王靜 崔云安

摘 要：給出在φ（u）/u→A（u→∞）情況下由一般的Orlicz函數(shù)生成的Orlicz序列空間光滑點(diǎn)的判別準(zhǔn)則以及光滑點(diǎn)與很光滑點(diǎn)、強(qiáng)光滑點(diǎn)的等價(jià)條件，并在此基礎(chǔ)上推出了該空間具有光滑性的充分必要條件，至此Orlicz序列空間光滑點(diǎn)判據(jù)得以解決。

關(guān)鍵詞：Orlicz序列空間;光滑點(diǎn);強(qiáng)（很）光滑點(diǎn)

DOI：10.15938/j.jhust.2021.03.022

中圖分類號(hào)： O177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2021）03-0147-06

A Note on Smooth Points in Orlicz Sequence Spaces

WANG Jing， CUI Yun-an

（School of Science，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

Abstract：In this paper， when φ（u）/u→A（u→∞） the criterion of smooth points in Orlicz sequence space generated by general Orlicz functions and the equivalence conditions of smooth points with very smooth points and strong smooth points are given. On this basis， the sufficient and necessary conditions for smooth points in Orlicz sequence space are derived， so that the criterion of smooth points in Orlicz space can be solved.

Keywords：Orlicz space;smooth points; strong （very） smooth points

0 引 言

眾所周知，由N函數(shù)生成的Orlicz序列空間光滑點(diǎn)很早就被討論了，而且獲得了充分必要條件，但對(duì)φ（u）做了比較苛刻的限制，即φ（u）/u→A（u→∞）。本文將討論在φ（u）/u→A（u→∞）情況下由一般的Orlicz函數(shù)生成的Orlicz序列空間光滑點(diǎn)的判據(jù)。

首先給出了在limu→∞φ（u）u=A<∞情況下光滑點(diǎn)判別準(zhǔn)則以及光滑點(diǎn)與強(qiáng)光滑點(diǎn)和很光滑點(diǎn)的等價(jià)條件，并在此基礎(chǔ)上推出該空間光滑的充要條件，至此Orlicz序列空間光滑點(diǎn)判據(jù)得以解決。

1 預(yù)備知識(shí)

稱映射φ：R→（0，+∞）為Orlicz函數(shù)是指

Ⅰ φ是偶的連續(xù)的凸函數(shù)且φ（0）=0;

Ⅱ 當(dāng)u≠0時(shí)φ（u）>0。

稱函數(shù)Ψ（v）=sup{|u|v-φ（v）：v≥0}為φ（u）的余函數(shù)，函數(shù)Ψ（v）也是一個(gè)Orlicz函數(shù)。

用l0表示所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成集合，對(duì)任意x={x（i）}∞i=1∈l0，，稱

Iφ（x）=∑∞i=1φ（x（i））

是x關(guān)于Orlicz函數(shù)φ的模。線性集

lφ=x={x（i）}∞i=1：a>0，使Iφxa<+∞

分別賦Luxemburg范數(shù)

‖x‖=infk>0：Iφ（xk）≤1

和賦Orlicz范數(shù)

‖x‖oφ=sup{∑∞i=1|x（i）y（i）|，Iφ（y）≤1}

構(gòu)成Orlicz序列空間，記為lφ=（lφ，‖·‖），l0φ=（lφ，‖·‖°）。

其子空間

hφ=x=（x（i））∞i=1：c>0，Iφ（xc）<∞

關(guān)于上面的兩種范數(shù)也構(gòu)成Orlicz序列空間，記為hφ=（hφ，‖·‖），l°φ=（hφ，‖·‖°）。

已證得‖x‖°=inf1k（1+Iφ（kx）），當(dāng)且僅當(dāng)k∈k（x）=[k*，k**]時(shí)范數(shù)可達(dá)，其中

k*=inf{k>0，IΨ（p（k|x|））≥1}

k**=sup{k>0，IΨ（p（k|x|））≤1}

有關(guān)Orlicz序列空間的更多知識(shí)參見文[1-4]。

當(dāng)limu→∞φ（u）/u=A<∞時(shí)，p（u）→A，當(dāng)u→∞此時(shí)可能有k（x）=即k*x=+∞。若k（x）=，則有

‖x‖°=inf1k（1+Iφ（kx））=limk→∞1k（1+Iφ（kx））

定義1[3] 設(shè)X是Banach空間，x∈X，若f∈X*滿足‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖，則稱f為x的支撐泛函，若x的支撐泛函唯一，稱x是光滑點(diǎn)。即

Grad（x）={f∈X*：‖f‖=1，〈f，x〉=‖x‖=1}

含有唯一元。

定義2[3] 強(qiáng)（很）光滑點(diǎn)是指是x光滑點(diǎn)且

fnS（X*），fn（x）→1蘊(yùn)含

‖fn-f‖→0（fn-fw0）

其中f為x的唯一支撐泛函。

定義3[3] 稱Orlicz函數(shù)φ滿足δ2條件（記為φ∈δ2）是指存在常數(shù)K>0及u0>0使得對(duì)任意的u∈R，|u|≤u0有

φ（2u）≤Kφ（u）

2 主要結(jié)果及證明

本文所用引理如下：

引理1[1] lφ=hφ（lφ°=hφ°）ψ∈δ2

引理2[1] （hφ）=lΨ°;（hφ°）=lΨ;F為奇異泛函且

（lφ）=lΨ°+F;（lφ°）=lΨ+F

引理3[1] 設(shè)φ∈δ2，u∈lφ有

i.‖u‖=1Iφ（u）=1;

ii.對(duì)于ε>0，δ>0，使得

‖u‖≥εIφ（u）≥δ。

引理4[5]

‖φ‖=sup{φ（x）：Iφ（x）<∞}=

sup{φ（x）：Iφ（x）<ε}

引理5[6] 對(duì)任意f∈（lφ）可唯一分解為f=v+其中v∈lΨ°，φ∈F，且

‖f‖°=‖v‖°+‖‖°

對(duì)任意f∈（lφ°）可唯一分解為f=v+其中v∈lΨ，∈F。

引理6[6] 記

ξφ（u）=infλ>0：Iφxλ<∞

則x∈lφ有

ξφ（u）=limn→∞‖x-[x]n‖=limn→∞‖x-[x]n‖°=

inf{‖x-y‖：y∈hφ}=inf{‖x-y‖°：y∈hφ°}

其中[x]n=（x（1），x（2），…，x（n），0，…）。

引理7[7] 若φ與Ψ是互余的N函數(shù)，則lφ°是光滑的充要條件φ∈δ2且q（v）在0，Ψ-112上嚴(yán)格單調(diào)遞增。

引理8 若limu→∞φ（u）u=A<∞，令N（x）={i∈N：x（i）≠0}，且cardN（x）表示集合N（x）所含元素個(gè)數(shù)。若k（x）=則

cardN（x）≤1ψ（A）且‖x‖=A∑∞i=1|x（i）|。

證明：當(dāng)limu→∞φ（u）u=A<∞時(shí)，p（u）→A

當(dāng)u→∞由于k（x）=即k*x=+∞，則有

k>0，Iψ（p（kx））<1

從而當(dāng)k→+∞，有

∑i∈N（x）ψ（A）≤1

ψ（A）cardN（x）≤1

cardN（x）≤1ψ（A）

此時(shí)

‖x‖°=limk→∞1k（1+Iφ（kx））=limk→∞1kIφ（kx）=

limk→∞Iφ（kx）+Iψ（p（kx））k=

limk→∞Iφ（kx）+Iψ（A）k=

limk→∞k|x（i）|Ak=

A∑∞i=1|x（i）|

綜上所述

cardN（x）≤1Ψ（A）且‖x‖°=A∑∞i=1|x（i）|。

更多關(guān)于Orlicz空間的幾何性質(zhì)的研究結(jié)果請(qǐng)參見文[8-20]。

本文主要結(jié)果如下：

定理1 若limu→∞φ（u）u=A<∞，x∈lφ°且k（x）=。則v=Asignx為x的支撐泛函且若f在x點(diǎn)范數(shù)可達(dá)，則f=y，y（i）=A，i∈N（X）。

證明：因?yàn)?/p>

〈v，x〉=∑∞i=1Asignx（i）x（i）=

∑∞i=1A|x（i）|=A∑∞i=1|x（i）|=

‖x‖°

且Iψ（v）≤1從而‖v‖≤1，又

ψ（v）=sup{u|v|-φ（u）：u>0}=

sup|v|-φ（u）u：u>0

為此

Ψ（v）=0，|v|≤A

+∞，|v|>A

任取λ<1

IΨvλ=ΨvλcardN（x）=+∞

從而‖v‖≥1，為此‖v‖=1，所以v=Asignx為x的支撐泛函。

由于v，x保持同號(hào)，無礙于一般性，常設(shè)x（i）≥0，i=1，2，…

對(duì)于任意f=y+∈Grad（x），由于

1=f（x）=∑i∈N（x）y（i）x（i）+（x）=

∑i∈N（x）y（i）x（i）=∑i∈N（x）Ax（i）

從而

∑i∈N（x）（A-y（i））x（i）=0

記y0=maxi∈N（x）y（i），若y0>A，則ψ（v）=+∞，此時(shí)‖f‖>1與f∈Grad（x）矛盾，從而y0≤A，又

∑i∈N（x）（A-y（i））x（i）=0

所以當(dāng)i∈N（x）有y（i）=A。

由于

limn→∞‖x-（x（1），x（2），…，x（n），0，…）‖°

≤limn→∞A∑i>nx（i）=0

從而x∈hφ°，所以=0，即f=y。

定理2 若limu→∞φ（u）u=A<∞，f∈（lφ°），f=v+則

‖f‖=infλ>0：IΨyλ+‖‖λ≤1

證明;無礙于一般性，設(shè)‖f‖=1，任取IΨyλ+‖‖λ≤1的λ>0及‖x‖=1。

若‖x‖°=1k（1+Iφ（x）），k∈k（x），則有

f（x）=〈x，y〉+（x）=

λ1k〈kx，yλ〉+（kx）kλ≤

λkIφ（kx）+IΨyλ+‖‖λ≤

λk（Iφ（kx）+1）=λ

若‖x‖°=A∑∞i=1|x（i）|，k（x）=，由于

limn→∞‖x-（x（1），x（2），…，x（n），0，…）‖°

≤limn→∞A∑i>nx（i）=0

從而x∈hφ°，于是對(duì)滿足IΨyλ+‖‖λ的λ>0有

f（x）=λ〈x，yλ〉=λ∑ix（i）y（i）λ≤

λ∑iAx（i）=λ

由x的任意性有‖f‖≤λ。

由λ的任意性得

‖f‖≤infλ>0：IΨyλ+‖‖λ≤1。

如果等號(hào)不真，則

infλ>0：IΨyλ+‖‖λ≤1>‖f‖=1

故

IΨ（y）+‖‖>1+δ>1

由引理4有，取z∈l°，IΨ（z）≤δ2滿足

Iφ（y）+（z）>1+δ

又可取i0和

v∈lψ：|v（i）|<|y（i）|≤A（1≤i≤i0）

v（i）=0（i>i0）

使

IΨ（y）+（z）>1+δ>1

由Young不等式

〈v，x〉=∑i0i=1（|v（i）|·q（|v（i）|））-φ（q（|v（i）|））+φ（z）>1+δ

設(shè)

x（i）=q（|v（i）|）（i≤n）

z（i）（i>n）

則

1=‖f‖=‖y+‖≥‖u+‖≥

（u+）x‖x‖°=

1‖x‖°[〈x，u〉+（x）]=

1‖x‖°∑i0i=1|v（i）|q（|v（i）|）+（z）≥

1‖x‖°1+δ+∑i0i=1φ（q（|v（i）|））=

1‖x‖°1+δ+Iφ（x）-∑i>i0φ（z（i））=

1‖x‖°1+Iφ（x）+δ-δ2≥

1‖x‖°‖x‖°+δ2=1+δ2‖x‖°=1+δ2

矛盾。

定理3 設(shè)f∈lφ，f=v+，v∈lΨ°，∈F若k（v）=且≠0，則f在lφ的單位球面不可達(dá)。

證明：若不真，則x={x（i）}∞i=1∈lφ有

‖f‖°=f（x）=〈v，x〉+（x）≤

‖v‖°+‖‖=‖f‖°

從而有

〈v，x〉=‖v‖°，（x）=‖‖

由于k（v）=可推出N（v）為有限集，設(shè)v={v（1），v（2），…，v（m），0，0，…}，

取

xm={x（1），x（2），…，x（m），0，0，…}

則

‖v‖°=〈v，x〉=〈v，xm〉≤‖v‖°‖xm‖

從而有

‖xm‖≥1，Iφ（xm）≥1

又Iφ（xm）≤Iφ（x）≤1，則有

Iφ（xm）=Iφ（x）=1，∑∞i=m（x（i））=0

則

x∈hφ與≠0矛盾。

定理4 若limu→∞φ（u）u=A<∞，x∈lφ°且k（x）=。則x∈S（lφ°）是光滑點(diǎn)的充分必要條件是∑i∈N（x）ψ（A）=1。

證明：必要性，若不真，則有

∑i∈N（x）ψ（A）<1

令i0N（x），取y=signx（i），由定理1知y∈Gradx。取c>0，使

∑i∈N（x）ψ（A）+ψ（c）≤1

令

y-：y（i）=A（i∈N（x））

y（i）=c（i=i0）

y（i）=0（其余）

由于

Iψ（y-）≤1及〈x，y-〉=〈x，y〉=1，

知y-∈Gradx矛盾，從而∑i∈N（x）ψ（A）=1。

充分性，由定理1知y：y（i）=A（i∈N（x））。

由于

∑i∈N（x）ψ（A）=1，

則

∑i∈N（x）ψ（y（i））=0，=0

即

f：y=signx（i），=0

唯一確定，從而x∈S（lφ°）是光滑點(diǎn)。

推論1 若limu→∞φ（u）u=A<∞，則lφ°光滑當(dāng)且僅當(dāng)

i）Ψ（A）≥1;

ii）φ∈δ2;

iii）q（v）在0，Ψ-112上嚴(yán)格調(diào)調(diào)遞增。

證明：必要性，假設(shè)Ψ（A）<1，取lφ°且cardN（x）=1，由定理4可知x不是光滑點(diǎn)，與lφ°光滑矛盾，從而Ψ（A）≥1。

則x∈lφ°都有

∑i∈N（X）Ψ（A）≥1

由引理7及8可推出ii），iii）成立。

充分性，x∈lφ°若k（x）=，由引理8可知

cardN（X）≤1Ψ（A）≤1

即cardN（x）=1，

當(dāng)Ψ（A）=1由定理4可知x是光滑點(diǎn)。

當(dāng)Ψ（A）>1由引理8可知k（x）≠

再由引理7可知x是光滑點(diǎn)，從而有l(wèi)φ°光滑。

定理5 若limu→∞φ（u）u=A<∞，x∈lφ°且k（x）=。則對(duì)于x∈S（lφ°），以下說法等價(jià)

i）x是強(qiáng)光滑點(diǎn);

ii）x是很光滑點(diǎn);

iii）x是光滑點(diǎn)且ψ∈δ2。

證明：i）ii）x是光滑點(diǎn)均為顯然。假設(shè)ψ∈δ2，由于x是光滑點(diǎn)，由定理3，x的唯一支撐泛函為y∈S（lψ）。

若ξψ（y）≠0，取z=0，若ξψ（y）=0，取z∈S（lψ），ξψ（z）≠0，于是總有ξψ（y-z）≠0，令

y=（y（1），y（2），…y（n），z（n+1），z（n+2），…），（n=1，2…）

則

Iψ（yn）≤Iψ（y）+∑i>nψ（z（i））→Iψ（y）≤1

故

lim supn→∞‖yn‖≤1

又

〈x，yn〉=∑ni=1x（i）y（i）+∑i>nx（i）z（i）→

∑∞i=1x（i）y（i）=‖x‖°=1

故

lim supn→∞‖yn‖≥1

即

lim supn→∞‖yn‖=1且〈x，yn〉→1

取lψ上奇異泛函

，（y-z）=ξψ（y-z）

這樣一來

limn→∞（y-yn）=

limn→∞（y-z）=

ξψ（y-z）≠0

與x是很光滑點(diǎn)矛盾。

iii）i）

‖x‖°=A∑∞i=1x（i），∑i∈N（x）ψ（A）=1

此時(shí)N（x）為有限集。

則由定理4有，x的唯一支撐泛函為

f=y=signx（i），

設(shè)‖fn‖=1，fn=yn+n，fn（x）→1

由

1=A∑ix（i）←fn（x）=∑ix（i）yn（i）+n（x）=

∑i∈N（x）x（i）yn（i）

及yn（i）≤A可知

yn（i）→A（i∈N（x））

再由定理2有

1=limn→∞fn（x）≥limn→∞（Iψ（yn）+‖n‖）≥

limn→∞∑i∈N（x）ψ（yn（i））+‖n‖=

∑i∈N（x）ψ（A）+limn→∞‖n‖=1+limn→∞‖n‖

得到‖n‖→0和∑i∈N（x）ψ（yn（i））→0

由x是光滑點(diǎn)知

yn（i）→0=y（i），（iN（x））

即yn（i）→y（i）對(duì)一切i成立。

令i0=cardN（x），ε>0，0<δ<ε3

有

∑∞i=i0+1y（i）<ε3，∑i0i=1（y（i）-yn（i））<ε3

又由ψ∈δ2，y∈S（lψ）可知

Iψ（y）=1

且

∑i0i=1ψ（y（i））=1-∑∞i=i0+1ψ（y（i））>1-δ

由于yn（i）c→y（i）對(duì)一切i成立，則n0∈N，使得當(dāng)n>n0有

∑i0i=1ψ（yn（i））≥1-δ

1=Iψ（yn）=∑i0i=1ψ（yn（i））+∑∞i=i0+1ψ（yn（i））≥

1-δ+∑∞i=i0+1ψ（yn（i））

因此

∑∞i=i0+1ψ（yn（i））<δ

又ψ∈δ2從而有

∑∞i=i0+1yn（i）<ε3

則

‖yn-y‖=∑i0i=1（y（i）-yn（i））+∑∞i=i0+1yn（i）<ε

于是有

‖fn-y‖≤‖yn-y‖+‖n‖→0

推論2 若limu→∞φ（u）u=A<∞，則以下說法等價(jià)

i）lφ°強(qiáng)光滑;

ii）lφ°很光滑;

iii）lφ°光滑且Ψ∈δ2。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1] 吳從炘， 王廷輔， 陳述濤， 等.Orlicz空間幾何理論[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1986.

[2] 陳述濤. Orlicz空間的光滑點(diǎn)[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 1989（1）：1.

CHEN Shutao. Smooth Points in Orlicz Spaces[J]. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 1989 （1）： 1.

[3] 李小彥， 崔云安. 特殊Orlicz函數(shù)空間的光滑點(diǎn)[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2010， 26（4）.

LI Xiaoyan， CUI Yunan. Smooth Points of Special Orlicz Function Spaces[J]. Journal of Harbin Commercial University， 2010， 26 （4）.

[4] 崔云安. Banach空間幾何理論及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社， 2011.

[5] 陶良德. Orlicz序列空間的光滑性[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 1988（1）：13.

TAO Liangde. Smoothness of Orlicz Sequence Spaces[J]. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 1988 （1）： 13.

[6] 王保祥， 張?jiān)品? Orlicz序列空間的光滑點(diǎn)[J]. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 1991（3）：18.

WANG Baoxiang， ZHANG Yunfeng. Smooth Points of Orlicz Sequence Spaces[J]. Journal of Natural Science， Harbin Normal University， 1991 （3）： 18.

[7] SHI Z， WANG T. On the Smoothness of Orlicz Sequence Spaces Equipped with Orlicz Norm[J]. Collectanea Mathematica，1996.

[8] 左明霞， 劉紅嬌. 賦Orlicz范數(shù)的Musielak Orlicz序列空間的 k β點(diǎn)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2019（1）：118.

ZUO Mingxia， LIU Hongjiao. K β Points of Musielak Orlicz Sequence Spaces with Orlicz Norm[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2019 （1）： 118.

[9] 賈靜， 王俊明. 賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz空間的強(qiáng)端點(diǎn)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 23（5）：128.

JIA Jing， WANG Junming. Strong Endpoint of Musielak Orlicz Spaces with P-amemiya Norm[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2018， 23（5）： 128.

[10]左明霞， 彭麗娜. Orlicz 序列空間的（ k） 性質(zhì)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2017（6）：122.

ZUO Mingxia， PENG Lina. The （k） Property of Orlicz Sequence Spaces[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2017 （6）： 122.

[11]崔云安， 郭晶晶. 與不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)相關(guān)的新常數(shù)[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2016， 21（2）：122.

CUI Yunan， GUO Jingjing. New Constants Related to Fixed Point Properties[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2016， 21（2）： 122.

[12]李小彥， 崔云安. 賦p-Amemiya范數(shù)Orlicz空間的對(duì)偶空間[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2011（1）：113.

LI Xiaoyan， CUI Yunan.Dual Spaces of Orlicz Spaces with P-amemiya Norm[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2011 （1）： 113.

[13]劉艷麗， 崔云安， 李小彥. Orlicz空間有關(guān)Δ_2—條件的注記[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2010（1）：95.

LIU Yanli， CUI Yunan， LI Xiaoyan. Orlicz Space Related Δ_2 Condition[J]. Journal of Harbin University of Technology， 2010 （1）： 95.

[14]左占飛， 崔云安. 一類自反Orlicz空間中常數(shù)的計(jì)算[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2009，14（4）.

ZUO Zhanfei， CUI Yunan. Calculation of Constants in a Reflexive Orlicz Space[J]. Journal of Harbin University of Science and Technology， 2009， 14 （4）.

[15]王稀. Orlicz空間的廣義Garcia-Falset系數(shù)[D]. 哈爾濱理工大學(xué)， 2012.

[16]石忠銳， 翟佳羽. 賦Luxemburg范數(shù)的廣義Orlicz函數(shù)空間中的λ點(diǎn)和λ性質(zhì)（英文）[J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2012（1）：69.

SHI Zhongrui， ZHAI Jiayu. λ Point and λ Property in Generalized Orlicz Spaces with Luxemburg Norm[J]. Journal of East China Normal University （Natural Science）， 2012（1）：69.

[17]MUSIELAK J. Orlicz Spaces and Modular Spaces[J]. 1983， 1034（4）：1.

[18]W Kurc. Strictly and Uniformly Monotone Musielak-Orlicz Spaces and Applications to Best Approximation[J]. Journal of Approximation Theory， 1992， 69（2）：173.

[19]BINOD Chandra Tripathy， BIPUL Sarma. Some Double Sequence Spaces of Fuzzy Numbers Defined by Orlicz Functions[J]. Acta Mathematica Scientia（English Series）（1）：137.

[20]ROMESH Kumar. Composition Operators on Orlicz Spaces[J]. Integral Equations & Operator Theory，1997，29（1）：17.

（編輯：溫澤宇）