關(guān)于隨機(jī)變量獨(dú)立性的一個(gè)反例研究

劉 蕾

(上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué))

0 引言

在很多概率論的定理、結(jié)論(如分布的可加性)中，獨(dú)立性都是前提之一.若隨機(jī)變量的獨(dú)立性不成立，則眾多結(jié)果將難以保證.“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”中都有這樣的一個(gè)結(jié)論：隨機(jī)變量X,Y不獨(dú)立，但其函數(shù)可能獨(dú)立，也有可能不獨(dú)立.大多《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材都是采用如例1給予說明的.

例1 設(shè)二維隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為：

則有：(1)X,Y不獨(dú)立；(2)X與Y2獨(dú)立，X2與Y獨(dú)立；(3)X2與Y2獨(dú)立.

該例最早由劉錦萼和張尚志于1984年在文獻(xiàn)[1]中提出的，之后的概率統(tǒng)計(jì)的教科書、反例書大都是采用這個(gè)例子.后來，沈子曦和徐曉嶺在文獻(xiàn)[2]中針對此例進(jìn)行了多方面的推廣.那么有沒有其它用來說明這一問題的反例呢？如果有，那會(huì)有什么特殊的結(jié)論呢？

該文將以此為出發(fā)點(diǎn)，對樣本容量為2的自由度為n的t分布總體的樣本的次序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)進(jìn)行系統(tǒng)性總結(jié)研究.

1 隨機(jī)變量獨(dú)立性中一個(gè)反例的深入分析

下面通過樣本容量為2的自由度為n的t分布樣本說明這一結(jié)論，并作進(jìn)一步拓展分析.

設(shè)總體X服從自由度為n的t分布，記為X～t(n)，其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：

設(shè)X1、X2是來自總體X的容量為2的一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，X(1)≤X(2)為其次序統(tǒng)計(jì)量，記

定理1Y1與Y2既不獨(dú)立也不同分布.

證明對-∞y1)=1-P(X1>y1,X2>y1)=2FX(y1)-[FX(y1)]2

fY1(y1)=2fX(y1)-2FX(y1)fX(y1)=2fX(y1)[1-FX(y1)]

對-∞

fY2(y2)=2FX(y2)fX(y2)

另一方面，對-∞

+∞,

FY1,Y2(y1,y2)=P(Y1≤y1,Y2≤y2)=P(Y2≤y2)-P(Y1>y1,Y2≤y2)=[FX(y2)]2-P(X1>y1,X2>y2,X1≤y2,X2≤y2)

注意到：

若y2y1,X2>y2,X1≤y2,X2≤y2)=0

則

FY1Y2(y1,y2)=[FX(y2)]2

若y2≥y1時(shí)，P(X1>y1,X2>y2,X1≤y2,X2≤y2)=P(y1

則

FY1,Y2(y1,y2)=[FX(y2)]2-[FX(y2)-FX(y1)]2=2FX(y1)FX(y2)-[FX(y1)]2

fY1,Y2(y1,y2)=2fX(y1)fX(y2),y1≤y2

易見：Y1與Y2是不獨(dú)立的.

評(píng)注：(1)次序統(tǒng)計(jì)量X(1)與X(2)有不同的分布，且X(i)與Xi，i=1,2服從于不同的分布；(2)雖然X1與X2獨(dú)立同分布，但X(1)與X(2)既不獨(dú)立也不同分布.

定理2Z1與Z2獨(dú)立同分布.

即

Z1～F(1,n)

對z2>0，F(xiàn)Z2(z2)=P(Z2≤z2)=

即

Z2～F(1,n)

另一方面，對z1≥0,z2≥0，

FZ1,Z2(z1,z2)=P(Z1≤z1,Z2≤z2)=

注意到：

則

由此

綜上：

于是得：Z1與Z2獨(dú)立同分布.

另外，

F-Y1(y1)=P(-Y1≤y1)=P(Y1≥-y1)=P(X1≥-y1,X2≥-y1)=[1-FX(-y1)]2=[FX(y1)]2

F-Y2(y2)=P(-Y2≤y2)=P(Y2≥-y2)=1-P(Y2≤-y2)=1-[FX(-y2)]2=2FX(y2)-[FX(y1)]2

所以，X(1)和-X(1)具有不同的分布，X(2)和 -X(2)也具有不同的分布.但是，X(1)和-X(2)以及X(2)和-X(1)是同分布的.

定理3Y1與Y2-Y1不獨(dú)立.

證明由于(Y1,Y2)的聯(lián)合密度函數(shù)為：fY1,Y2(y1,y2)=2fX(y1)fX(y2),y1≤y2.

fX(u+v),-∞

又fU(u)=2fX(u)[1-FX(u)]

顯然，fU,V(0,1)≠fU(0)fV(1)

于是可以看到：Y1與Y2-Y1是不獨(dú)立的.

評(píng)注：Y1與Y2-Y1對應(yīng)的是樣本容量為2的t(n)分布次序統(tǒng)計(jì)量的間隔，該間隔彼此之間是不獨(dú)立的.而若是指數(shù)分布總體，次序統(tǒng)計(jì)量的間隔是獨(dú)立的.

定理4Y1與Z2不獨(dú)立，Y2與Z1也不獨(dú)立.

證明(1)Y1與Z2的聯(lián)合分布：對-∞

FY1,Z2(y1,z2)=P(Y1≤y1,Z2≤z2)=

注意到：

則

則

于是得：Y1與Z2是不獨(dú)立的.

(2)Y2與Z1的聯(lián)合分布：對-∞

+∞，z1≥0,

FY2,Z1(y2,z1)=P(Y2≤y2,Z1≤z1)=

注意到：

則

則

于是得：Y2與Z1是不獨(dú)立的.

2 結(jié)論