動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律的邏輯關(guān)系*
——再議2017天津高考物理第10題第2問的解法

吳學(xué)慶

(貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550001)

1 引言

關(guān)于2017 天津高考物理卷第10 題第2 問的解析，已有武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校的王翔老師作者進(jìn)行了質(zhì)疑[1]。認(rèn)為參考答案的分析過程使用動(dòng)量守恒定律的錯(cuò)誤。王翔老師從質(zhì)點(diǎn)系外力遠(yuǎn)大于內(nèi)力的角度出發(fā)，證實(shí)了由A、B 組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒，并提出了使用動(dòng)量定理解決問題的方法，筆者認(rèn)為其觀點(diǎn)正確的。那么，為什么不能使用動(dòng)量守恒定律，而能使用動(dòng)量定理解決此類問題？挖掘解動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律的內(nèi)在聯(lián)系，并使用大學(xué)力學(xué)的專業(yè)知識(shí)進(jìn)行探討，弄起其物理本質(zhì)，也是有一定意義的。

2 2017 天津高考物理卷第10 題及第一二問解析過程[1]

如圖1 所示，物塊A 和物塊B 通過不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接，跨放在質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪兩側(cè)，質(zhì)量分別為mA=2 kg、mB=1 kg。初始時(shí)A 靜止于水平地面上。B 懸于空中，先將B 豎直向上再舉高h(yuǎn)=1.8 m（未觸及滑輪）然后由靜止釋放。一段時(shí)間后細(xì)繩繃直，A、B 以大小相等的速度一起運(yùn)動(dòng)，之后B 恰好可以和地面接觸。取g=10 m/s2。

圖1 物理情景示意

（1）B 從釋放到細(xì)繩繃直時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；

（2）A 的最大速度v 的大?。?/p>

（3）初始時(shí)B 離地面的高度H

2.1 高考參考答案中的解析過程

（1）B 從釋放到細(xì)繩剛繃直前做自由落體運(yùn)動(dòng)，有

代入數(shù)據(jù)得：

(2) 設(shè)細(xì)繩繃直前B 的速度大小為vB,有

細(xì)繩繃直瞬間，細(xì)繩張力遠(yuǎn)大于A、B 的重力，A、B 相互作用，由動(dòng)量守恒得

之后A 做勻減速運(yùn)動(dòng)，所有細(xì)繩繃直后的瞬間的速度v即為A 的最大速度，聯(lián)立(2)、(3)、(4)式，代入數(shù)據(jù)解得

2.2 對(duì)解析過程的分析與討論

解析過程的第（1）、（2、）（3）步，語(yǔ)言表述和公式表達(dá)都正確，解析過程的第（4）步卻有較大的問題?！凹?xì)繩繃直瞬間，細(xì)繩張力遠(yuǎn)大于A、B 的重力，A、B 相互作用，由動(dòng)量守恒得”。對(duì)系統(tǒng)的受力的分析不完整，A 除了受繩子的張力和其自身重力外，還受到地面的支持力，盡管這個(gè)支持力是隨著時(shí)間逐漸減小的。物理學(xué)常識(shí)告訴我們，兩個(gè)物體之間相互作用，則他們的作用力分為接觸力和非接觸力（場(chǎng)力）。A 和B 之間沒有相互接觸，因?yàn)樗麄冎g連著繩子，而萬(wàn)有引力（場(chǎng)力）又不在該題的考慮范圍。因此“A、B 相互作用”的表述錯(cuò)誤。物理學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，作為高考題答案，語(yǔ)言表述也應(yīng)準(zhǔn)確無(wú)誤。對(duì)于適用物理規(guī)律的錯(cuò)誤，前人已經(jīng)做過證明，這里不再贅述。

3 動(dòng)量不守恒原因分析

要深刻分析動(dòng)量不守恒的原因，得追根溯源，找到動(dòng)量守恒定律的理論來源。

3.1 動(dòng)量守恒定律的理論推導(dǎo)

物理學(xué)中的“定律”，大多是實(shí)驗(yàn)規(guī)律（少數(shù)定律如牛頓第一定律除外），由實(shí)驗(yàn)分析得出。使用過程中，只要滿足定律成立的條件，就可以應(yīng)用它們來解決實(shí)際問題，不需要也無(wú)法答出為什么來（如萬(wàn)有引力定律）。但動(dòng)量守恒定律也可通過理論證推導(dǎo)出來。

如圖2所示，物體A和B在水平面上運(yùn)動(dòng)，碰撞前瞬間的速度分別為vA、vB，且vA﹥vB，碰撞后分離瞬間的速度分別為、，設(shè)水平向右為正方向，對(duì)A物體，在碰撞前后，由動(dòng)量定理得

圖2 物體A 和B 在水平面上運(yùn)動(dòng)

圖2 水平方向上A、B 碰撞示意圖

(6)式中，為碰撞過程中B 對(duì)A 的平均作用力大小，Δt為碰撞過程經(jīng)歷的時(shí)間，fA為地面給A 的動(dòng)摩擦力大小。

同理，對(duì)B 物體，在碰撞前后，由動(dòng)量定理得

(7)式中，為碰撞過程中A 對(duì)B 的平均作用力大小，fB為地面給B 的動(dòng)摩擦力大小。由牛頓第三定律，有

聯(lián)立(6)、(7)和(8)式可得：

碰撞時(shí)間極短，則Δt→0，fA和fB均為有限值，則(7)式左邊等于0，可化簡(jiǎn)為

即以A 和B 組成的系統(tǒng)在碰撞前后總動(dòng)量守恒。

要使得(9)式成立，要求(6)、(7)式左邊的和為零。嚴(yán)格來說，系統(tǒng)不受外力，只有內(nèi)力作用，則系統(tǒng)的動(dòng)量一定守恒。另外，在碰撞，爆炸等系統(tǒng)相互作用時(shí)間非常短的過程中，系統(tǒng)的動(dòng)量近似守恒。在中學(xué)階段可以直接使用動(dòng)量守恒定律解題。

現(xiàn)行中學(xué)教材甚至大學(xué)《力學(xué)》教材中，在處理涉及碰撞、爆炸類物理問題時(shí)，只是強(qiáng)調(diào)因?yàn)橥饬h(yuǎn)大于內(nèi)力，系統(tǒng)動(dòng)量守恒[2,3]。筆者認(rèn)為，在這類物理情景中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒的原因是因?yàn)閮?nèi)力作用時(shí)間非常短暫。因?yàn)榧词箖?nèi)力不遠(yuǎn)大于外力，這一項(xiàng)依然等于零。要使得動(dòng)量守恒定律成立，必須使得（11）式左邊為零，也就是Δt→0，且外力均為有限值。由此可以得到動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律內(nèi)在邏輯關(guān)系，即動(dòng)量守恒定律可以從動(dòng)量定理推導(dǎo)出來，動(dòng)量守恒定律是動(dòng)量定理的一個(gè)特例。只有滿足這個(gè)特例的條件（系統(tǒng)不受外力或所受合外力為零，或外力作用的時(shí)間極短），系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律才能成立。

3.2 2017 天津高考物理卷第10 題中A、B 不滿足系統(tǒng)動(dòng)量定律的條件

關(guān)于內(nèi)力，無(wú)論是中學(xué)物理，還是大學(xué)力學(xué)中都有明確的定義[3]。內(nèi)力指的是系統(tǒng)里面物體之間的相互作用力，內(nèi)力成對(duì)出現(xiàn)。如果系統(tǒng)內(nèi)只有兩個(gè)物體，則內(nèi)力一定滿足牛頓第三定律，即大小相等方向相反且作用在同一直線上。系統(tǒng)中的內(nèi)力的矢量和必須為零。在本例中，A、B 之間連著繩子，繩子對(duì)A 和對(duì)B 的拉力方向都向上，不滿足一對(duì)內(nèi)力方向相反的條件。因此，繩子對(duì)A 和對(duì)B，不能看做內(nèi)力，只能是分別作用于A 和B 的外力。因此在繩子繃直前后的瞬間，由A、B 組成的系統(tǒng)動(dòng)量不守恒。相應(yīng)正確的解法已由前人提出，這里不再贅述[1]。

4 2017 天津高考物理卷第10 題中第2 問

使用《理論力學(xué)》中角動(dòng)量定理的相關(guān)知識(shí)[4]，可以更簡(jiǎn)單地求解這個(gè)問題。如圖3 所示，設(shè)滑輪的半徑為r，質(zhì)量不計(jì)，取滑輪軸心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過滑輪軸心的水平軸oz為轉(zhuǎn)軸，oz水平向外，對(duì)A、B 分別進(jìn)行受力分析，使用質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量定理得，

圖3 A、B 受力示

將(11)式子積分得：

A 物體上的作用力對(duì)軸oz的力矩為：

B 物體上的作用力對(duì)軸oz的力矩為：

合力矩：

角動(dòng)量的變化量：

由(11)～(15)聯(lián)立可得：

繩子繃直過程的時(shí)間Δt=t-t0，由于Δt→0，且(17)式左邊被積函數(shù)

o為有限值，因此(16)式左邊為零，將(17)化簡(jiǎn)，可得：

此式與(10)式相同，因此，在繩子繃直的瞬間，由A、B 組成的系統(tǒng)角動(dòng)量守恒而動(dòng)量不守恒。