吳恢鑾 施嬌娥

【摘? ?要】思維水平是一個人的思維過程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果不同層次的反映。以“2的倍數(shù)特征”教學(xué)為例，構(gòu)建五步法實證研究路徑，分析學(xué)生對“2的倍數(shù)特征”理解的思維水平，并依據(jù)學(xué)生對該核心內(nèi)容理解的思維水平層次，設(shè)計個性化學(xué)習(xí)方案，實施差異化教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】2的倍數(shù)特征;思維水平;層次分析;差異教學(xué)

思維水平是一個人思維過程、思維方式、思維品質(zhì)、思維結(jié)果不同層次的反映。教師常常憑教學(xué)經(jīng)驗去分析學(xué)生的思維水平層次，這種基于經(jīng)驗的分析主觀性很強，得出的結(jié)論不一定科學(xué)。而對學(xué)生思維水平層次開展實證研究，也就是用數(shù)據(jù)說話，雖然顯得冰冷，但得出的結(jié)論可能更加接近學(xué)生思維水平層次的真實狀態(tài)。

個位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除，能被2整除的數(shù)個位上必定是0、2、4、6、8中的一個，也就是說，“個位上是0、2、4、6、8”是2的倍數(shù)的充分必要條件，稱為“2的倍數(shù)特征”。學(xué)生理解這樣的互逆特征，其思維水平會存在一定差異。

本文試圖構(gòu)建五步法，針對學(xué)生對2的倍數(shù)特征理解水平與課堂干預(yù)進行實證研究。所謂的五步法指的是：水平假設(shè)—問卷調(diào)查—修訂假設(shè)—層次劃分—差異教學(xué)。

一、思維水平假設(shè)

思維水平假設(shè)是基于對教材與學(xué)情的了解而做出的一種經(jīng)驗分析，具有較強的主觀性。新授課前，學(xué)生對核心內(nèi)容的理解水平處于何種狀態(tài)，專家型教師往往能根據(jù)學(xué)生的學(xué)情給出不同層次的界定，其實這種界定就是一種假設(shè)。如人教版教材五年級下冊“2、5的倍數(shù)的特征”中的例1，給出的是百數(shù)圖，根據(jù)學(xué)生構(gòu)建概念從淺表到深度，逐步數(shù)學(xué)化的思維過程，結(jié)合認知維度的五個層次（不會、了解、理解、掌握、應(yīng)用）劃分學(xué)生思維水平，如表1所示。

五個水平層次的假設(shè)是否符合學(xué)生理解該知識的思維水平？每個水平層次的學(xué)生數(shù)情況怎么樣？需要通過實證調(diào)查做出進一步的分析。

二、問卷調(diào)查設(shè)計

根據(jù)以上五個思維水平層次，設(shè)計相匹配的問題，以求證學(xué)生理解該特征的真實思維水平。問卷設(shè)計3個大題，7個小問題，具體如下。

1.觀察百數(shù)表，完成下列問題的回答。

（1）圈出百數(shù)表中2的倍數(shù)。

（2）觀察圈出的自然數(shù)，它們有什么特點？請你詳細寫出它們的特點。

（3）你認為怎樣的自然數(shù)才是2的倍數(shù)？

2.有一個三位數(shù)5□□，十位和個位上的數(shù)字都被遮住了。如果這個三位數(shù)是2的倍數(shù)，那么：

（1）個位可以填哪些數(shù)字？

（2）十位可以填哪些數(shù)字？

（3）判斷一個自然數(shù)是不是2的倍數(shù)，你認為與這個自然數(shù)的哪些數(shù)位上的數(shù)字有關(guān)系？你能解釋其中的原因嗎（解釋越詳細越好）？

3.迪迪在臺燈下寫作業(yè)（臺燈開著），突然停電了，他連續(xù)按了15次開關(guān)，當來電的時候，燈是（? ? ? ）（填“開的”或“關(guān)的”），請詳細寫出你是根據(jù)什么來判斷的。

第1大題中每個小題的測試目的分別是：第（1）小題測學(xué)生在沒學(xué)這部分知識前，能否判斷出哪些數(shù)是2的倍數(shù);第（2）小題測學(xué)生能否獨立發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)特征;第（3）小題測學(xué)生能否對特征進行歸納概括。

第2大題設(shè)計了3個小問題，主要檢測學(xué)生是否知道2的倍數(shù)特征跟個位有關(guān)，為什么跟個位有關(guān)。

第3大題主要檢測學(xué)生能否在具體的情境中靈活應(yīng)用2的倍數(shù)特征。

三、思維水平假設(shè)修訂

（一）對“2的倍數(shù)外顯特征”理解水平分析

學(xué)生在判斷一個數(shù)是不是2的倍數(shù)時，最先看的是什么？也就是說，2的倍數(shù)外顯特征是什么？在第1大題觀察百數(shù)表的活動中，3個小問題的設(shè)計針對性強，構(gòu)成了可以考查學(xué)生理解水平程度的梯度模型。具體分析如下：

1.圈出百數(shù)表中2的倍數(shù)。

測試前，教師對學(xué)生思維水平假設(shè)從直觀經(jīng)驗水平也就是水平1開始，并將“能圈出2的倍數(shù)，但不能發(fā)現(xiàn)特征，不能用數(shù)學(xué)語言歸納概括”作為水平1的界定標準。但測試中發(fā)現(xiàn)，參與測試調(diào)查的學(xué)生中，有1.6%不能圈出2的倍數(shù)，因此將假設(shè)的思維水平做相應(yīng)的調(diào)整，增加水平0層次，也就是無直觀經(jīng)驗水平。

2.觀察圈出的自然數(shù)，它們有什么特點？請你詳細寫出它們的特點。

如果學(xué)生能寫出這些數(shù)都是雙數(shù)、偶數(shù)或個位都是2的倍數(shù)等，說明已經(jīng)具備觀察發(fā)現(xiàn)水平，界定為水平2。

3.你認為怎樣的自然數(shù)才是2的倍數(shù)？

有學(xué)生認為“可以除得盡2”，或者“在雙數(shù)列上的數(shù)”就是2的倍數(shù)。這還不是真正意義上的歸納概括，這只是判斷（如圖1）。如果能寫出末尾是0、2、4、6、8的數(shù)是2的倍數(shù)，即能發(fā)現(xiàn)并用數(shù)學(xué)語言歸納概括特征，說明已經(jīng)達到了基本的歸納概括水平（如圖2）。當然，也有概括得十分到位準確的學(xué)生，如個位是0、2、4、6、8的數(shù)。

（二）對“2的倍數(shù)內(nèi)隱特征”理解水平分析

第2大題的設(shè)計意圖是考查學(xué)生的判斷是否與數(shù)位有關(guān)聯(lián)性。圖3中，該學(xué)生知道個位上的數(shù)字必須是0、2、4、6、8，但同時他認為十位上的數(shù)字也要是2、4、6、8，顯然他建立的內(nèi)在數(shù)位關(guān)聯(lián)是錯誤的。再看圖2中這位學(xué)生的作品，該學(xué)生認為十位上可以是任何數(shù)字，可見他是理解2的倍數(shù)特征只跟個位數(shù)字相關(guān)，該學(xué)生能正確理解2的倍數(shù)的內(nèi)隱特征。把能理解“2的倍數(shù)內(nèi)隱特征”但不能解釋原理的思維水平界定為水平4。

（三）對“用2的倍數(shù)特征解決問題”理解水平分析

對第3大題，如果學(xué)生能用奇偶性質(zhì)做出說明分析，就達到了變式情境應(yīng)用水平。實際上，學(xué)生喜歡采用多種策略如畫圖、列舉等方法來解決問題，思維水平層次比用2的倍數(shù)特征的原理解釋要低一些，屬于水平5。

（四）對“用2的倍數(shù)特征原理解釋”理解水平分析

數(shù)學(xué)的理解分為工具性理解和關(guān)系性理解。所謂工具性理解，是指知道怎么做但是不知道其中的道理。所謂關(guān)系性理解，是指既知道怎么做又知道為什么這樣做。顯然對2的倍數(shù)特征能做出原理解釋，屬于關(guān)系性理解。本次調(diào)查中，有2位學(xué)生能從位值制原理的角度對2的倍數(shù)特征做出解釋（如圖4），他們已經(jīng)清晰地表達出整百數(shù)、整十數(shù)等一定是2的倍數(shù)，所以只要看個位就行。這種原理解釋十分完整，達到了關(guān)系性理解水平，界定為思維水平6，屬于最高層次的理解水平。

四、思維水平層次劃分

通過上面的分析與甄別，將160位學(xué)生的調(diào)查情況劃分為0～6共七個思維水平層次，再把層次比較相近的歸為一大類，共四大類。如表2所示。

表2? ?2的倍數(shù)特征思維水平層次劃分表

[水平層次 特點 類別 百分比 水平0 不能圈出2的倍數(shù)，屬無直觀經(jīng)驗水平 A類：能力弱，不能發(fā)現(xiàn)特征 30.2% 水平1 能圈出2的倍數(shù)，但不能發(fā)現(xiàn)2的倍數(shù)特征，不能用數(shù)學(xué)語言進行歸納概括，屬直觀經(jīng)驗水平 水平2 能發(fā)現(xiàn)特點，但不能用數(shù)學(xué)語言進行歸納概括，屬觀察發(fā)現(xiàn)水平 B類：能力一般，能發(fā)現(xiàn)但不能概括特征 49.2% 水平3 能發(fā)現(xiàn)特征，能用數(shù)學(xué)語言概括，但不能解釋原理，屬歸納概括水平 C類：能力中等，能概括特征，但不能解釋原理 17.5% 水平4 能發(fā)現(xiàn)特征只和個位有關(guān)，但不能解釋原理，屬內(nèi)隱特征理解水平 水平5 能在變式情境中應(yīng)用，但原理解釋不清，屬綜合應(yīng)用水平 水平6 能解釋為什么，也能在復(fù)雜的情境中進行應(yīng)用，屬關(guān)系性理解水平 D類：能力強，能解釋，能運用 3.1% ]

這四類學(xué)生的思維水平層次占比到底是多少，因情而異，因校而異，因區(qū)域而異，以上的數(shù)據(jù)調(diào)查只是提供了研究樣本。但學(xué)生的思維水平層次具有普遍性。通過思維水平的分析，可以讓教師深入把握每個思維水平層次的真實狀態(tài)，為個性化學(xué)習(xí)方案設(shè)計奠定理論與實踐基礎(chǔ)，可以更加有底氣地精準實施差異化教學(xué)。

五、基于思維水平層次進行差異化教學(xué)

基于思維水平層次的劃分與分析，就“2、5倍數(shù)特征”這一課設(shè)計了個性化導(dǎo)學(xué)問題，實施差異教學(xué)，讓不同的學(xué)生獲得有差異的發(fā)展。

所謂“個性化導(dǎo)學(xué)問題”，是指基于不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與思維水平，就某個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，設(shè)計不同的智慧卡。智慧卡中的“個性化導(dǎo)學(xué)問題”從易到難分為三至四個層次，使不同思維水平的學(xué)生都能根據(jù)導(dǎo)學(xué)問題自主探究知識的發(fā)生與發(fā)展過程，獲得有差異的成功體驗。

（一）A卡設(shè)計：關(guān)注A類學(xué)生思維水平

在看到一個多位數(shù)時，A類學(xué)生不會去關(guān)注個位數(shù)字特點，所以教學(xué)內(nèi)容設(shè)計首先要讓他們?nèi)リP(guān)注個位的內(nèi)容，然后進一步關(guān)注哪些數(shù)是2的倍數(shù)，哪些不是2的倍數(shù);再逐步過渡到關(guān)注2的倍數(shù)的內(nèi)隱特征。當學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)關(guān)系之后，再讓他們舉例驗證，說一說2的倍數(shù)有怎樣的特點。設(shè)計智慧A卡的目的是希望學(xué)生能夠沿著自身的思維水平經(jīng)歷屬于自己的思維路徑，能自覺在個性化問題的驅(qū)動下進行自主探索，逐步得到結(jié)論。智慧A卡如圖5所示。

（二）B卡設(shè)計：明確問題指向性與可操性

B卡對應(yīng)數(shù)學(xué)能力一般的學(xué)生，設(shè)計的問題探究空間較小，指導(dǎo)語落在方法和探究策略上，問題指向陳述性知識，不涉及“為什么”的策略性知識。問題指向性明確，易思考、易操作。這一層次的學(xué)生，只知道2的倍數(shù)的特征，所以這個時候，讓他去算一算2的倍數(shù)有哪些，通過計算，再來觀察2的倍數(shù)有什么特征，并且請他們寫一寫，最后再回到例子中。通過歸納舉例到歸納特征，讓學(xué)生的思維在具象與抽象中不斷地進行穿梭，慢慢地悟出并能歸納概括2的倍數(shù)的特征。智慧B卡如圖6所示。

（三）C卡設(shè)計：注重學(xué)習(xí)方法和探究策略的指導(dǎo)

C卡對應(yīng)的是數(shù)學(xué)能力較強的學(xué)生。所以設(shè)計的問題探究空間較大，個性指導(dǎo)語重在學(xué)習(xí)方法或探究策略的指導(dǎo)上。設(shè)計的問題一般指向有關(guān)聯(lián)的事實性問題，但對“為什么”的策略性知識不涉及。指導(dǎo)語落在對概念的深層次理解上。C卡相對于B卡來說，又上升了一個層次，學(xué)生可以通過寫數(shù)、舉例，不斷地加深對2的倍數(shù)特征的理解與概括。智慧C卡如圖7所示。

（四）D卡設(shè)計：凸顯“為什么”的策略性知識

D卡對應(yīng)的是數(shù)學(xué)能力很強的學(xué)生，所以問題的設(shè)計要具有開放性、探究性，要涉及“為什么”的策略性知識，還要求學(xué)生將自己獲得的知識加以運用。如擔任小老師角色，完成知識的輸出過程。對D層次的學(xué)生來說，這些問題具有挑戰(zhàn)性。智慧D卡如圖8所示。

有了這樣的個性化導(dǎo)學(xué)卡，教師可以放手讓每個層次的學(xué)生沿著自己的思維過程推進學(xué)習(xí)進程。但值得注意的是，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自身情況選擇不同思維層次的個性化學(xué)習(xí)卡，而不能用自己的判斷為學(xué)生的學(xué)習(xí)“定性”，把自認為合適學(xué)生思維水平層次的卡直接發(fā)給學(xué)生。課堂上教師可以這樣告訴學(xué)生：有四張智慧學(xué)習(xí)卡，卡上的問題難度不同，D卡難度最大，A卡最為簡單，你可以自己選擇從哪張卡開始研究。如果你選擇了一張卡，研究之后認為問題太難，你可以重新選擇;如果你選擇的卡上的問題很快解決了，可以繼續(xù)選擇下一張卡進行研究。記得哦，適合自己的才是最好的。

組織課堂反饋可以這樣操作：小組內(nèi)，讓選擇A卡的學(xué)生先匯報，接著是B卡的學(xué)生，依此類推。全班匯報交流時，最好是讓選擇B卡或C卡的學(xué)生先匯報，然后讓D卡的學(xué)生來解釋為什么是這樣。

教學(xué)中，如果每個核心內(nèi)容都能針對學(xué)生思維水平層次做出科學(xué)分析，并基于此進行教學(xué)設(shè)計，在充分了解學(xué)情的基礎(chǔ)上實施差異化教學(xué)，將更有利于學(xué)生的發(fā)展。

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2.浙江省杭州市崇文實驗學(xué)校? ?310014）