融合云模型和反向?qū)W習(xí)的克隆選擇算法

王麗麗，申 燚，徐玉松，袁明新

1.江蘇科技大學(xué) 冶金與材料工程學(xué)院，江蘇 張家港215600

2.江蘇科技大學(xué) 機(jī)電與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 張家港215600

在日常工程中存在著大量組合優(yōu)化問(wèn)題，其中很多包含約束條件，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)優(yōu)化方法很難求解，因此近年來(lái)出現(xiàn)了大量的主流智能優(yōu)化算法，如遺傳算法[1]、粒子群算法[2]和蟻群算法[3]等等，但這些算法都主要基于適應(yīng)度建立目標(biāo)函數(shù)，在進(jìn)化后期容易因?yàn)閭€(gè)體相似度高而陷入局部極小。人工免疫算法由于將適應(yīng)度和抗體濃度作為目標(biāo)函數(shù)，使得其有效兼顧了全局搜索和局部搜索，算法的優(yōu)化能力明顯得到提高，而作為人工免疫算法之一的克隆選擇算法，可以根據(jù)不同抗體濃度，通過(guò)無(wú)性繁殖方式進(jìn)行不同規(guī)模的克隆操作，從而能有效保持抗體種群多樣性和擴(kuò)大全局搜索范圍，使得其在各類(lèi)主流智能優(yōu)化算法中優(yōu)勢(shì)明顯，且在組合優(yōu)化[4-5]、數(shù)據(jù)分類(lèi)[1]和故障診斷[6]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而面向高維對(duì)象優(yōu)化時(shí)，傳統(tǒng)克隆選擇算法往往存在種群多樣性低、優(yōu)化速度慢和易陷入局部最優(yōu)等不足。為此，Lin等[7]將動(dòng)態(tài)種群規(guī)?？刂撇呗砸朊庖呖寺∷惴ㄖ校鉀Q了低種群多樣性問(wèn)題，但搜索效率未得到明顯提高；Ulutas[8]采用新型編碼結(jié)構(gòu)，將細(xì)胞數(shù)定義為自適應(yīng)變化的非常數(shù)，并獲得最佳細(xì)胞數(shù)，在提高搜索精度同時(shí)也增加了算法復(fù)雜度；Shang等[9]使用構(gòu)造性啟發(fā)式算法來(lái)初始化抗體群體，在提高種群多樣性同時(shí)也增加了算法復(fù)雜度；Li等[10]通過(guò)差分進(jìn)化進(jìn)行克隆選擇來(lái)提高種群多樣性，但只在子問(wèn)題范圍內(nèi)進(jìn)行搜索，很難達(dá)到全局最優(yōu)；邱亞龍等[11]在免疫克隆選擇算法中引入網(wǎng)割預(yù)處理、記憶機(jī)制等，并使用震蕩變異法來(lái)提高算法局部搜索精度和二次免疫收斂速度，但算法穩(wěn)定性有所降低。從已有研究可以看出，如何改善克隆選擇算法的種群多樣性，提高算法優(yōu)化能力和搜索效率是關(guān)注重點(diǎn)，但在性能改善同時(shí)往往存在此長(zhǎng)彼消的不足，為此文中引入云模型和反向?qū)W習(xí)來(lái)提升克隆選擇算法的優(yōu)化性能，而高維函數(shù)測(cè)試結(jié)果也驗(yàn)證了算法的有效性。

1 云模型和反向?qū)W習(xí)策略的基本定義

1.1 云模型概念

克隆選擇算法通常包括克隆、變異和選擇操作，其中變異可以改變抗體基因來(lái)豐富種群抗體，在局部搜索時(shí)，可以加速算法向最優(yōu)解收斂，提高算法局部搜索能力和收斂速度，因此越來(lái)越多地被學(xué)者重視。目前主流變異操作有：?jiǎn)吸c(diǎn)變異、周期變異和高斯變異等。單點(diǎn)變異雖操作簡(jiǎn)單但方式單一，對(duì)改善抗體質(zhì)量，提高算法搜索能力有限；周期變異是基于進(jìn)化代數(shù)進(jìn)行變異概率的周期性變化，雖提高了進(jìn)化效率，但對(duì)提升算法進(jìn)化后期的搜索性能有限；高斯變異是將服從正態(tài)分布的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)加到種群抗體上，其進(jìn)化初期的局部搜索能力非常強(qiáng)，但進(jìn)化后期的優(yōu)勢(shì)也并不明顯，這都主要是受限于進(jìn)化后期種群抗體濃度變大的因素。為了提高克隆選擇算法的變異效果，文中引入了由李德毅院士提出的云模型[12]，如圖1所示。

圖1 云模型原理Fig.1 Cloud model principle

在該模型中，云為種群，包括了一定的云滴數(shù)據(jù)，根據(jù)隸屬度法則在某論域內(nèi)將模糊集合轉(zhuǎn)換成有序確定集合。由不同隸屬度法則，可以將云模型分為正向云、逆向云等不同類(lèi)型的云模型，而隸屬度值是由云模型的三種數(shù)字特征計(jì)算所得，即期望、熵、超熵，且分別用Ex、En、He來(lái)表示。其中，Ex是在論域中表示定性概念的點(diǎn)值，確定了該云滴群的云重心；En給出了定性概念的隨機(jī)性和模糊度的關(guān)聯(lián)；He的大小則顯示出云的離散程度和厚度。圖2體現(xiàn)了三個(gè)數(shù)字特征對(duì)正態(tài)云的影響，其中Ex=0，En=5，He=0.5。

圖2 云的數(shù)字特征Fig.2 Digital characteristics of cloud

由圖可以看出，當(dāng)云滴數(shù)大于Ex時(shí)，確定度隨云滴的增大而減小，云滴主要集中在[Ex-3En,Ex+3En]，使得云模型具有隨機(jī)性和穩(wěn)定傾向性。

1.2 云模型主要概念定義

定義1（云和云滴）設(shè)H是由精確數(shù)值組成的定量論域，W是H上的模糊概念，若確定值w∈H，且w是模糊概念W的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，w對(duì)W的確定度h(w)∈[0,1]是有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)。h:W→[0,1]，w∈H，?w→h(w)，則w在論域H上的分布稱(chēng)為云，定量值w稱(chēng)為云滴。

定義2（正向云發(fā)生器（CG））由定性概念到定量表示的過(guò)程稱(chēng)為正向云發(fā)生器。在定義1前提下，正向云發(fā)生器滿(mǎn)足的正態(tài)分布，w對(duì)H的確定度滿(mǎn)足h(w)=exp[(-(w-Ex)2)/。圖3為一維正向云發(fā)生器。

圖3 一維正向云發(fā)生器Fig.3 One dimensional forward cloud generator

由圖可以看出，基于云模型的三個(gè)數(shù)字特征，利用云發(fā)生器可以輸出i個(gè)云滴w以及云滴確定度h。將確定度h作為云變異因子，并對(duì)種群優(yōu)秀抗體進(jìn)行概率變異，即對(duì)親和度小抗體進(jìn)行小概率變異來(lái)保護(hù)優(yōu)良抗體；反之對(duì)親和度大抗體開(kāi)展大概率變異，從而有助于產(chǎn)生親和度小的抗體。前者通過(guò)進(jìn)化早期的優(yōu)良個(gè)體保護(hù)提高了搜索速度，后者通過(guò)后期的大概率變異提高了局部搜索能力。

1.3 反向?qū)W習(xí)策略及反向解的定義

反向?qū)W習(xí)策略[13]的主要思想：對(duì)于一個(gè)已知可行解，計(jì)算其反向解，并對(duì)二者進(jìn)行評(píng)估后選出最優(yōu)解。

定義3（反向解）設(shè)在區(qū)間[β,γ]上存在一實(shí)數(shù)d，則其反向數(shù)可以定義為同理，假設(shè)在域V上存在某個(gè)e維解，J=(d1,d2,…,de)，且di∈[βi,γi]，有稱(chēng)為J的反向解。di，g為[0，1]上的隨機(jī)數(shù)。

文中在選擇環(huán)節(jié)引入反向?qū)W習(xí)策略，提高了種群多樣性，有助于算法全局優(yōu)化能力的增強(qiáng)。

2 融合云模型和反向?qū)W習(xí)的克隆選擇算法

2.1 免疫克隆選擇算法原理

免疫克隆選擇是指免疫系統(tǒng)根據(jù)入侵機(jī)體抗原產(chǎn)生能對(duì)其識(shí)別和消滅的抗體，并借助無(wú)性繁殖克隆來(lái)激活分化和增殖抗體實(shí)現(xiàn)免疫應(yīng)答，進(jìn)而最終清除抗原?？寺∵x擇優(yōu)化算法即基于此而設(shè)計(jì)。

不失一般性，考慮以x={x1,x2,…,xm}為變量的函數(shù)優(yōu)化：min{f(e-1(a)):a∈I}，其中，a={a1,a2,…,am}，a∈Bl，Bl={0,1}l代表所有長(zhǎng)度為l的二進(jìn)制串。a={a1,a2,…,am}稱(chēng)為x的抗體編碼，記a=e(x)，x則稱(chēng)為抗體a的解碼，記x=e-1(a)；集I稱(chēng)為抗體空間，f(?)稱(chēng)為I上的正實(shí)值函數(shù)，文中稱(chēng)為抗原抗體親和度函數(shù)。

2.2 抗體種群空間

式中，正整數(shù)m為抗體種群規(guī)模，抗體群A=(a1,a2,…,am)為抗體的m元組，是抗體種群空Im的一個(gè)點(diǎn)。假設(shè)抗體變量數(shù)為s，則二進(jìn)制抗體ai包括s段，且ai=bi1bi2…bic…bis。

bij解碼方式如下所示：

式中，xicmax，xicmin分別為變量xic的上下限，lic為二進(jìn)制bic的位長(zhǎng)，i∈[1,m],c∈[1,s]。

2.3 第k代種群克隆操作TC c

2.4 第k代種群變異操作Tm c

基于基本云模型得到自適應(yīng)改變的變異因子，進(jìn)而進(jìn)行變異操作。正向云發(fā)生器流程如下：

步驟1生成期望Ex。

式中，xic為抗體ai的第c個(gè)變量，i∈[1,τ],c∈[1,s]。

步驟2生成熵En。

式中，xicmax、xicmin為當(dāng)前變量xic的上下限，α1為熵調(diào)節(jié)因子。

步驟3生成超熵He。

式中，α2為超熵調(diào)節(jié)因子。

步驟4生成正態(tài)隨機(jī)數(shù)E'n。

步驟5生成云滴w。

步驟6計(jì)算隸屬度即確定度。

步驟7若云滴w的個(gè)數(shù)小于τ，則重復(fù)步驟4、5、6，否則，輸出云滴的確定度值h。

經(jīng)過(guò)正向云發(fā)生器，將輸出云滴的確定度值h作為云變異因子，并對(duì)克隆后種群進(jìn)行變異，更新抗體。

式中，aij=bi1bi2…bic…bis,i∈[1,ω],c∈[1,s]，a'ij(k)∈B'i(k)，aij(k)∈Bi(k),i∈[1,ω],j∈[1,q*]，ω表示克隆抗體總數(shù)。f(·)表示aij(k)的rand(1,sum(lic))位依概率h取反。

2.5 第k代種群選擇操作TS c

利用反向?qū)W習(xí)策略對(duì)種群克隆變異前后抗體求反向解，并合并四個(gè)抗體集合求親和度函數(shù)值，然后選出最優(yōu)抗體進(jìn)行下一步操作。

步驟1求克隆后還未進(jìn)行變異種群A'(k)的反向種群，以及變異后的中間種群A″(k)的反向種群，反向?qū)W習(xí)記作

步驟2合并，形成新種群并放入集合T(k)中，選取m個(gè)適應(yīng)度小的抗體組成下一代種群。

2.6 CRCSA的基本步驟

步驟1初始化種群規(guī)模m、優(yōu)秀抗體規(guī)模τ、克隆因子q、最大迭代次數(shù)kmax、熵調(diào)節(jié)因子α1和超熵調(diào)節(jié)因子α2等參數(shù)。

步驟2初始化種群。隨機(jī)生成抗體集合A(0)={ai(0)|1≤i≤m}。

步驟3計(jì)算抗體的適應(yīng)度值，并進(jìn)行升序排序選出前τ個(gè)優(yōu)秀抗體。

步驟4克隆

步驟5變異。根據(jù)正向云發(fā)生器流程求出確定度值h，A″(k)←Tm(A'(k)/h)。

步驟6選擇。首先求反向種群然后根據(jù)式（17）得到集合T(k)，對(duì)集合T(k)進(jìn)行選擇：

步驟7算法終止條件判斷。當(dāng)k>kmax時(shí)，算法終止；否則k=k+1，進(jìn)入步驟3。

3 CRCSA收斂性證明

為了分析CRCSA的收斂性[14]，首先給出分析收斂性所需要的相關(guān)定義。

設(shè)抗體群序列{a(k),k≥0}，對(duì)于任一狀態(tài)a={a1,a2,…,am}∈Ωm，將其組成抗體的個(gè)體親和度記為F={f(e-1(a1)),f(e-1(a2)),…,f(e-1(am))}，fj/favej≥β表示收斂的閾值，favej=∑f(e-1(aj(k)))/m，j∈[1,m]，β是CRCSA的精度。記M={Y|?X,Y∈a,f(e-1(Y))≤f(e-1(X))}為最優(yōu)抗體值空間，概率分布函數(shù)為P(?)?？贵w群序列{a(k),k≥0}的狀態(tài)空間為E，狀態(tài)外空間為I，有S=E∪I。給出如下定義：

定義4設(shè)抗體群序列{a(k),k≥0}的狀態(tài)空間為E，若對(duì)于任意自然數(shù)N，以及任意i1,i2,…,im,i∈E滿(mǎn)足：

則稱(chēng){a(k),k≥0}為馬爾可夫鏈。當(dāng)?shù)仁接疫叺霓D(zhuǎn)移概率不依賴(lài)于k時(shí)，稱(chēng){a(k),k≥0}為時(shí)齊馬爾可夫鏈。

定義5若一個(gè)算法是收斂的，則該算法對(duì)應(yīng)的馬爾可夫序列{a(k),k≥0}應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足：

定理1CRCSA抗體群序列{a(k),k≥0}是一個(gè)離散參數(shù)的隨機(jī)過(guò)程。

證明抗體的狀態(tài)空間Ω={0 1}l，顯然存在φ不屬于Ω；抗體群狀態(tài)空間為Ωm。

取δ為Ω的全體柱集生成的最小σ代數(shù)，F(xiàn)為定義在(Ω,δ)上的實(shí)值測(cè)度函數(shù)，抗體的概率空間為(Ω,δ,F)構(gòu)成了CRCSA的概率空間。則{a(k),k≥0}是定義在(Ω,δ,F)上隨k變化而變化取值的離散的序列。顯示了概率空間(Ω,δ,F)上離散參數(shù)的隨機(jī)取值過(guò)程。證畢。

由算法流程可以看出，CRCSA是通過(guò)不斷克隆、變異、選擇操作進(jìn)行種群更新。

定義6克隆操作的隨機(jī)映射為T(mén)C c:Ω→ΩCc,ΩCc為克隆抗體群。

定義7變異操作是通過(guò)一維正向云發(fā)生器得到確定度值h對(duì)克隆后抗體進(jìn)行變異。它的隨機(jī)映射為為海明距離。

定義8經(jīng)過(guò)反向?qū)W習(xí)策略求得的種群為反向種群，它的隨機(jī)映射為T(mén)O c:ΩCc→ΩOc。

定義9選擇操作的隨機(jī)映射為僅當(dāng)f(e-1(ai(k+1)))=minf(e-1(T(k)))。

ΩSs為免疫記憶集Sc中抗體對(duì)應(yīng)的免疫記憶抗體空間。

針對(duì)以上四個(gè)定義，可以得出如下定理：

定理2CRCSA的抗體序列{a(k),k≥0}是有限時(shí)齊馬爾可夫鏈。

證明∵抗體空間Ω={0 1}l中共有2l個(gè)抗體

∴抗體種群空間Ωm中共有2ml個(gè)抗體

因此，抗體的種群空間序列中狀態(tài)數(shù)目是有限的。記作：

由前面的克隆、變異、選擇操作分析，以及定義3和定理1可知，CRCSA的轉(zhuǎn)移概率滿(mǎn)足：

顯然CRCSA的轉(zhuǎn)移概率與參數(shù)k無(wú)關(guān)，所以CRCSA的抗體序列{a(k),k≥0}在概率空間(Ω,δ,F)上是有限時(shí)齊馬爾可夫鏈。

定理3CRCSA是收斂的，收斂空間為ΩSc。對(duì)于CRCSA抗體群序列{a(k),k≥0}有：

由定義5可知，CRCSA收斂且收斂空間為ΩSc。

證畢。

4 算法的數(shù)值測(cè)試與討論

4.1 函數(shù)測(cè)試

為了驗(yàn)證CRCSA的優(yōu)化性能，在CPU主頻3.1 GHz、內(nèi)存4 GB的PC上使用Matlab R2018b軟件進(jìn)行了六組高維函數(shù)測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果與差分遺傳算法[15（]Differential Genetic Algorithm，DGA）、免疫遺傳算法[16]（Immune Genetic Algorithm，IGA）和自適應(yīng)混沌克隆選 擇 算 法[17（]Adaptive Chaotic Clonal Selection Algorithm，ACSA）進(jìn)行比較。四種算法的種群規(guī)模都為20，最大迭代次數(shù)都為1 000。CRCSA其余參數(shù)設(shè)置如下：q為0.3，τ為10、α1為3、α2為10。ACSA算法的變異因子p為0.1，其余同CRCSA。DGA和IGA算法中選擇概率為0.08，交叉概率為0.3，變異概率為0.1。鑒于智能算法的概率性搜索，文中對(duì)四種算法分別進(jìn)行了30次獨(dú)立隨機(jī)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 四種算法對(duì)六組高維函數(shù)的測(cè)試結(jié)果Table 1 Test results of four algorithms for six groups of high dimensional functions

由表可以看出，CRCSA的最優(yōu)解次數(shù)達(dá)到了100%，且最小收斂代數(shù)、平均收斂代數(shù)及迭代代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別平均減少33.7%、19.8%、29.1%。DGA、IGA、ACSA三種算法未能全部實(shí)現(xiàn)100%的尋優(yōu)，由此可以看出CRCSA的強(qiáng)優(yōu)化能力，這主要得益于CRCSA引入了云模型，通過(guò)自適應(yīng)云變異因子的產(chǎn)生，提高了其局部搜索能力。從最小收斂代數(shù)和平均收斂代數(shù)來(lái)看，文中CRCSA也是最小的，由此可以看出文中算法的快速收斂些，這主要得益于在選擇操作中加入了反向?qū)W習(xí)策略，通過(guò)對(duì)已知解范圍外進(jìn)行搜索，改善了種群多樣性，加快了搜索效率，提高了全局優(yōu)化能力。從迭代代數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差可以看出，文中CRCSA也最小，顯示出其強(qiáng)搜索能力和快速收斂速度之外的好穩(wěn)定性。綜合來(lái)說(shuō)，CRCSA能夠很好地解決高維模型優(yōu)化，且算法性能優(yōu)異。

圖4給出了DGA、IGA、ACSA、CRCSA四種算法針對(duì)六種高維函數(shù)優(yōu)化的進(jìn)化曲線。由圖可以看出，克隆選擇算法通過(guò)克隆實(shí)現(xiàn)了種群擴(kuò)張，提高了算法搜索能力，因此相比起DGA和IGA，ACSA和CRCSA的優(yōu)化能力更強(qiáng)，收斂速度更快。而CRCSA由于融合了云模型和反向?qū)W習(xí)，使得其在四種算法中優(yōu)化效果明顯最好，這進(jìn)一步驗(yàn)證了文中CRCSA的有效性。

圖4 四種算法的函數(shù)優(yōu)化進(jìn)化曲線比較Fig.4 Comparison of optimal average curve of four algorithms for six function

4.2 算法參數(shù)測(cè)試

表1和圖4雖然體現(xiàn)了CRCSA的優(yōu)良特性，但算法參數(shù)不同其優(yōu)化性能也會(huì)有明顯差異，為此文中針對(duì)種群規(guī)模m和優(yōu)秀抗體規(guī)模τ、克隆因子q、熵調(diào)節(jié)因子α1、超熵調(diào)節(jié)因子α2等參數(shù)，采用國(guó)內(nèi)外通用可行方式進(jìn)行測(cè)試，即先基于數(shù)值測(cè)試進(jìn)行算法各參數(shù)試湊尋優(yōu)；然后在此基礎(chǔ)上通過(guò)固定其他較優(yōu)參數(shù)，來(lái)對(duì)各參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)區(qū)間的逐個(gè)最優(yōu)測(cè)試。

4.2.1 種群規(guī)模和優(yōu)秀抗體規(guī)模的選擇

合適的種群規(guī)模和優(yōu)秀抗體規(guī)模能幫助種群更好的進(jìn)化。但種群規(guī)模越大，個(gè)別的最優(yōu)解就越不容易主導(dǎo)全體解的進(jìn)化方向；種群規(guī)模越小，易陷入局部最優(yōu)。優(yōu)秀抗體規(guī)模越大種群克隆變異的機(jī)會(huì)越大，但規(guī)模過(guò)大則無(wú)法保證抗體的遺傳性。因此，令m在區(qū)間[20，60]上進(jìn)行30次獨(dú)立測(cè)試，間隔為10。優(yōu)秀抗體規(guī)模按25%和50%的比例進(jìn)行選取。圖5給出了兩個(gè)參數(shù)的測(cè)試結(jié)果。

圖5 種群規(guī)模m和優(yōu)秀抗體規(guī)模τ選取結(jié)果Fig.5 Selection results of population size m and excellent antibody scale τ

由圖可看出，優(yōu)秀抗體規(guī)模τ取50%的比例時(shí)，測(cè)試函數(shù)的結(jié)果較為平穩(wěn)，算法較為穩(wěn)定，在六組函數(shù)中，種群規(guī)模取20時(shí)，優(yōu)化效果最優(yōu)。因此，當(dāng)m為20、τ為10時(shí)CRCSA的優(yōu)化能力最強(qiáng)、效果最好。

4.2.2 克隆因子選擇

克隆是免疫克隆選擇算法中的重要操作，合適的克隆規(guī)模不僅能夠擴(kuò)充種群搜索范圍來(lái)提高算法優(yōu)化性能，同時(shí)也有助于降低算法的計(jì)算代價(jià)。因此克隆因子q的取值對(duì)算法至關(guān)重要。文中針對(duì)上述六種高維函數(shù)，在保持其他算法參數(shù)不變前提下，令q從小到大在區(qū)間（0，1]上進(jìn)行30次獨(dú)立測(cè)試，并觀察算法收斂情況。

由圖6可以看出，若q取值過(guò)大，由于克隆的優(yōu)秀抗體數(shù)目較多，雖會(huì)提高算法全局搜索能力，但是計(jì)算量會(huì)增加；而q取值過(guò)小，由于優(yōu)秀抗體的克隆數(shù)目過(guò)少，增加不了搜索范圍，種群的搜索能力得不到提高，因此克隆因子q應(yīng)取適中值。測(cè)試表明，在q取0.3左右時(shí)，CRCSA的搜索性能和計(jì)算代價(jià)相對(duì)匹配最優(yōu)。

圖6 克隆因子q選取試驗(yàn)結(jié)果Fig.6 Results of clonal factor q selection test

4.2.3 云模型中調(diào)節(jié)因子的選擇

在基本云模型中，超熵He的大小間接地表示了云的離散程度和厚度。若He太大，在一定程度上將會(huì)喪失穩(wěn)定傾向性；若He太小，在一定程度上又將喪失隨機(jī)性。因此，文中針對(duì)上述六種高維函數(shù)，在保持其他算法參數(shù)不變情況下對(duì)熵調(diào)節(jié)因子α1從區(qū)間[1，5]，超熵調(diào)節(jié)因子α2從區(qū)間[6，10]上進(jìn)行30次獨(dú)立測(cè)試，并觀察算法收斂情況。

由圖7可以看出，當(dāng)α1取值過(guò)大時(shí)，算法會(huì)喪失穩(wěn)定傾向性；當(dāng)α2取值過(guò)小時(shí)，算法極易陷入局部最優(yōu)，喪失隨機(jī)性。測(cè)試表明，當(dāng)α1取3，α2取10時(shí)，算法能夠快速且穩(wěn)定收斂，CRCSA的搜索性能相對(duì)較優(yōu)。由于文中的參數(shù)選擇測(cè)試是以高維函數(shù)為對(duì)象，而一般工程對(duì)象的復(fù)雜度往往會(huì)低于高維函數(shù)，因此，在復(fù)雜高維函數(shù)測(cè)試下所獲取的參數(shù)，也能適用于其他對(duì)象優(yōu)化，具有一定的普適性。

圖7 云模型調(diào)節(jié)因子α1、α2試驗(yàn)結(jié)果Fig.7 Experimental results of adjustment factors α1 and α2 of cloud model

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)克隆算法在進(jìn)行高維對(duì)象優(yōu)化時(shí)存在種群多樣性低和優(yōu)化能力弱等不足，提出了融合云模型和反向?qū)W習(xí)的克隆選擇算法。通過(guò)數(shù)值測(cè)試和分析可以得出如下結(jié)論：

（1）通過(guò)在變異操作中引入云模型，實(shí)現(xiàn)了基于抗體親和度對(duì)種群抗體不同強(qiáng)度的變異施加，即在進(jìn)化早期，親和度偏小的種群抗體被變異的強(qiáng)度偏小，從而通過(guò)保留優(yōu)良抗體來(lái)強(qiáng)化算法局部?jī)?yōu)化能力，并提高進(jìn)化效率；而隨著進(jìn)化進(jìn)行，抗體親和度變大，抗體被變異的強(qiáng)度也逐漸增大，從而增加了種群多樣性，強(qiáng)化了算法全局優(yōu)化能力，弱化了局部?jī)?yōu)化能力。

（2）通過(guò)在選擇操作中增加反向?qū)W習(xí)策略，即主要對(duì)變異前后的種群求反向解，增加已知解的外空間搜索，從而改善種群多樣性，進(jìn)而幫助算法跳出局部極小值，提高了算法的全局優(yōu)化能力。

（3）文中算法在進(jìn)化初期，利用云變異中小概率變異來(lái)保留優(yōu)良抗體，以及反向?qū)W習(xí)中已知解的外空間搜索減少，強(qiáng)化了算法早期的局部尋優(yōu)能力；反之，在進(jìn)化后期，利用云變異中大概率變異來(lái)改善種群多樣性，以及反向?qū)W習(xí)中已知解的外空間搜索增加，強(qiáng)化了算法后期的全局尋優(yōu)能力，實(shí)現(xiàn)了算法不同進(jìn)化階段的局部和全局尋優(yōu)平衡。

（4）利用馬爾可夫鏈對(duì)CRCSA進(jìn)行Markov建模，并通過(guò)對(duì)CRCSA的極限行為分析，證實(shí)了CRCSA是收斂的。

文中高維函數(shù)優(yōu)化結(jié)果表明，云模型和反向?qū)W習(xí)策略的引入切實(shí)改善了克隆選擇算法種群的多樣性，增強(qiáng)了算法的優(yōu)化能力，提高了算法的搜索效率，這對(duì)于解決其他高維對(duì)象優(yōu)化具有很好的應(yīng)用價(jià)值。