安 磊，王 偉*，廖德鋒

（1. 電子科技大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，四川 成都 611731；2. 中國(guó)工程物理研究院 激光聚變研究中心，四川 綿陽(yáng) 621900）

1 引 言

拋光工藝作為一種高面形精度的加工工藝，廣泛應(yīng)用于全口徑超精密平面光學(xué)元件的加工中［1-2］。與傳統(tǒng)的機(jī)械接觸或液體支承相比，氣體靜壓支撐具有摩擦小、無(wú)污染、精度高、壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，因而適合應(yīng)用于超精密全口徑拋光機(jī)轉(zhuǎn)臺(tái)。氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)利用有壓力的氣體在基座和轉(zhuǎn)臺(tái)間形成一層氣膜，從而將兩者分開(kāi)，并利用氣體靜壓原理形成承載［3-7］。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者在靜壓支撐方面做了大量研究。崔海龍等［8］基于流體力學(xué)和固體力學(xué)的基本控制方程，建立小孔節(jié)流空氣靜壓軸承雙向流固耦合數(shù)值模擬模型，獲取了設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)承載力和剛度的影響規(guī)律。李一飛等［9］基于fluent 研究了供氣小孔尺寸、氣腔尺寸、氣膜厚度以及供氣壓力等參數(shù)對(duì)靜壓軸承承載力和剛度的影響，為工程設(shè)計(jì)提供了一定的參考。趙曉龍等［10］采用FDM（有限差分法）和超松弛迭代法對(duì)變截面節(jié)流器的空氣靜壓軸承模型進(jìn)行求解，指出變截面節(jié)流器的設(shè)計(jì)方法能夠有效提高空氣靜壓軸承的靜態(tài) 特 性。Belforte 等［11］基 于FDM 分 析 了 不 同 結(jié)構(gòu)的均壓腔對(duì)支撐表面壓力分布、氣體流量和剛度的影響。Lo 等［12］和Liu 等［13］基于FDM 分析了靜壓軸承的壓力分布、承載力以及體積流量率等靜態(tài)特性。文獻(xiàn)［14-17］分析了節(jié)流器布局、尺寸、形狀以及運(yùn)行參數(shù)如供氣壓力等對(duì)靜壓軸承靜態(tài)特性的影響。Abdurrahim 等［18］基于FDM 和DTM（微分變換法）分析了不同軸承傾斜下的氣膜厚度、壓力分布和承載力，Shi 等［19］在此基礎(chǔ)上研究了不同轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子傾斜下軸承的靜態(tài)特性。熊萬(wàn)里等［20］和劉志峰等［21］分析了不同傾斜狀態(tài)下液體靜壓軸承油膜的承載特性。

可見(jiàn)，以往的研究較多地關(guān)注結(jié)構(gòu)參數(shù)和氣源參數(shù)等對(duì)氣浮支撐的氣膜厚度、壓力分布、承載力等靜態(tài)特性的影響，對(duì)于角擺和轉(zhuǎn)速的影響也較多的集中于靜壓和油膜軸承。氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)的尺寸和質(zhì)量較大，工作時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)處于懸浮狀態(tài)，在制造誤差、偏載等因素的影響下會(huì)存在傾斜角擺。角擺和轉(zhuǎn)速的存在會(huì)導(dǎo)致氣膜流場(chǎng)發(fā)生變化，從而影響氣膜壓力分布和承載力，導(dǎo)致轉(zhuǎn)臺(tái)動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)軌跡發(fā)生改變，致使超精密光學(xué)工件的形狀誤差，表面質(zhì)量等出現(xiàn)變化，從而不能達(dá)到使用要求。學(xué)者在研究氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)靜態(tài)特性時(shí)，對(duì)于角擺和轉(zhuǎn)速效應(yīng)的影響關(guān)注較少，相關(guān)研究并不多見(jiàn)。本文基于柱坐標(biāo)系下的雷諾方程和流量平衡方程，結(jié)合考慮角擺后的氣膜厚度方程采用FDM 進(jìn)行數(shù)值求解，研究單個(gè)角擺、組合角擺和轉(zhuǎn)速對(duì)氣膜厚度、氣膜壓力分布以及承載力這些靜態(tài)特性的影響。

2 全口徑拋光機(jī)氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)與流體潤(rùn)滑分析數(shù)學(xué)模型

2.1 氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)

圖1 為全口徑拋光機(jī)氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，高壓氣體經(jīng)節(jié)流小孔進(jìn)入均壓腔，進(jìn)而進(jìn)入基座和轉(zhuǎn)臺(tái)間，形成環(huán)形氣膜，利用靜壓原理形成承載。

圖1 氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structure diagram of air-floating turntable

2.2 氣膜流動(dòng)控制方程

轉(zhuǎn)臺(tái)工作時(shí)氣膜厚度為微米級(jí)別，氣體流動(dòng)為連續(xù)介質(zhì)流動(dòng)，所以遵循三個(gè)基本守恒定律：質(zhì)量守恒定律（連續(xù)性方程）、動(dòng)量守恒定律（N-S方程）和能量守恒方程（伯努利方程）。其中N-S方程可以描述流體流動(dòng)的基本規(guī)律，但是其作為復(fù)雜的偏微分方程很難求解，因此基于一些假設(shè)建立連續(xù)性方程和簡(jiǎn)化后的N-S 方程可以得到穩(wěn)態(tài)氣膜潤(rùn)滑Reynolds 方程：

其中：p為氣膜壓力，η為氣體動(dòng)力粘度，ux為轉(zhuǎn)臺(tái)在x方向的速度，uy為轉(zhuǎn)臺(tái)在y方向的速度。

在Reynolds 方程中，h為氣膜厚度，當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)存在角擺時(shí)：

其中：h0為無(wú)角擺時(shí)氣膜厚度，?為繞y軸的角擺，ψ為繞x軸的角擺。

2.3 流量平衡方程

經(jīng)過(guò)節(jié)流小孔的入口氣體流量為：

其中：A為小孔面積，ps為供氣壓力，φ為小孔流量系數(shù)，一般取0.8，ρa(bǔ)為大氣密度，pa為標(biāo)椎大氣壓，?為流量函數(shù)，k為熱容比，一般取1.4，pd為均壓腔內(nèi)氣體壓力，β為壓力比，βk為臨界壓力比。

出口流量滿足下列方程：

在穩(wěn)態(tài)情況下，入口氣體流量應(yīng)當(dāng)?shù)扔诔隹跉怏w流量，則流量平衡方程為：

2.4 數(shù)值計(jì)算

雷諾方程是二階非線性偏微分方程，其解析解很難獲得，通常采用數(shù)值求解方法對(duì)其離散化得到可求解的代數(shù)方程組。常用的離散方法有FDM，F(xiàn)EM（有限單元法），F(xiàn)VM（有限體積法）以及DTM 等，F(xiàn)DM 在求解時(shí)計(jì)算用時(shí)少，編寫(xiě)過(guò)程靈活，受到廣泛的應(yīng)用。

如圖2 所示，將氣膜流場(chǎng)區(qū)域在周向和徑向分別劃分為n份和m份，則周向節(jié)點(diǎn)數(shù)為n，徑向節(jié)點(diǎn)數(shù)為m＋1。對(duì)于邊界條件：在與大氣相連處，fi，j=1。在均壓腔內(nèi)，fi，j=(pd/pa)2。周期性邊界為fi＋n，j=fi，j。

圖2 氣膜流場(chǎng)數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格模型Fig.2 Numerical calculation grid model of air film flow field

采用五點(diǎn)中心差分將偏微分項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

將（9）式帶入（3）式，則離散后的雷諾方程如下：

其中：

設(shè)定均壓腔初始?jí)毫ΓY(jié)合流量平衡方程（8）便可求解離散后的雷諾方程（10），從而獲得氣膜厚度和壓力分布，具體流程如圖3 所示。將得到的壓力在整個(gè)氣膜面上進(jìn)行積分，進(jìn)而算出氣膜面的承載力：

圖3 氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)數(shù)值計(jì)算流程圖Fig.3 Flow chart of numerical calculation of air-floating turntable

3 算例結(jié)果及分析

如圖4 所示，將本文的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)［22］的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，其計(jì)算參數(shù)見(jiàn)表1。由圖可知，兩者的壓力分布基本相似，從而驗(yàn)證文中計(jì)算程序的正確性。

表1 文獻(xiàn)［20］計(jì)算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters of reference［20］

圖4 氣膜壓力分布Fig.4 Air film pressure distribution

表2 為本文的計(jì)算參數(shù)，使用其分析角擺和轉(zhuǎn)速對(duì)氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)氣膜厚度、壓力分布等靜態(tài)特性的影響。

表2 本文計(jì)算參數(shù)Tab.2 Calculation parameters of the present study

3.1 單一角擺的影響

圖5（a）為不同角擺?下的氣膜厚度，由圖可知，隨著角擺的增大，氣膜厚度不再均勻分布。在x軸正方向（0～2 m），氣膜厚度逐漸增大；在x軸負(fù)方向（-2～0 m），氣膜厚度逐漸減小。這是由于氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)存在角擺?時(shí)，氣膜厚度沿y軸發(fā)生了改變。將角擺繼續(xù)增大，圖5（b）為不同角擺?下的氣膜厚度最值。由圖可知，氣膜厚度最大值隨著角擺的增大逐漸增大，氣膜厚度最小值隨著角擺的增大逐漸減小。當(dāng)角擺為0 rad 時(shí)，氣膜厚度最大值和最小值相同都為1，當(dāng)角擺達(dá)到5×10－5rad 時(shí)氣膜厚度最大值為2 而最小值基本為0，這就意味著氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)將與支撐體表面接觸，從而導(dǎo)致轉(zhuǎn)臺(tái)失效。這就說(shuō)明轉(zhuǎn)臺(tái)角擺越大其失效的可能性越大，5×10－5rad 是本轉(zhuǎn)臺(tái)的最大極限角擺。

圖5 氣膜厚度Fig.5 Air film thickness

圖6 為不同角擺?下氣膜面的壓力分布圖，由圖可知，隨著角擺的增大，壓力不再對(duì)稱分布。在x軸負(fù)方向（-2～0 m），壓力隨角擺的增大而增大；在x軸正方向（0～2 m），壓力隨角擺的增大而減小，而在y軸方向上，壓力保持不變。這是由于在x軸方向上氣膜厚度發(fā)生改變，氣膜流場(chǎng)隨之變化，致使氣膜薄的區(qū)域壓力大，氣膜厚的區(qū)域壓力小，而在y軸方向上氣膜厚度未發(fā)生改變，因而產(chǎn)生這種現(xiàn)象。

圖6 氣膜壓力分布Fig.6 Air film pressure distribution

由于角擺的變化致使氣膜厚度發(fā)生改變，從而導(dǎo)致整個(gè)氣膜面的壓力分布發(fā)生改變，而承載力為壓力在氣膜面上的積分，則氣膜承載力勢(shì)必發(fā)生改變。圖7 為不同角擺?下的氣膜承載力，由圖可知，隨著氣膜厚度的增大其承載力逐漸減小，這是由于氣膜壓力減小造成的。在同樣的氣膜厚度下，承載力隨著角擺的增大而減小。在供氣壓力一定的情況下，氣膜厚度是確定的，若是存在較大的角擺，則氣膜承載力下降。而為了保持力的平衡，則氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)的位置會(huì)發(fā)生變化，從而導(dǎo)致超精密光學(xué)元件的表面形貌發(fā)生改變，影響加工精度。

圖7 承載力Fig.7 Load capacity

3.2 組合角擺的影響

氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)是軸對(duì)稱的，因而繞x軸的角擺ψ對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜態(tài)特性的影響和3.1 節(jié)是一致的。圖8為繞x軸的角擺ψ和繞y軸的角擺?同時(shí)存在時(shí)的氣膜厚度，圖中ψ取2×10－6rad，?逐漸增大。

由圖8（a）可看出，隨著角擺?的逐漸增大，在x 軸正方向（0～2 m）既存在氣膜逐漸變厚的區(qū)域，又存在氣膜逐漸變薄的區(qū)域，在其他方向也是如此，這一現(xiàn)象與存在單一角擺時(shí)有所不同。由圖8（b）可以看出，當(dāng)角擺?達(dá)到4.9×10－5rad 時(shí)，氣膜厚度最小值基本為0，說(shuō)明4.9×10－5rad 是轉(zhuǎn)臺(tái)的最大允許角擺。可知，相比于單一角擺時(shí)，組合角擺下轉(zhuǎn)臺(tái)的活動(dòng)范圍更小。

圖8 氣膜厚度Fig.8 Air film thickness

氣膜厚度的改變必然會(huì)引起壓力分布的變化從而最終導(dǎo)致氣膜承載力的改變。圖9 為不同角擺下氣膜承載力，對(duì)比單一角擺情形，可看出兩者規(guī)律基本一致。當(dāng)角擺值從0 增大到3×10－6rad時(shí)（氣膜厚度為95，100和105 μm），單一角擺下承載力下降值分別為3.423 6×103 N，3.086 2×103和2.841 7×103 N，分別下降了0.23%，0.21%，0.20%。組合角擺下承載力下降值分別為4.309 9×103，3.823 2×103和3.437 5×103 N，分別下降了0.28%，0.26%，0.25%。表明組合角擺下承載力下降更加顯著，這是由兩種情形下氣膜厚度的改變不同所引起的。說(shuō)明組合角擺下轉(zhuǎn)臺(tái)的位置改變更大，從而降低加工精度。

圖9 承載力Fig.9 Load capacity

3.3 轉(zhuǎn)速的影響

轉(zhuǎn)速實(shí)則為氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)繞z軸的角擺，它是一個(gè)被利用的自由度。由式（2）知，轉(zhuǎn)速并不直接影響氣膜厚度，然而式（1）中含有轉(zhuǎn)速項(xiàng)，說(shuō)明轉(zhuǎn)速不同會(huì)引起氣膜壓力的改變，這是由于轉(zhuǎn)速改變了氣膜內(nèi)氣體的流速，導(dǎo)致氣膜內(nèi)流場(chǎng)變化，從而引起壓力的改變。圖10 為不同轉(zhuǎn)速下氣膜面的壓力分布。由圖可知，隨著轉(zhuǎn)速的增大，高壓區(qū)域逐漸向外均勻擴(kuò)散，然而壓力值卻逐漸減小。由圖10（e）知，當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到2 300 r·min-1時(shí)氣膜中間均勻腔區(qū)域的壓力比周圍壓力小，此時(shí)流量平衡方程（8）也不再滿足，說(shuō)明氣體潤(rùn)滑已經(jīng)失效，因而氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速不能超過(guò)2 300 r·min-1。由于轉(zhuǎn)臺(tái)是軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且壓力是均勻擴(kuò)散，所以圖10（f）和圖10（g）基本相同。

圖10 氣膜壓力分布Fig.10 Air film pressure distribution

圖11 為不同轉(zhuǎn)速下的氣膜承載力，由圖可知，隨著氣膜厚度的增加，承載力在逐漸降低，這與前面的分析一致。在相同氣膜厚度時(shí)，承載力隨轉(zhuǎn)速的增大而降低，當(dāng)轉(zhuǎn)速?gòu)? 增大到2 100 r·min-1時(shí)（氣膜厚度為95，100 和105 μm），承載力下降值分別為2.038 0×105，1.750 2×105和1.496 1×105N，分 別 下 降 了13.40%，11.79%，10.28%，說(shuō)明轉(zhuǎn)速的大幅度增大會(huì)引起承載力的快速下降。這可能是由于隨著轉(zhuǎn)速的提高，靜壓效應(yīng)減弱，動(dòng)壓效應(yīng)增強(qiáng)，而此時(shí)減弱幅度大于增大幅度，因而承載力降低。

圖11 承載力Fig.11 Load capacity

在實(shí)際工作中增大轉(zhuǎn)速可以提高加工效率，然而轉(zhuǎn)速的增大會(huì)導(dǎo)致承載力的下降。參見(jiàn)表2，在供氣壓力為0.5 MPa 時(shí)氣膜厚度為100 μm。由圖11 知此時(shí)若將轉(zhuǎn)速?gòu)? 增大到2 100 r·min-1，則承載力由1.485×106N 減小到1.310×106N。工作時(shí)氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)在空間中處于懸浮狀態(tài)。轉(zhuǎn)臺(tái)的質(zhì)量一定，為了達(dá)到1.485×106N 的承載力，由圖12 知?dú)饽ず穸葧?huì)減小到47.5 μm，而此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)的最大極限角擺為2.37×10－5rad，與之前的5×10－5rad 相比，其值大大減小。因而，將轉(zhuǎn)速增大2 100 r·min-1需將角擺減小2.63×10－5rad，應(yīng)考慮減小或消除致使產(chǎn)生角擺的因素，比如降低偏載質(zhì)量等。否則，會(huì)引起轉(zhuǎn)臺(tái)和支撐體表面接觸。此外，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速也不能無(wú)限增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)2 300 r·min-1后，由于氣體潤(rùn)滑失效，氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)也會(huì)無(wú)法工作。

圖12 承載力和氣膜厚度最值Fig.12 Load capacity and maximum and minimum air film thickness

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

實(shí)驗(yàn)測(cè)量氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)角擺，采用激光位移傳感器，將傳感器吸附在大字形支架上，傳感器探頭對(duì)應(yīng)拋光圓盤平面，圓盤靜止不動(dòng)，安裝如圖13所示。氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)在底部不供氣時(shí)，此時(shí)的坐標(biāo)系設(shè)定為參考平面，即0 初始位置。測(cè)量時(shí)，供氣壓力為0.5 MPa，同時(shí)啟用三個(gè)傳感器測(cè)量，通過(guò)移動(dòng)修正盤的位置可以改變拋光圓盤的傾角，一次測(cè)量得到三個(gè)位置高度信息。并對(duì)三個(gè)傳感器建立水平位置坐標(biāo)系，結(jié)合高度信息建立三維空間坐標(biāo)系。因?yàn)閽伖鈭A盤為大理石材質(zhì)，可以將其視為剛體，所以通過(guò)三個(gè)點(diǎn)可以建立一個(gè)圓形測(cè)量平面，其平面的傾角即為轉(zhuǎn)臺(tái)的角擺。通過(guò)計(jì)算可以得到圓盤最高位置以及最低位置點(diǎn)即氣膜厚度最大值和最小值，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

圖13 氣膜厚度實(shí)驗(yàn)測(cè)量平臺(tái)Fig.13 Experimental measurement platform of air film thickness

表3 實(shí)驗(yàn)測(cè)量圓盤位置最值Tab.3 Highest and lowest value of the experimental measurement disc position

將實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，圖14 為實(shí)驗(yàn)和理論對(duì)比圖，由圖可知兩者規(guī)律基本一致，最大誤差為14.4%。考慮到轉(zhuǎn)臺(tái)和測(cè)量平臺(tái)的制造及安裝誤差，可以認(rèn)為理論數(shù)值計(jì)算和實(shí)際實(shí)驗(yàn)是吻合的。

圖14 氣膜厚度最值的實(shí)驗(yàn)和理論對(duì)比Fig.14 Experimental and theoretical comparison of the maximum and minimum air film thickness

5 結(jié) 論

本文根據(jù)超精密全口徑拋光機(jī)氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)在實(shí)際工作時(shí)會(huì)存在傾斜角擺和一定轉(zhuǎn)速的特點(diǎn)，將考慮角擺后的氣膜厚度方程帶入雷諾方程，得到含角擺和轉(zhuǎn)速的雷諾方程。然后采用有限差分法將雷諾方程離散化處理，并結(jié)合流量平衡方程進(jìn)行求解，通過(guò)和現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果的對(duì)比驗(yàn)證程序的正確性。最后得到了單一角擺、組合角擺和不同轉(zhuǎn)速下氣膜厚度、壓力分布以及承載力這些靜態(tài)特性并通過(guò)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。結(jié)果表明：隨著角擺的增大，氣膜厚度會(huì)發(fā)生改變，5×10－5rad是單一角擺下轉(zhuǎn)臺(tái)的最大極限角擺。氣膜厚度的改變影響壓力分布，最終導(dǎo)致承載力的下降；組合角擺下轉(zhuǎn)臺(tái)的最大極限角擺為4.9×10－5rad，組合角擺對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜態(tài)特性的影響更為顯著，但其影響規(guī)律和單一角擺時(shí)基本一致；隨著轉(zhuǎn)速的增大，氣膜壓力分布發(fā)生改變，承載力逐漸下降，當(dāng)轉(zhuǎn)速超過(guò)2 300 r·min-1后，氣體潤(rùn)滑失效，這就是轉(zhuǎn)臺(tái)的失效轉(zhuǎn)速。角擺和轉(zhuǎn)速的改變致使氣膜承載力發(fā)生變化，為了保持力的平衡，轉(zhuǎn)臺(tái)的位置也會(huì)隨之改變，從而影響超精密光學(xué)元件的加工精度。在實(shí)際工作中若將轉(zhuǎn)速增大2 100 r·min-1則應(yīng)將最大極限角擺減小2.63×10－5rad，同時(shí)也要設(shè)法消除角擺以提高氣膜厚度的均勻性，從而降低承載力的波動(dòng)以提高加工精度。該研究為后續(xù)雙向流固耦合研究氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)的動(dòng)態(tài)回轉(zhuǎn)誤差提供了理論基礎(chǔ)。