深度認(rèn)識(shí)太陽(yáng)的小孔成像

孫彬

摘? ?要：將小孔成像中的小孔看成占據(jù)一定空間的實(shí)際圖形而不是一個(gè)純數(shù)學(xué)意義的“幾何點(diǎn)”，將小孔成像的類型以光的傳播方式為依據(jù)劃分為直線傳播式小孔成像、反射式小孔成像和折射式小孔成像，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，以大量的實(shí)驗(yàn)證據(jù)作為思考的起點(diǎn)，以“光在同種均勻介質(zhì)中沿直線傳播”為思考的工具，對(duì)太陽(yáng)的小孔成像建立統(tǒng)一的模型，并對(duì)模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：直線傳播式小孔成像;反射式小孔成像;折射式小孔成像;模型

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）7-0055-5

1? ? 研究緣起

初中學(xué)生學(xué)習(xí)光學(xué)，對(duì)“像”的認(rèn)識(shí)通常是從小孔成像開(kāi)始的，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)了光現(xiàn)象和透鏡等光學(xué)知識(shí)之后，對(duì)小孔成像有很多疑問(wèn)，例如：凸透鏡成像與凸透鏡大小沒(méi)有關(guān)系，那么小孔成像大小與小孔大小之間有無(wú)定性或定量的關(guān)系？為什么太陽(yáng)的小孔成像內(nèi)部明暗程度不均勻？為什么光屏與小孔距離較近時(shí)無(wú)法承接到像？光的反射、折射是否也能形成小孔成像的光學(xué)現(xiàn)象呢？教材通常將入射到地面上的太陽(yáng)光近似看成平行光，以此來(lái)確定凸透鏡的焦距，而對(duì)于太陽(yáng)的小孔成像，顯然不能將太陽(yáng)光看成是平行光，學(xué)生該如何理解這其中的差異？如果太陽(yáng)光不是平行光，太陽(yáng)光入射到小孔的角度是多大，如何合理地解釋太陽(yáng)的小孔成像？

關(guān)于小孔成像，很多研究人員從不同的角度做了不同的探索與研究。例如：夏常春老師從理論上給出了如何理解小孔成像的方法[1]，席桑田老師從“像”的定義出發(fā)辨析小孔是否成像[2]，程榮貴老師從小孔成像實(shí)驗(yàn)器具的研發(fā)角度尋找更清晰的像[3]。筆者認(rèn)為，之前的研究過(guò)于側(cè)重“像”的本義辨析或缺少實(shí)驗(yàn)證據(jù)的支撐，無(wú)法有效解答學(xué)生的上述疑問(wèn)。為此，筆者以初中學(xué)生已掌握的“光在同種均勻介質(zhì)中沿直線傳播”知識(shí)為基礎(chǔ)，以大量實(shí)驗(yàn)證據(jù)為思考的起點(diǎn)，通過(guò)先建立模型，再用實(shí)驗(yàn)證實(shí)或證偽模型，讓學(xué)生系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)小孔成像。

2? ? 實(shí)驗(yàn)

將太陽(yáng)光分別照射到小孔、平面鏡和三棱鏡三種不同的光學(xué)器材上，不妨將三種光學(xué)器材均看成小孔，將三種成像分別稱為直線傳播式小孔成像、反射式小孔成像和折射式小孔成像。

2.1? ? 太陽(yáng)的直線傳播式小孔成像

2.1.1? ? 探究任務(wù)：定性了解成像規(guī)律

實(shí)驗(yàn)1：制作最大直徑不同的三個(gè)小孔，將小孔和光屏正對(duì)太陽(yáng)，將光屏由近及遠(yuǎn)逐漸遠(yuǎn)離小孔，當(dāng)感覺(jué)開(kāi)始出現(xiàn)清晰的像時(shí)，測(cè)量此時(shí)小孔到光屏的距離，數(shù)據(jù)如表1所示。

由實(shí)驗(yàn)1可知，小孔越大，開(kāi)始出現(xiàn)清晰像時(shí)像與小孔的距離越遠(yuǎn)，并且像總是大于小孔。而凸透鏡成像的大小與凸透鏡大小沒(méi)有關(guān)系，說(shuō)明小孔成像與凸透鏡成像的原理是不同的。

2.1.2? ? 探究任務(wù)：當(dāng)部分光的傳播路徑受到阻礙時(shí)，太陽(yáng)的像如何變化

實(shí)驗(yàn)2：當(dāng)遮擋物沒(méi)有改變小孔的最大直徑時(shí)，像整體變暗了，像的大小、整體輪廓沒(méi)有發(fā)生變化，像的內(nèi)部明亮部分的圓形對(duì)稱性被破壞，如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)3：當(dāng)遮擋物使得小孔的最大直徑變小時(shí)，光屏在相同的距離上承接的像變小了，同時(shí)變暗了。

2.1.3? ? 探究任務(wù)：入射到小孔的太陽(yáng)光是否平行

實(shí)驗(yàn)4：在白紙上用筆尖戳一個(gè)小孔，隨著光屏逐漸遠(yuǎn)離白紙，光屏上的像逐漸變大。

實(shí)驗(yàn)5：在白紙上畫(huà)一個(gè)正方形，在正方形的四個(gè)頂點(diǎn)和兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處分別戳一個(gè)孔。隨著光屏逐漸遠(yuǎn)離小孔，太陽(yáng)的像逐漸靠近，直至交叉融合，如圖2所示。

若太陽(yáng)光嚴(yán)格平行，則像的大小不會(huì)發(fā)生變化，因此實(shí)驗(yàn)4和實(shí)驗(yàn)5均能證明太陽(yáng)光并不平行。

2.1.4? ? 探究任務(wù)：太陽(yáng)對(duì)小孔的張角有多大

理論計(jì)算：太陽(yáng)直徑約為d=1.392×106 km，實(shí)驗(yàn)是在2020年1月進(jìn)行的，此時(shí)太陽(yáng)在遠(yuǎn)地點(diǎn)附近，日地距離約為L(zhǎng)=1.52×108 km，不考慮地球大氣層對(duì)太陽(yáng)光的偏折作用，如圖3，太陽(yáng)的邊緣光線對(duì)地球上普通物體的張角α≈tanα≈（180/π）×（d/L）≈0.52°。

實(shí)驗(yàn)6：如圖4所示，假設(shè)太陽(yáng)光入射到小孔O1O2上，AO1和BO2是光束的邊緣光線，CO1和DO2是平行光束、且垂直于小孔，A1O2和B1O1分別平行于AO1和BO2，∠β=∠AO1C，∠γ=∠BO2D，太陽(yáng)對(duì)地球上普通物體的張角∠α=∠β+∠γ，L為光屏到小孔的距離，d為小孔的最大直徑，Δd1，Δd2分別為非平行光束導(dǎo)致的像的最大直徑的增量，非平行光導(dǎo)致像的總增量Δd=Δd1+Δd2。由于∠α，∠β，∠γ非常小，Δd=L（tanγ+ tanβ）≈Ltanα，像的最大直徑d■=d+Δd≈d+ Ltanα，因此∠α≈arctan[（d■-d）/L]。為此，通過(guò)對(duì)三種不同規(guī)格的小孔進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到表2的數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)所得太陽(yáng)對(duì)地球的張角與理論值0.52°吻合度較高。

2.2? ? 太陽(yáng)的反射式小孔成像

2.2.1? ? 探究任務(wù)：定性了解成像規(guī)律

實(shí)驗(yàn)7：以三棱鏡的一個(gè)面為鏡面（小孔），為防止其余兩個(gè)表面的影響，兩表面用黑色的紙張覆蓋。將光屏由近及遠(yuǎn)逐漸遠(yuǎn)離反射面，觀察到成像有個(gè)最短距離，并且此距離隨著小孔的增大而變大，并且像總是大于小孔。

2.2.2? ? 探究任務(wù)：當(dāng)部分光的傳播路徑受到阻礙時(shí)，太陽(yáng)的像如何變化

實(shí)驗(yàn)8：當(dāng)遮擋物沒(méi)有改變鏡面的最大直徑時(shí)，像的大小、整體輪廓沒(méi)有發(fā)生變化，像的部分變暗了，內(nèi)部明亮部分的圓形對(duì)稱性被破壞，如圖5所示。

實(shí)驗(yàn)9：當(dāng)遮擋物使得鏡面的最大直徑變小時(shí)，像變小了，同時(shí)變暗了。

2.3? ? 太陽(yáng)的折射式小孔成像

2.3.1? ? 探究任務(wù)：定性了解成像規(guī)律

實(shí)驗(yàn)10：在光屏與三棱鏡不同距離處太陽(yáng)的折射圖像與直線傳播式小孔成像和反射式小孔成像類似，折射式小孔成像在一定距離內(nèi)不成像。光屏與三棱鏡距離越大，由于不同色光的折射程度不同，單色光的像逐漸呈現(xiàn)出來(lái)，尤其是兩端的藍(lán)色和紅色圖像接近圓形，其他顏色的光也能顯露出圓形，如圖6所示。

2.3.2? ? 探究任務(wù)：當(dāng)部分光的傳播路徑受到阻礙時(shí)，太陽(yáng)的像如何變化

實(shí)驗(yàn)11：當(dāng)遮擋物分別以兩種方式遮擋太陽(yáng)對(duì)三棱鏡的入射面時(shí)，通過(guò)觀察，遮擋三棱鏡的部分入射面能夠使太陽(yáng)的像整體變暗，但成像特點(diǎn)不變，如圖7所示。

3? ? 模型建構(gòu)

3.1? ? 太陽(yáng)的直線傳播式小孔成像模型

3.1.1? ? 對(duì)太陽(yáng)的小孔成像最短成像距離的解釋

如圖8所示，太陽(yáng)邊緣光線發(fā)出的光（以一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)AB發(fā)出的光為例），經(jīng)過(guò)小孔CD后在O點(diǎn)之前有重合部分，在O點(diǎn)之后太陽(yáng)邊緣的圓形像才能呈現(xiàn)。E為小孔CD的中點(diǎn)，OE是太陽(yáng)邊緣光的混合區(qū)域的最大直線距離，即理論上成清晰像的最短距離?！螩OE=0.5∠COD≈0.5×0.52°=0.26°，OE=CE/（tan∠COE）。因此，對(duì)于4 mm，6 mm和10 mm直徑的小孔，其對(duì)應(yīng)的OE分別為441 mm，661 mm，1102 mm。與實(shí)驗(yàn)1中的各項(xiàng)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)值普遍比理論值要大一些;小孔越小，理論值和實(shí)驗(yàn)值的差距越小。筆者認(rèn)為，這與形成像的光通量大小和人眼對(duì)光的識(shí)別能力兩個(gè)方面的因素有關(guān)。OE反映的是理論上太陽(yáng)邊緣光線成像的最短距離，而太陽(yáng)的像的形成需要太陽(yáng)各部分的光都參與，況且每一部分的光經(jīng)過(guò)小孔后均是發(fā)散的，所以要形成人眼清晰可見(jiàn)的太陽(yáng)的圓形像，光屏離小孔的距離要加長(zhǎng)。而小孔越小，太陽(yáng)的每一部分光通過(guò)小孔后發(fā)散的程度越小，呈現(xiàn)清晰可見(jiàn)的圓形像的距離就越短。

3.1.2? ? 對(duì)太陽(yáng)小孔成像明暗不均的解釋

如圖9，當(dāng)光屏、小孔正對(duì)太陽(yáng)，太陽(yáng)入射到小孔的光束可以分為三類：垂直入射、斜向下入射和斜向上入射（斜入射的光也分不同的角度入射，圖9中僅以最大入射角度為例進(jìn)行說(shuō)明）。三種光束對(duì)小孔成像的影響如圖9所示，總體上會(huì)呈現(xiàn)中心區(qū)域明亮、邊緣逐漸暗淡。當(dāng)小孔直徑不變，光屏由近及遠(yuǎn)遠(yuǎn)離小孔時(shí)，三種光束的交叉區(qū)域越來(lái)越小，像的中心明亮的面積越來(lái)越小。

實(shí)驗(yàn)12：如圖10，利用平面鏡1將太陽(yáng)光反射一下，用小孔2選擇一窄束平行光，通過(guò)光屏3觀察這束光透過(guò)小孔后的行為。如果光嚴(yán)格沿直線傳播，則其在光屏上的形狀及大小與小孔相同。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)無(wú)論小孔形狀如何、小孔尺寸多小，光屏上仍然呈現(xiàn)圓形“像”，且光屏上的“像”隨著L增大而增大。在小孔尺寸很小時(shí)，光斑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于小孔，這說(shuō)明一部分光必然不能沿直線傳播，光由于“波動(dòng)”性，表現(xiàn)出較為明顯的衍射現(xiàn)象。

3.2? ? 太陽(yáng)的反射式小孔成像模型

如圖11，反射式小孔成像與直線傳播式小孔成像類似，每一發(fā)光點(diǎn)經(jīng)過(guò)平面鏡后的光均是發(fā)散的，因此其成像也會(huì)出現(xiàn)明暗不均，也會(huì)因?yàn)樾】妆徽谏w住部分后成像的內(nèi)部出現(xiàn)變化。

3.3? ? 太陽(yáng)的折射式小孔成像模型

如圖12，太陽(yáng)光的單色光通過(guò)三棱鏡后是以很小的角度發(fā)散的，因此太陽(yáng)的每一種單色光的折射式小孔成像特點(diǎn)與反射式小孔成像、直線傳播式小孔成像類似。

3.4? ? 太陽(yáng)的三種小孔成像的統(tǒng)一模型

三種“小孔”雖然是不同的光學(xué)器材，但是與凸透鏡成像是有本質(zhì)區(qū)別的，有以下幾個(gè)共同點(diǎn)：一是光源與像沒(méi)有共軛關(guān)系;二是光源上不同點(diǎn)發(fā)出的光通過(guò)小孔后在空間上都會(huì)有交叉的區(qū)域，在此區(qū)域內(nèi)不能成像;三是光源的每一個(gè)發(fā)光點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過(guò)小孔后發(fā)散，光越遠(yuǎn)離小孔，圖像越來(lái)越不能反映光源的真實(shí)信息;四是光屏在一定距離上的成像大小由小孔的最大直徑?jīng)Q定。

3.5? ? 太陽(yáng)的發(fā)光模型

由實(shí)驗(yàn)10、11可以推測(cè)太陽(yáng)大致上是一個(gè)球形光源;球形光源各部分都能時(shí)時(shí)刻刻均勻地發(fā)出不同的色光;不同單色光組成人眼看到的白光，即白光是復(fù)色光。

4? ? 對(duì)太陽(yáng)小孔成像模型的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

4.1? ? 對(duì)太陽(yáng)直線傳播式小孔成像的再實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)13：如圖13所示，在同一張紙上分別制作形狀不同、最大直徑相同的小孔，在相同的距離上小孔成像大小是相等的，從而證明直線傳播式小孔成像大小只受小孔的最大直徑制約，印證直線傳播式小孔成像的模型是可信的。

4.2? ? 對(duì)太陽(yáng)反射式小孔成像的再實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)14：利用三棱鏡的一個(gè)面當(dāng)作平面鏡，制作最大直徑相同、寬度不同的兩個(gè)矩形小孔，如圖14所示，太陽(yáng)通過(guò)兩個(gè)平面鏡形成的反射像大小相同。由此可以推斷，反射式小孔成像大小只受小孔的最大直徑制約，印證反射式小孔成像的模型是可信的。

4.3? ? 對(duì)太陽(yáng)發(fā)光模型的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)15：在不同時(shí)間、不同地點(diǎn)繼續(xù)對(duì)太陽(yáng)的三種小孔成像做實(shí)驗(yàn)，能夠證明太陽(yáng)的球形模型及發(fā)光的模型是不隨時(shí)空變化的，是穩(wěn)定的、可信的。

4.4? ? 對(duì)太陽(yáng)折射式小孔成像的模擬實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)16：借助交通指示燈進(jìn)行單色光的色散實(shí)驗(yàn)。

太陽(yáng)是球形光源，對(duì)地球上普通尺寸的光學(xué)器材來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于一個(gè)圓形面光源。通過(guò)實(shí)驗(yàn)可知，圓形面光源發(fā)出的每一種單色光經(jīng)三棱鏡后均可單獨(dú)成圓形像，這與前面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果預(yù)測(cè)相符。由此，我們有理由相信太陽(yáng)的白光是由不同色光組成的。

實(shí)驗(yàn)17：球形白色光源模擬太陽(yáng)。

球形白色路燈通過(guò)三棱鏡后的圖像可以看到其成像類似太陽(yáng)成像，所以太陽(yáng)的成像模型是可信的。

5? ? 問(wèn)題與反思

雖然對(duì)幾種小孔成像做了大量實(shí)驗(yàn)和統(tǒng)一的模型，但是仍存在以下問(wèn)題：

（1）根據(jù)模型，因?yàn)橄竦倪吘壝髁脸潭认鄬?duì)中心區(qū)域是暗淡的，光屏越遠(yuǎn)離小孔，像的邊緣越暗淡，因此人眼能夠識(shí)別的像的邊緣注定與像的實(shí)際邊緣稍有不符，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)測(cè)量的像的大小要小于實(shí)際值。

（2）對(duì)太陽(yáng)的發(fā)光解釋模型只是建立在人對(duì)可見(jiàn)光的識(shí)別基礎(chǔ)上，人為地將可見(jiàn)光進(jìn)行分類。不同色光之間是否僅僅是顏色、折射程度的區(qū)別？不可見(jiàn)光是否也能通過(guò)三棱鏡成圓形的像？這些問(wèn)題還沒(méi)有深入研究。

（3）太陽(yáng)的小孔成像對(duì)“像”的認(rèn)定是有特殊性的。由于光源與像之間沒(méi)有共軛關(guān)系。對(duì)于一般的光源，隨著光線經(jīng)過(guò)小孔之后與小孔距離越來(lái)越遠(yuǎn)，像越來(lái)越模糊，越來(lái)越不能呈現(xiàn)光源的信息，即越來(lái)越遠(yuǎn)離“像”的本義。但是，對(duì)于太陽(yáng)這種球形對(duì)稱性光源，無(wú)論光屏距離小孔遠(yuǎn)近，理論上總能呈現(xiàn)圓形的輪廓。部分圖形輪廓由于小孔尺寸太小，光的衍射占據(jù)主導(dǎo)因素，從成像反射效果分析，小孔的尺寸小到什么程度光的衍射占據(jù)主導(dǎo)因素，還沒(méi)有深入研究。

參考文獻(xiàn)：

[1]夏常春.如何理解小孔成像？[J].物理教學(xué)，1989（05）：35-36.

[2]席桑田.小孔成像成的是像嗎？[J].物理教師，2004，25（07）：35+37.

[3]程榮貴.自制小孔成像演示器[J].物理教師，2018，39（11）：46-47.

（欄目編輯? ? 羅琬華）