層狀彈性體系力學(xué)及其應(yīng)用

王凱

(東南大學(xué)交通學(xué)院，南京210096)

層狀彈性體系力學(xué)是多層柔性路面、機(jī)場(chǎng)道面以及多層地基設(shè)計(jì)與計(jì)算的理論基礎(chǔ)。該理論及在其基礎(chǔ)上所編制的各種實(shí)用程序在世界各國的上述工程結(jié)構(gòu)的科學(xué)研究和設(shè)計(jì)與計(jì)算中得到了廣泛的應(yīng)用。

層狀彈性體系力學(xué)是彈性力學(xué)的一個(gè)分支。層狀彈性體系力學(xué)將所研究的物體看作是自上而下由若干彈性層和半無限彈性體組成的彈性體系。

盡管層狀彈性體系力學(xué)屬于彈性力學(xué)的范疇，但與傳統(tǒng)的彈性力學(xué)相比，層狀彈性體系力學(xué)有很大的不同。傳統(tǒng)的彈性力學(xué)只能解決半無限彈性體的力學(xué)分析和計(jì)算問題，而層狀彈性體系力學(xué)可以解決半無限層狀彈性體系的力學(xué)分析和計(jì)算問題。在層狀彈性體系力學(xué)中，經(jīng)常采用漢克爾(Hankel)積分變換公式并頻繁使用各種特殊函數(shù)(伽馬(gamma)函數(shù)、貝塔(beta)函數(shù)、普西(psi)函數(shù)、橢圓積分、超幾何函數(shù)、貝塞爾(Bessel)函數(shù)、勒讓德(Legendre)函數(shù)、拉姆達(dá)(lambda)函數(shù))的計(jì)算公式，而這兩種計(jì)算公式在傳統(tǒng)的彈性力學(xué)的力學(xué)分析與計(jì)算中很少出現(xiàn)或幾乎不出現(xiàn)。因此層狀彈性體系力學(xué)大大豐富了彈性力學(xué)的理論寶庫。

目前在我國，層狀彈性體系力學(xué)在交通工程界已得到廣泛的應(yīng)用，而在力學(xué)界則鮮為人知。本文是迄今國內(nèi)第一次以論文的形式全面、系統(tǒng)地向國內(nèi)廣大讀者宣傳、介紹層狀彈性體系力學(xué)的發(fā)展歷史、基礎(chǔ)理論、計(jì)算公式和計(jì)算方法及其在科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。盡管層狀彈性體系力學(xué)誕生已經(jīng)幾十年了，文中的內(nèi)容對(duì)于國內(nèi)很多讀者來說，仍然是十分新鮮并具有理論價(jià)值和實(shí)用價(jià)值的知識(shí)，值得一讀。

1 層狀彈性體系力學(xué)的發(fā)展歷史

層狀彈性體系力學(xué)是在半無限彈性體力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。1885年，Boussinesq對(duì)半無限彈性體表面在單個(gè)垂直集中力作用下的應(yīng)力和位移作出了理論解，它在近代土力學(xué)中獲得了廣泛的應(yīng)用。1882年，Cerruti對(duì)半無限彈性體表面在單個(gè)水平集中力作用下的應(yīng)力和位移作出了理論解。

由于數(shù)學(xué)和彈性力學(xué)的發(fā)展，到20世紀(jì)40～60年代，層狀彈性體系力學(xué)取得了長足的進(jìn)步。1945年，Burmister[1]利用Love位移函數(shù)得到了在軸對(duì)稱垂直載荷作用下雙層和多層彈性體系應(yīng)力和位移的理論解。1962年，Schiffman[2]又將其進(jìn)一步推廣到多層彈性體系非軸對(duì)稱問題的求解。

20世紀(jì)60～70年代，電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算方法發(fā)展很快，而工程實(shí)際也要求解決多層(層數(shù)N>3)彈性體系的力學(xué)計(jì)算，于是多層彈性體系力學(xué)計(jì)算程序在各國學(xué)者的努力下應(yīng)運(yùn)而生。

1973年，De Jong等[3]合作編制成功BISAR(bitumen structures analysis in roads)計(jì)算機(jī)程序，該程序可以計(jì)算在多圓均布復(fù)合載荷(包括垂直、單向水平載荷)作用下N層彈性連續(xù)-半結(jié)合體系內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力和位移分量、主應(yīng)力和主應(yīng)變分量以及主方向等。

除此之外，世界各國還有不少計(jì)算N層彈性體系應(yīng)力和位移分量的計(jì)算機(jī)程序，但迄今為止世界上公認(rèn)比較有名、實(shí)用且影響比較深遠(yuǎn)的仍然是BISAR程序。

改革開放以來，隨著交通事業(yè)的發(fā)展，高等級(jí)公路和城市道路瀝青路面的大量設(shè)計(jì)與修建，我國迫切需要解決多層彈性體系的力學(xué)計(jì)算問題。但國外在這一方面對(duì)我國搞專利封鎖，著名的BISAR程序?qū)＠M(fèi)高達(dá)100萬美元。

為了打破國外的專利封鎖，中國學(xué)者們決心攻克這一國內(nèi)難題。1980年筆者編制成功了在圓形均布垂直載荷作用下N層彈性連續(xù)體系的力學(xué)計(jì)算程序，并從此開始將筆者本人編寫的N層彈性體系力學(xué)計(jì)算程序統(tǒng)稱為NESCP(N-layer elastic system computer program)程序[4]。1981年筆者又編制成功了在雙圓均布復(fù)合載荷(垂直和單向水平載荷)作用下N層彈性連續(xù)體系的力學(xué)計(jì)算程序[5]。在此基礎(chǔ)上筆者經(jīng)過數(shù)年努力，于1984年編制了功能更全面的多層彈性體系力學(xué)計(jì)算程序。該程序的功能已達(dá)到BISAR程序的功能[6-9]。1990年，由筆者完成的“層狀彈性體系應(yīng)力與位移的一般分析與計(jì)算”課題獲陜西省科技進(jìn)步一等獎(jiǎng)。

除了筆者之外，我國還有不少學(xué)者按照不同思路編制了若干多層彈性體系力學(xué)計(jì)算程序，較有影響的有朱照宏的“高階矩陣代數(shù)法”程序[10]，郭文復(fù)的“分層求逆子陣的傳遞矩陣法”程序[11]，郭大智的“系數(shù)遞推法”程序[12]以及吳晉偉的“反力遞推法”程序[13]等。

應(yīng)當(dāng)指出，由于國外技術(shù)封鎖，我國多層彈性體系力學(xué)分析與計(jì)算的研究工作，基本上是在自力更生的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，但這也促使我們的研究在很多方面具有中國特色。

由多層彈性體系力學(xué)計(jì)算可知，如何從線性代數(shù)方程組快速地求算出積分常數(shù)，是保證快速計(jì)算出應(yīng)力與位移分量的關(guān)鍵。在這一方面，中外的學(xué)者們提出了不同的方法，一種是筆者提出的“遞推回代法”，另一種是“傳遞矩陣法”(由于保密，國外文獻(xiàn)中從不介紹該計(jì)算方法的具體細(xì)節(jié))。計(jì)算表明，“遞推回代法”的計(jì)算時(shí)間少，不會(huì)出現(xiàn)“病態(tài)矩陣”，對(duì)層間完全連續(xù)、層間完全光滑和層間半結(jié)合時(shí)積分常數(shù)的求解問題都能解決，比“傳遞矩陣法”(該方法不能解決層間完全光滑時(shí)積分常數(shù)的求解問題)明顯優(yōu)越。

積分計(jì)算公式是多層彈性體系力學(xué)計(jì)算的另一個(gè)關(guān)鍵計(jì)算公式。由于保密，國外文獻(xiàn)中從不介紹積分計(jì)算公式的內(nèi)容。筆者在前人工作的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和誤差分析，得到了論文中所述的積分計(jì)算公式并成功地應(yīng)用于多層彈性體系的力學(xué)計(jì)算。

由于本文篇幅有限，有關(guān)內(nèi)容的詳細(xì)介紹，請(qǐng)參看參考文獻(xiàn)[14]。

以上僅對(duì)層狀彈性體系力學(xué)的發(fā)展歷史作了簡(jiǎn)單的回顧，下文將進(jìn)一步介紹N層彈性體系的力學(xué)分析與計(jì)算。

2 N層彈性體系的力學(xué)分析與計(jì)算[14]

層狀彈性體系力學(xué)包含了豐富的內(nèi)容，由于篇幅有限，本文只著重介紹在工程實(shí)踐中應(yīng)用最廣泛的在圓形均布垂直載荷或單向水平載荷作用下N層彈性體系的力學(xué)分析與計(jì)算并在介紹過程中對(duì)NESCP程序和BISAR程序的力學(xué)計(jì)算公式和計(jì)算方法進(jìn)行比較。所謂N層彈性體系通常指自上而下由N?1層有限厚的水平彈性層和最下層半無限彈性體組成的體系。當(dāng)N=1時(shí)，層狀彈性體系即變?yōu)榘霟o限彈性體。N層彈性體系在單圓均布垂直載荷或單向水平載荷作用下的力學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示。圖中q和p分別為垂直載荷和水平載荷集度，δ為載荷圓半徑，hi，Ei和μi分別為彈性體系各層的厚度、彈性模量和泊松比。

2.1 基本假定

為了進(jìn)行層狀彈性體系的力學(xué)分析，在層狀彈性體系力學(xué)中關(guān)于層狀彈性體系，引入如下幾個(gè)基本假定：

(1)各層是連續(xù)的、完全彈性的、均勻的和各向同性的理想彈性體；

(2)最下層半無限彈性體在水平方向和垂直向下方向均為無限大，其上各層垂直方向具有有限的厚度，水平方向?yàn)闊o限大；

(3)各層水平無限遠(yuǎn)處和最下層無限深處，應(yīng)力和位移分量為零；

(4)層間結(jié)合狀況可以是完全連續(xù)的，或者是完全光滑的，或者是介于二者之間的半結(jié)合狀況，但層間不出現(xiàn)脫空現(xiàn)象；

(5)體系受力后位移和變形是微小的，在進(jìn)行力學(xué)分析時(shí)體力可忽略不計(jì)。

2.2 應(yīng)力和位移分量的表達(dá)式

采用位移函數(shù)法和漢克爾積分變換的公式[15]求解柱坐標(biāo)系中彈性力學(xué)三維問題的基本方程，即可得到N層彈性體系在單圓均布垂直載荷或單向水平載荷作用下應(yīng)力和位移分量的表達(dá)式：

當(dāng)載荷為垂直載荷時(shí)

其中

當(dāng)載荷為單向水平載荷時(shí)

其中

以上各式中，J0(x)，J1(x)和J2(x)分別為零階、一階和二階第一類貝塞爾函數(shù)，下標(biāo)i表示各力學(xué)分量計(jì)算點(diǎn)所在的層數(shù)；Ai，Bi，Ci，Di，F(xiàn)i，Ii為積分常數(shù)，實(shí)際為積分變量x的函數(shù)。如下所述，它們將根據(jù)具體力學(xué)問題的定解條件來確定，其他各變量解釋詳見參考文獻(xiàn)[14]，下同。

2.3 定解條件

2.3.1 NESCP程序

當(dāng)載荷為垂直載荷時(shí)

(1)表面應(yīng)力邊界條件(z=0)

(2)層間結(jié)合條件(z=zi)

此外，定解條件還有：當(dāng)z→∞時(shí)，所有應(yīng)力和位移分量均應(yīng)趨于零，因此必有AN=CN=0。

當(dāng)載荷為單向水平載荷時(shí)

(1)表面應(yīng)力邊界條件(z=0)

(2)層間結(jié)合條件(z=zi)

此外，定解條件還有AN=CN=FN=0，理由同前。

2.3.2 BISAR程序

BISAR程序進(jìn)行力學(xué)計(jì)算所采用的定解條件與上述NESCP程序所采用的定解條件基本一致，僅式(4)和式(6)中水平位移與水平剪應(yīng)力的關(guān)系式分別修改為

式(7)中AKi稱為界面剪切彈簧系數(shù)，0≤AKi<∞(i=1,2,···,N?1)。當(dāng)AKi=0時(shí)，ui=ui+1vi=vi+1，層間完全連續(xù)；當(dāng)AKi→∞時(shí)，τzri=τzri+1=0，τzθi=τzθi+1=0，層間完全光滑；當(dāng)0

由上述可知：

(1)當(dāng)層間處于半結(jié)合狀況時(shí)，NESCP程序中采用的水平位移與水平剪應(yīng)力的關(guān)系式是嚴(yán)格按照哥德曼(Goodman)法則的表達(dá)式，即

得到的，而BISAR程序中采用的關(guān)系式仍按照哥德曼法則的表達(dá)式但做了一點(diǎn)變化。

(2)在具體力學(xué)計(jì)算時(shí)，界面剪切彈簧系數(shù)AKi與層間結(jié)合系數(shù)Ki實(shí)際上是互為倒數(shù)關(guān)系。

2.4 根據(jù)定解條件建立求解積分常數(shù)的線性代數(shù)方程組

由于本文篇幅有限，下文僅介紹垂直載荷作用下N層彈性體系力學(xué)計(jì)算的有關(guān)內(nèi)容。單向水平載荷作用下N層彈性體系力學(xué)計(jì)算的有關(guān)內(nèi)容與此基本相似，請(qǐng)參看參考文獻(xiàn)[14]，不再一一敘述。將式(1)中有關(guān)應(yīng)力分量的表達(dá)式代入表面應(yīng)力邊界條件式(3)并對(duì)每一個(gè)等式兩邊施加漢克爾積分變換[15]即可得到兩個(gè)方程式(寫成矩陣形式)

將式(1)中有關(guān)力學(xué)分量的表達(dá)式代入層間結(jié)合條件式(4)并對(duì)每一個(gè)等式兩邊施加漢克爾積分變換[15]即可得到(4N?4)個(gè)方程式(寫成矩陣形式)

上述4N?2個(gè)方程式再加上AN=CN=0兩個(gè)方程式，正好構(gòu)成4N元線性代數(shù)方程組，用于求解4N個(gè)未知積分常數(shù)Ai，Bi，Ci，Di(i=1,2,···,N)。

2.5 由線性代數(shù)方程組求解積分常數(shù)

由多層彈性體系力學(xué)計(jì)算可知，如何從上述線性代數(shù)方程組快速地求算出積分常數(shù)，是保證快速計(jì)算出應(yīng)力與位移分量數(shù)值的關(guān)鍵。在這一方面，中外學(xué)者們提出了不同的方法，一種是筆者提出的“遞推回代法”并用于NESCP程序，另一種是“傳遞矩陣法”，為BISAR程序所采用，現(xiàn)分別敘述如下。

2.5.1 用“遞推回代法”求解積分常數(shù)

由前述可知，在垂直載荷作用下N層彈性體系求解積分常數(shù)的4N元線性代數(shù)方程組可以分成若干小組，其中由表面應(yīng)力邊界條件得到的兩個(gè)方程式構(gòu)成一個(gè)小組，由每一個(gè)層間界面上的四個(gè)層間結(jié)合條件得到的四個(gè)方程式分別構(gòu)成N?1個(gè)小組。如果能利用這一特性建立相鄰結(jié)構(gòu)層積分常數(shù)的遞推關(guān)系式，則4N元線性代數(shù)方程組的求解問題就可以簡(jiǎn)化成若干個(gè)四元乃至二元線性代數(shù)方程組的求解問題，從而大大簡(jiǎn)化計(jì)算。筆者提出的“遞推回代法”正是基于這一思路，而“傳遞矩陣法”也是基于這一思路?！斑f推回代法”的具體過程，簡(jiǎn)單來說就是先以各個(gè)小組為單位，將式(8)和式(9)內(nèi)的Bi，Di表示成以Ai，Ci(i=1,2,···,N)為自變量的多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)式

其次，通過式(10)和式(11)中i=1的方程式小組以及式(11)中相鄰層間界面的方程式小組Bi和Di相等的關(guān)系，消去Bi，Di(i=1,2,...,N?1)，即可進(jìn)一步建立Ai，Ci與Ai+1，Ci+1之間的遞推關(guān)系式

利用該遞推關(guān)系式以及AN=CN=0，從i=N?1開始通過自下而上逐層遞推，求出所需的Ai和Ci，這就是遞推過程；再將已求得的Ai和Ci回代到Bi和Di的多項(xiàng)式函數(shù)表達(dá)式中，求出所需的Bi和Di，這就是回代過程。

2.5.2用“傳遞矩陣法”求解積分常數(shù)

現(xiàn)將“傳遞矩陣法”的求解過程(仍以垂直載荷作用下N層彈性體系為例)敘述如下：

由式(9)并記[Ti]4×4=[Ki]?14×4[Ki+1]4×4(式中矩陣[Ti]稱為傳遞矩陣)，則可得到

又記[T]=[T1][T2]···[TN?1]并利用AN=CN=0，即可得到第一層積分常數(shù)與第N層積分常數(shù)之間的關(guān)系式為

將式(14)代入式(8)，得

求解時(shí)，首先利用式(15)確定BN和DN，然后利用式(13)和AN=CN=0，從第N層起逐層向上計(jì)算，直至計(jì)算出所需的Ai，Bi，Ci和Di為止。

2.5.3 “遞推回代法”與“傳遞矩陣法”的比較

首先，由于“傳遞矩陣法”的求算過程仍基于矩陣代數(shù)方法，在積分計(jì)算過程中需要頻繁進(jìn)行矩陣求逆或矩陣相乘運(yùn)算，費(fèi)時(shí)頗多；而“遞推回代法”的求算過程完全成了普通的代數(shù)運(yùn)算，比“傳遞矩陣法”省去了很多中間計(jì)算過程，從而大大節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。其次，“傳遞矩陣法”不能解決層間完全光滑時(shí)積分常數(shù)的求解問題。這是由于層間完全光滑時(shí)式(9)中的系數(shù)矩陣[Ki]為奇異矩陣(有一行元素全部為零)，其對(duì)應(yīng)的逆矩陣[Ki]?1不存在。而“遞推回代法”對(duì)層間完全連續(xù)、層間完全光滑和層間半結(jié)合時(shí)積分常數(shù)的求解問題都能解決。第三，由BISAR程序的計(jì)算可知，采用“傳遞矩陣法”進(jìn)行矩陣運(yùn)算時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“病態(tài)矩陣”并導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果很不精確。而“遞推回代法”不會(huì)出現(xiàn)“病態(tài)矩陣”。

2.6 貝塞爾函數(shù)計(jì)算

由式(1)和式(2)可知，N層彈性體系應(yīng)力與位移分量積分表達(dá)式的被積函數(shù)中包含貝塞爾函數(shù)和指數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式兩個(gè)部分。通過上述積分常數(shù)的求解和計(jì)算，被積函數(shù)中指數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式部分已完全可以計(jì)算。下面再進(jìn)一步介紹被積函數(shù)中貝塞爾函數(shù)的計(jì)算。在NESCP程序和BISAR程序中一般采用計(jì)算方法中的逼近多項(xiàng)式和逼近公式計(jì)算貝塞爾函數(shù)，前者采用阿倫(Allen)逼近公式，后者采用切比雪夫(Chebyshev)逼近公式，二者的計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間基本一致，前者稍佳。由于本文篇幅有限，下面僅介紹阿倫逼近公式。在NESCP程序中計(jì)算第一類零階和一階貝塞爾函數(shù)J0(x)和J1(x)的計(jì)算公式，如式(16)和式(17)所示。

當(dāng)x≤3時(shí)，令t=(x/3)2，J0(x)和J1(x)的逼近多項(xiàng)式為

當(dāng)x>3時(shí)，令t=3/x，J0(x)和J1(x)的逼近公式為

其中A0，B0，A1，B1采用的逼近多項(xiàng)式為

2.7 積分計(jì)算公式和積分上限計(jì)算公式

由式(1)和式(2)可知，N層彈性體系的應(yīng)力與位移分量表達(dá)式都是含貝塞爾函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的復(fù)雜被積函數(shù)的無窮積分，一般只能通過數(shù)值積分并采用有限數(shù)值的積分上限進(jìn)行計(jì)算。在前人工作的基礎(chǔ)上，筆者通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和誤差分析，得到了如下述的積分計(jì)算公式(為簡(jiǎn)單明了起見，未寫出應(yīng)力與位移分量表達(dá)式積分號(hào)前的系數(shù)和無窮積分式大方括號(hào)外面的三角函數(shù))和積分上限xs的計(jì)算公式并用于NESCP程序。

(1)積分計(jì)算公式

當(dāng)z≥h1時(shí)

當(dāng)z

以上二式中，z為計(jì)算點(diǎn)的z坐標(biāo)，h1為多層彈性體系第一層的厚度，J(x)表示各力學(xué)分量積分表達(dá)式中被積函數(shù)的貝塞爾函數(shù)部分，E(x)表示被積函數(shù)的指數(shù)函數(shù)多項(xiàng)式部分，e(x)是當(dāng)彈性體為半無限彈性體時(shí)E(x)的表達(dá)式，積分和采用高斯(Gauss)求積公式，利用數(shù)值積分計(jì)算出，而積分則采用列普司切茲?漢克爾(Lipschitz-Hankel)積分公式計(jì)算出[16]。

(2)積分上限計(jì)算公式

其中δ為載荷圓半徑，z，h1的意義同式(19)。

試算表明，當(dāng)積分上限xs取式(20)計(jì)算且在0～xs積分區(qū)間內(nèi)設(shè)置足夠多的數(shù)值積分結(jié)點(diǎn)時(shí)，即可滿足計(jì)算結(jié)果至少精確到小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)。

由于保密，國外文獻(xiàn)中從不介紹積分計(jì)算公式的內(nèi)容，但根據(jù)對(duì)有關(guān)資料和對(duì)比算例的綜合分析可知，BISAR程序的積分計(jì)算公式與上述NESCP程序基本一致，主要不同之處在于NESCP程序的積分上限xs是由式(20)通過計(jì)算確定的，而BISAR程序的積分上限xs是數(shù)值積分過程中根據(jù)計(jì)算精度分析確定的，見下文2.8節(jié)數(shù)值積分中所述。

2.8 數(shù)值積分

在NESCP程序中筆者采用高斯?勒讓德求積公式對(duì)各應(yīng)力與位移分量表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值積分，在利用式(20)計(jì)算出積分上限xs后，首先將積分區(qū)間[0，xs]劃分成長度相等的m個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間上采用34結(jié)點(diǎn)高斯?勒讓德求積公式計(jì)算其積分值，然后再將m個(gè)子區(qū)間的積分值相加，得到整個(gè)積分區(qū)間上的積分值。試算表明，在通常情況下當(dāng)使用由式(20)得到的積分上限xs且m取3～5時(shí)，應(yīng)力與位移分量的計(jì)算結(jié)果與國內(nèi)外已公開發(fā)表的計(jì)算結(jié)果或者完全一致，或者十分接近并且滿足計(jì)算結(jié)果至少精確到小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)。

在BISAR程序中各應(yīng)力與位移分量表達(dá)式的數(shù)值積分過程為：

由式(1)和式(2)可知，各力學(xué)分量表達(dá)式都含有貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)是一個(gè)波動(dòng)衰減函數(shù)，在積分區(qū)間[0，xs]內(nèi)有很多零點(diǎn)。BISAR程序中的數(shù)值積分是在原點(diǎn)(x=0)到第一個(gè)貝塞爾函數(shù)乘積的零點(diǎn)(x=z1)以及在后續(xù)的一個(gè)貝塞爾函數(shù)乘積的零點(diǎn)(x=zn)到下一個(gè)貝塞爾函數(shù)乘積的零點(diǎn)(x=zn+1)(n=1,2,···)之間的區(qū)間上進(jìn)行的。在第一個(gè)區(qū)間[0，z1]上，采用8結(jié)點(diǎn)高斯?勒讓德求積公式計(jì)算區(qū)間的積分值。從第二個(gè)區(qū)間開始，采用4～15結(jié)點(diǎn)高斯?洛巴多(Lobatto)求積公式計(jì)算每一個(gè)區(qū)間的積分值。設(shè)INT為累計(jì)積分值，在積分計(jì)算過程中，如果連續(xù)兩個(gè)貝塞爾函數(shù)乘積的零點(diǎn)之間的區(qū)間上積分的絕對(duì)值小于10?5(當(dāng)|INT|<0.01)或區(qū)間上的積分值與INT之比的絕對(duì)值小于10?4(當(dāng)|INT|≥0.01)，則積分計(jì)算結(jié)束。

當(dāng)計(jì)算積分常數(shù)的矩陣運(yùn)算過程中出現(xiàn)病態(tài)矩陣，數(shù)值積分會(huì)過早地停止并顯示中止的原因。

由上述可知，NESCP程序數(shù)值積分過程簡(jiǎn)單明了，而BISAR程序則細(xì)致繁復(fù)，這大大增加了數(shù)值積分計(jì)算的時(shí)間。除此之外，在BISAR程序積分過程中，當(dāng)由于出現(xiàn)病態(tài)矩陣使得數(shù)值積分過早停止時(shí)，將導(dǎo)致數(shù)值積分的結(jié)果很不精確。

2.9 后續(xù)的力學(xué)計(jì)算

以上內(nèi)容介紹了在單圓載荷作用下N層彈性體系的應(yīng)力與位移計(jì)算，在BISAR程序和NESCP程序中，后續(xù)的力學(xué)計(jì)算還有如下幾項(xiàng)。

(1)將各單圓載荷在計(jì)算點(diǎn)處產(chǎn)生的柱坐標(biāo)中的應(yīng)力與位移分量變換成公共直角坐標(biāo)中的應(yīng)力與位移分量，再通過求和得到多圓載荷作用下在計(jì)算點(diǎn)處產(chǎn)生的公共直角坐標(biāo)中的總應(yīng)力與總位移分量并利用彈性力學(xué)公式進(jìn)一步計(jì)算出公共直角坐標(biāo)中的總應(yīng)變分量；

(2)計(jì)算主應(yīng)力及其方向余弦和主應(yīng)變；

(3)計(jì)算極值剪應(yīng)力、極值剪應(yīng)變及其相應(yīng)正應(yīng)力以及它們的方向余弦；

(4)計(jì)算彈性體內(nèi)每單位體積的總應(yīng)變能和畸變應(yīng)變能。

由于本文篇幅有限，上述后續(xù)力學(xué)計(jì)算的計(jì)算公式和計(jì)算過程請(qǐng)參看參考文獻(xiàn)[14,17-20]的有關(guān)論述，本文不再一一介紹。

2.10 計(jì)算算例

計(jì)算算例是一個(gè)如圖1所示的N等于5的五層彈性體系，表面承受單圓均布垂直載荷或單向水平載荷的作用。由于本文篇幅有限，下文僅列出該算例用NESCP程序和BISAR程序分別計(jì)算的在單圓均布垂直載荷或單向水平載荷作用下，各計(jì)算點(diǎn)處產(chǎn)生的柱坐標(biāo)應(yīng)力與位移分量。

(1)五層彈性體系的結(jié)構(gòu)參數(shù)

五層彈性體系的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

(2)載荷計(jì)算參數(shù)

載荷計(jì)算參數(shù)如表2所示。

表2 載荷計(jì)算參數(shù)

(3)數(shù)值計(jì)算結(jié)果

第一個(gè)載荷即垂直載荷單獨(dú)作用時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果如表3所示(表中從左至右依次為計(jì)算點(diǎn)所在的層數(shù)i，計(jì)算點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)，柱坐標(biāo)應(yīng)力與位移分量。每個(gè)計(jì)算點(diǎn)的計(jì)算數(shù)據(jù)的第一行為NESCP程序的計(jì)算結(jié)果，第二行為BISAR程序的計(jì)算結(jié)果)

表3 垂直載荷作用下計(jì)算點(diǎn)處產(chǎn)生的柱坐標(biāo)應(yīng)力與位移分量

第二個(gè)載荷即單向水平載荷單獨(dú)作用時(shí)數(shù)值計(jì)算結(jié)果如表4所示(表中從左至右依次為計(jì)算點(diǎn)所在的層數(shù)i，計(jì)算點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)，柱坐標(biāo)應(yīng)力與位移分量。每個(gè)計(jì)算點(diǎn)的計(jì)算數(shù)據(jù)的第一行為NESCP程序的計(jì)算結(jié)果，第二行為BISAR程序的計(jì)算結(jié)果)。

由兩個(gè)程序的對(duì)比計(jì)算結(jié)果可知，絕大多數(shù)對(duì)比數(shù)據(jù)完全一致，少數(shù)對(duì)比數(shù)據(jù)雖不完全一致，但十分接近(小數(shù)點(diǎn)后至少前4位數(shù)據(jù)能保持一致)。

3 層狀彈性體系力學(xué)在科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

如本文開頭所述，層狀彈性體系力學(xué)是多層柔性路面、機(jī)場(chǎng)道面以及多層地基設(shè)計(jì)與計(jì)算的理論基礎(chǔ)。該理論及在其基礎(chǔ)上所編制的各種實(shí)用程序在世界各國的上述工程結(jié)構(gòu)的科學(xué)研究以及設(shè)計(jì)與計(jì)算中得到了廣泛的應(yīng)用。

以BISAR程序?yàn)槔?，英荷殼牌石油公司在最初編寫B(tài)ISAR程序時(shí)，對(duì)BISAR程序的使用功能作了兩點(diǎn)定位：一是多層彈性體系通用力學(xué)計(jì)算程序，二是為殼牌路面設(shè)計(jì)方法SPDM(shell pavement design mothod)編制路面設(shè)計(jì)圖表。自1973年BISAR程序問世以來，該程序?yàn)槭澜绺鲊穆访媾c機(jī)場(chǎng)道面的科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)與計(jì)算做出了重大的貢獻(xiàn)。

同樣筆者編寫的NESCP程序從20世紀(jì)80年代開始，為我國的路面與機(jī)場(chǎng)道面的科學(xué)研究也做出了很大的貢獻(xiàn)，先后計(jì)算了幾十萬個(gè)數(shù)據(jù)。筆者在NESCP程序的基礎(chǔ)上編制了多個(gè)公路和城市道路瀝青路面設(shè)計(jì)程序，服務(wù)于我國交通建設(shè)事業(yè)和高校教學(xué)。到目前為止，這些程序已在全國幾百個(gè)設(shè)計(jì)單位和高校得到了成功應(yīng)用，取得了顯著的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益。

4 結(jié)語

(1)本文是迄今國內(nèi)第一次以論文的形式全面、系統(tǒng)地向國內(nèi)廣大讀者宣傳、介紹層狀彈性體系力學(xué)及其應(yīng)用，讓層狀彈性體系力學(xué)發(fā)揚(yáng)光大并得到新的更大的發(fā)展。層狀彈性體系力學(xué)包含了豐富的內(nèi)容而本文篇幅有限，為了比較深入和全面地了解層狀彈性體系力學(xué)，筆者建議有興趣的讀者可以進(jìn)一步閱讀參考文獻(xiàn)[14]。

(2)BISAR程序是當(dāng)今世界上最負(fù)盛名的多層彈性體系力學(xué)計(jì)算程序。本文第二節(jié)對(duì)筆者編寫的NESCP程序和BISAR程序的力學(xué)計(jì)算公式和計(jì)算方法進(jìn)行了系統(tǒng)的對(duì)比。對(duì)比結(jié)果表明，NESCP程序的功能不僅可以與BISAR程序相媲美，而且在某些方面甚至更優(yōu)越。本文用事實(shí)證明，外國人能做到的，中國人通過努力也一定能做到，而且還可能做得更好。