發(fā)生俯仰，設(shè)三棱鏡頂棱與z軸夾角為γ，頂棱的方向向量OA=(0, sinγ, cosγ)，則三棱鏡兩側(cè)面的法向量n1，n2可以寫成

(1)

從頂角方向入射一光束k=(kx,ky,kz)，經(jīng)棱鏡兩側(cè)面反射后反射光線記為k1與k2，由反射定律得

(2)

(3)

其中，〈p,q〉表示向量p和向量q的夾角.

根據(jù)式(1)～(3)，可以求出兩反射光線的方向向量為

對三棱鏡頂角的測量，本質(zhì)上是對構(gòu)成頂角的兩個面所反射的光在xOy平面上投影的夾角進行測量.k1與k2在xOy平面上投影記為k′1與k′2

(5)

因此，三棱鏡“抬頭”時，其兩側(cè)的反射光線在xOy平面上投影的夾角為

(6)

按照標準狀況下的計算方法，即頂角是所測反射光線夾角的一半，得到頂角形式為

(7)

當三棱鏡頂棱和平行光管主軸不互相垂直時，按式(7)計算所得的頂角是按照實驗步驟測量的頂角數(shù)值，而不是頂角的真實大小，測量的偏差由此產(chǎn)生.

2.2 實驗測量結(jié)果

我們可以用綠十字像的位置來標定載物臺的傾斜程度.若平面鏡平面和入射光束所在豎直平面(yOz)互相垂直，當綠色十字光源在平面鏡一面的反射像唯一確定時，平面鏡另一面的反射像位置將隨之確定.實驗上，我們用綠十字像中心在分劃板上的位置來標定載物臺主軸的傾斜程度.

如圖5所示，圖中圓點表示目鏡視野中綠十字像中心的位置.實驗上，自上而下測量的15個位置對應(yīng)的綠十字中心等間距地分布在分劃板上，對應(yīng)著載物臺的15種傾斜情況，每相鄰兩個測量位置間的載物臺傾角為5′，其總體傾角為1.17°.在這些情況下測量的三棱鏡頂角大小顯示在圖6中.

可以看出，測量的頂角大小在回歸均值上下浮動，且回歸均值始終在測量誤差范圍內(nèi).即當測量三棱鏡的頂角時，在視野中可以看見綠十字像的情況下，載物臺主軸偏離標準情況引起的測量偏差小于測量本身的誤差.

圖5 綠十字像中心位置示意圖

圖6 頂角測量值隨載物臺俯仰的變化關(guān)系

使載物臺繼續(xù)傾斜，直到平面鏡正反兩面反射的綠十字像都無法被觀測到，此時我們借用外部激光來標記載物臺的傾斜程度.如圖7所示，由氦氖激光器發(fā)射激光，經(jīng)平面鏡反射后，用刻度尺測量入射和反射激光的高度差，由此測量載物臺的傾斜角度.

(a) 測量裝置俯視圖 (b) 測量裝置正視圖圖7 載物臺傾角測量裝置示意圖

圖8顯示了三棱鏡頂角測量值隨載物臺傾斜的關(guān)系.空心圓圈表示實驗測量結(jié)果，實線表示擬合結(jié)果.可以看出，隨著三棱鏡不斷“低頭”，即頂棱偏離z軸的角度不斷變大，三棱鏡的頂角測量值逐漸變小，偏離標準情況最大為6.6′.在參照文獻[12]中，表2給出JJY-1型分光計合成不確定度為1.9′.本實驗中，當γ=1.35°時，頂角測量值偏離標準情況1.9′.在此范圍內(nèi)，因載物臺傾斜引起的誤差小于測量本身的誤差.

圖8 頂角測量值與載物臺傾角關(guān)系

3 對最小偏向角測量的影響

3.1 理論分析

三棱鏡頂棱嚴格垂直于平行光管主軸時，光線k照向三棱鏡側(cè)面時發(fā)生折射，折射到棱鏡介質(zhì)中的光線k′ 將繼續(xù)傳播到三棱鏡的另一側(cè)面，并再次發(fā)生折射到達空氣中(出射光線記為k″)，最終折射后的狹縫像可以通過旋轉(zhuǎn)望遠鏡找到.旋轉(zhuǎn)載物臺，望遠鏡中的狹縫像也會隨之移動，當望遠鏡中的狹縫像移動到盡頭，并有向反方向移動的趨勢時，此刻，出射光線與入射光線所成的角是最小偏向角，記為δ，如圖9(a)所示.

考慮更一般的情況，即三棱鏡頂棱“抬頭”或“低頭”.置三棱鏡于圖9(b)所示的直角坐標系中，并令yOz平面平分三棱鏡的頂角.三棱鏡頂棱與z軸夾角為γ.三棱鏡兩側(cè)面法線向量由式(1) 給出.當三棱鏡有俯仰角時，按照通常的測量步驟，對三棱鏡折射最小偏向角的測量，本質(zhì)上是在〈k′,k″〉達到極值時，測量出折射光線k″和入射光線k′在xOy平面上投影之間的夾角.

由菲涅爾定律，光在介質(zhì)表面發(fā)生折射，有

(8)

(9)

其中，n21是三棱鏡介質(zhì)相對于空氣的折射率.出于實驗簡便，令入射光線k平行于xOy平面，故k=(kx,ky,0)，由式(8)和(9)可以確定折射后光線的方向向量k″.其在xOy平面上的投影我們記為k3，這樣我們測量的最小偏向角可以表示為：

(10)

(a) 標準況俯視圖 (b) 三棱鏡發(fā)生俯仰圖9 折射光路圖

3.2 實驗測量與結(jié)果

實驗上我們測量汞燈被三棱鏡分光后，各單色光的最小偏向角.分光原理是不同波長的光在同一介質(zhì)中折射率不同，而導致最小偏向角不同.實驗上我們測量的主要譜線如表1所示.選用的三棱鏡(邊長為39.5 mm、高為40.0 mm)材料為重火石玻璃(ZF1).

表1 低壓汞燈譜線

與測量頂角類似，當載物臺偏離標準位置不太大時，可以看見雙面鏡至少一面反射的綠十字像，我們采用圖5的標定方式，測量五種波長的光在不同標定位置的最小偏向角大小.

圖10顯示了5條譜線最小偏向角隨載物臺俯仰的關(guān)系.從圖中可以看出，測量結(jié)果與標準情況(對應(yīng)第5個點位置情況)下的結(jié)果偏離不大. 在視野中可以看見綠十字像的情況下，載物臺主軸偏離標準情況引起的測量偏差小于測量本身的誤差.

圖10 最小偏向角測量值隨載物臺俯仰的變化關(guān)系

圖11 最小偏向角隨三棱鏡頂棱傾斜變化關(guān)系圖

當載物臺傾斜角較大時，我們需要采用圖7所示的方案來標定三棱鏡的傾斜程度.圖11顯示了最小偏向角隨三棱鏡頂棱傾角γ的變化關(guān)系.圖中各種離散點是實驗結(jié)果，實線是擬合結(jié)果.可以看出，隨著載物臺逐漸偏離標準情況，測得的最小偏向角逐漸變小.載物臺俯仰小于1.40°時，因載物臺偏離標準情況而引起的測量結(jié)果最大偏差值小于文獻[12]給出的合成不確定度值.在我們的測量范圍內(nèi)，最小偏向角測量值的最大偏移量不超過10′.

4 結(jié)語

本文從理論和實驗兩方面研究了三棱鏡的俯仰對頂角和最小偏向角測量的影響.我們發(fā)現(xiàn)，在視野中可以觀察到綠十字像的情況下，由于三棱鏡的俯仰角度較小，其引起的頂角和最小偏向角的測量偏差小于系統(tǒng)的測量誤差.進一步的結(jié)果顯示，測量三棱鏡頂角時，三棱鏡俯仰在±1.35°的范圍內(nèi)，其俯仰引起的測量偏差小于測量本身的誤差.在測量最小偏向角時，三棱鏡俯仰在±1.40°的范圍內(nèi)，由其引起的測量偏差小于測量本身的誤差.在整個測量范圍內(nèi)，三棱鏡的俯仰對頂角和最小偏向角測量結(jié)果的影響小于10′.

本實驗研究鍛煉了學生設(shè)計實驗方案和動手能力，提升了學生運用Matlab等軟件的水平.同時也希望本文的研究結(jié)果能夠加深人們對分光計裝置的理解，為折射率測量實驗課程教學提供參考.